Szeregi liczbowe i funkcyjne

Szeregi liczbowe i funkcyjne

Nieskończonym szeregiem liczbowym nazywamy wyrażenie

a

₁

+a

₂

+a

₃

+ .. ..+a

_n

+. . ..= ∑

n=1 +∞

a

_n .

Niech

S

₁

=a

₁

S

₂

=a

₁

+a

₂

.. ... ... S

_n

=a

₁

+ a

₂

+.. .+a

_n tzn.

S_n=

∑

i=1 n

a_i dla n∈N

będzie sumą częściową szeregu.

Definicja zbieżności szeregu.

Jeżeli ciąg liczbowy

{

^Sn

}

jest zbieżny do liczby S tzn. ^{n→+∞lim Sn=S} to szereg

nazywamy zbieżnym i ma sumę S , co zapisujemy

∑

n=1 +∞

a

_n

=S

. W przeciwnym przypadku powiemy, że jest on rozbieżny.

Przykład Szereg

∑

n=1 +∞

aq

ⁿ⁻¹

=a+aq+aq

²

+...

nazywamy szeregiem geometrycznym. Suma częściowa

S

_n

jest sumą n pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego

a , aq, aq

²

,....,aq

ⁿ

,...

a więc

S

_n

=a 1−q

ⁿ

1−q

_.

Stąd

∑

n=1 +∞

aqⁿ⁻¹=lim

n→+∞a1−qⁿ 1−q = a

1−q dla |q|<1

. Dla

|q|≥1

szereg ten jest rozbieżny.

Istotnym elementem szeregu jest jego zbieżność. Kryteria zbieżności:

a). Warunek konieczny zbieżności szeregu. Jeżeli szereg

∑

n=1 +∞

a

_n

jest zbieżny to lim

n→+∞a_n=0 .

b). Kryterium porównawcze . Jeżeli dla szeregów

∑

n=1 +∞

a

_n

,

∑

n=1 +∞

b

_n

jest spełniony

warunek

0≤a

_n

≤b

_n

n=1,2,3,....

to b1) jeżeli

∑

n=1 +∞

b

_n

jest zbieżny to

∑

n=1 +∞

a

_n jest

również zbieżny b2) jeżeli

∑

n=1 +∞

a

_n

jest rozbieżny to

∑

n=1 +∞

b

_n

jest również rozbieżny.

c). Kryterium d’Alemberta. Szereg

∑

n=1 +∞

a

_n

o wyrazach dodatnich spełniający warunek lim

n→+∞

a_n+1 a_n =q

jest zbieżny gdy

q<1

oraz rozbieżny gdy

q>1

_.

d). Kryterium Cauchy’ego. Szereg

∑

n=1 +∞

a

_n

o wyrazach nieujemnych spełniający warunek lim

n→+∞

√

n^an=q

jest zbieżny gdy

q<1

oraz rozbieżny gdy

q>1

_.

e). Kryterium Dirichleta. Szereg

∑

n=1 +∞

a

_n

b

_n

jest zbieżny jeżeli wyrazy

a

_n

są rzeczywiste i

dodatnie i ze wzrostem ⁿ maleją do zera, a ciąg sum cząstkowych szeregu

∑

n=1 +∞

b

_n jest ograniczony

f). Kryterium całkowe. Niech k ∈ N oraz funkcja y=f ( x) jest nierosnąca i

nieujemna w przedziale ¿k ,+∞) . Wtedy całka

∫

k +∞

f (x )dx

i szereg

∑

n=1 +∞

a

_n

gdzie a_n=f (n ) dla n>k jest równocześnie zbieżna lub rozbieżna.

Uwaga. W powyższych kryteriach jeżeli granica

q=1

to może wystąpić dowolna sytuacja, szereg może być zbieżny jak i rozbieżny.

Przykład Zbadać zbieżność szeregu

∑

n=1

+∞ln(1+1 n)

.

Suma częściowa

S_n=ln 2+ln3

2+. . ..+lnn+1

n =ln

(

²³2 4

3. .. . .n+1

n

)

^{=ln(n+1 )} _.

Stąd

∑

n=1

+∞ ln(1+1 n)=lim

n→+∞ln(n+1)=+ ∞

Zatem szereg jest rozbieżny do ^+∞ .

Przykład Zbadać zbieżność szeregu

∑

n=1 +∞ 1

n _.

Ponieważ ln(1+x)≤x dla x>0 _/ (x−ln(1+x))^'= x

1+x>0 dla x>0

/ to 1

n≥ln(1+1

n) dla n∈N

. Z kryterium porównawczego z rozbieżności szeregu

∑

n=1 +∞

ln(1+1 n)

wynika rozbieżność szeregu

∑

n=1 +∞ 1

n _.

Przykład Zbadać zbieżność szeregu

∑

n=1 +∞ 1

n^a _. Weźmy pod uwagę całką dla a≠1

1 /( a−1 ) dla a > 1 + ∞ dla a < 1

¿

∫

1 + ∞ 1

x^adx = lim

b → +∞∫

1

b 1

x^a dx = lim

b → +∞

[

1− a^{x1 − a}

]

1 b

= lim

b → + ∞(1−a^{b1− a}− 1

1− a)^{=¿{¿ ¿ ¿}

¿

Korzystając z kryterium całkowego i z poprzedniego przykładu wynika, że szereg

∑

n=1 +∞ 1

n^a jest zbieżny dla a>1 i rozbieżny dla a≤1

Przykład Zbadać zbieżność szeregu

∑

n=1

+∞

( 3n+1 ⁿ )

ⁿ _.

n→+∞lim

√

n^an= lim

n→+∞

√

n

⁽

^{3 n+1n}

⁾

^{n=n→+∞lim 3 n+1n =n →+∞lim} 3+¹1 n

=1 3<1 Z kryterium Cauchy’ego wynika zbieżność naszego szeregu.

Przykład Zbadać zbieżność szeregu

∑

n=1 +∞

( ² n )

ⁿ

^n!

lim

n→+∞

a

_n+1

a

_n

= lim

n→+∞

2

ⁿ⁺¹

( n+1)!

( n+1)

ⁿ⁺¹

n

ⁿ

2

ⁿ

n! = lim

n→+∞

2 n

ⁿ

( n+1 )

ⁿ

=2 lim

n→+∞

( n+1 ⁿ )

ⁿ

^{= 2} e <1

Z kryterium d’Alamberta wynika zbieżność naszego szeregu.

Zbieżność szeregów bezwzględna i warunkowa.

Z szeregiem

∑

n=1 +∞

a

_n

związany jest szereg

∑

n=1 +∞

| a

_n

|

utworzony z bezwzględnych

wartości wyrazów. Jeżeli szereg

∑

n=1 +∞

|a

_n

|

jest zbieżny to jest zbieżny również szereg

∑

n=1 +∞

a

_n .

Odwrotna własność nie jest prawdziwa.

Np. szereg przemienny 1 1−1

2+1 3−1

4+...=

∑

n=1 +∞

(−1)ⁿ⁺¹1

n jest zbieżny /kryterium Leibniza/ natomiast nie jest zbieżny bezwzględnie ponieważ

∑

n=1 +∞

|a_n|=

∑

n=1 +∞

|(−1)ⁿ⁺¹1 n|=

∑

n=1 +∞ 1

n=+∞

a). Jeżeli szereg

∑

n=1 +∞

a

_n

jest zbieżny i zbieżny jest szereg

∑

n=1 +∞

|a

_n

|

to taki szereg nazywamy szeregiem zbieżnym bezwzględnie.

b). Jeżeli szereg

∑

n=1 +∞

a

_n

jest zbieżny i nie jest zbieżny szereg

∑

n=1 +∞

|a

_n

|

to taki szereg nazywamy szeregiem zbieżnym warunkowo. Powyższy przykład jest takim szeregiem.

Kryterium Leibniza. Jeżeli dla szeregu

∑

n=1 +∞

(−1)

ⁿ⁺¹

a

_n

=a

₁

−a

₂

+a

₃

−a

₄

+... . a

_n

≥0

mamy

a) ^{n→+∞lim an=0} b)

a

₁

≥a

₂

≥ a

₃

≥a

₄

≥... .≥a

_n

≥ a

_n+1

≥..

to szereg

∑

n=1 +∞

(−1)

ⁿ⁺¹

a

_n jest zbieżny.

Szeregi funkcyjne i potęgowe.

Definicja szeregu funkcyjnego.

Jeżeli w szeregu wyrazy są funkcjami określonymi na wspólnym zbiorze ^X to taki

szereg nazywamy szeregiem funkcyjnym co zapisujemy

∑

n=1 +∞

f

_n

( x)

X⊂ D_f

n n∈N Sumą jest funkcją y=f ( x) określona na zbiorze U⊂ X taka, że dla każdego

ustalonego x∈U

∑

n=1 +∞

f

_n

( x)=f ( x)

. Jest to zbieżność punktowa.

Jeżeli

ε>0¿ ¿

N₀(n> N₀⇒|f ( x )−

∑

i=1 n

f_i(x )|<ε )

i

N

₀

∈N

jest niezależna od x∈U to taką zbieżność nazywamy zbieżnością jednostajną na zbiorze U .

Definicja szeregu potęgowego.

Jeżeli w szeregu funkcyjnym wyrazy są postaci f_n(x)=a_n(x−x₀)ⁿ a_n∈R x₀∈R

tzn. szereg

∑

n=1 +∞

a

_n

( x−x

₀

)

ⁿ

nazywamy szeregiem potęgowym.

Promieniem zbieżności szeregu potęgowego nazywamy liczbę r≥0 taka, że dla każdego

|x−x

₀

|<r

szereg jest zbieżny punktowo a dla każdego

|x−x

₀

|>r

jest rozbieżny punktowo. Taki promień zawsze istnieje.

Przedział

(

^x0−r , x₀+r

)

nazywamy przedziałem zbieżności szeregu potęgowego.

Twierdzenie. Jeżeli dla szeregu potęgowego

∑

n=1 +∞

a

_n

( x−x

₀

)

ⁿ

lim

n→+∞

| a

_n+1

a

_n

|=g

lub

n→+∞lim

√

n^|an|=g

to promień zbieżności

r= 1

g

_.

Gdy

g=0

_to r =+∞ i wtedy szereg jest zbieżny dla wszystkich x∈ R . Gdy g =+∞ to r=0 i wtedy szereg jest zbieżny tylko dla

x=x

_{0 .}

Własności szeregów potęgowych.

1⁰ Suma szeregu potęgowego

S( x)= ∑

n=1 +∞

a

_n

(x−x

₀

)

ⁿ

jest funkcją ciągłą wewnątrz przedziału zbieżności

(

^x0−r , x₀+r

)

_.

2⁰ Szereg potęgowy jest wewnątrz swego przedziału zbieżności zbieżny bezwzględnie.

3⁰ Szereg potęgowy

S( x)= ∑

n=1 +∞

a

_n

( x−x

₀

)

ⁿ

można różniczkować wyraz po wyrazie tzn.

S

^'

( x)= ( ^∑

n=1 +∞

a

_n

( x−x

₀

)

ⁿ

)

^′

⁼

n=1

^∑

+∞

(a

_n

( x−x

₀

)

ⁿ

)

^'

= ∑

n=1 +∞

na

_n

( x−x

₀

)

ⁿ⁻¹

i szereg pochodnej ma ten sam przedział zbieżności co szereg pierwotny.

4⁰ Analogicznie szereg potęgowy

S( x)= ∑

n=1 +∞

a

_n

( x−x

₀

)

ⁿ

można całkować wyraz po wyrazie wewnątrz przedziału zbieżności.---