20.11.2018, kl 1b Kwantyfikatory.
Oznaczenia:
N = {1, 2, 3, . . .}, Z = {0, 1, −1, 2, −2, . . .}, Q = {mn : m, n ∈ Z, n 6= 0}, R oznaczają kolejno zbiory liczb naturalnych, całkowitych, wymiernych, rzeczywistych.
Niech p(x) oznacza zdanie logiczne, które zależy od x ∈ X, gdzie X jest pewnym ustalonym zbiorem. Na przykład, p(x) może oznaczać zdanie: x3− x + 1 > 0, gdzie x ∈ R jest parametrem.
W matematyce często formułujemy zdania postaci: „dla każdego x ∈ X zachodzi p(x)”, na przykład „dla każdej liczby rzeczywistej x liczba x2 jest nieujemna. W języku logiki takie zdanie możemy zapisać stosując kwantyfikator ogólny ∀:
∀x∈Rx2 0.
Wyrażenie „istnieje x ∈ X, dla którego prawdziwe jest zdanie p(x)” możemy zastąpić przez
∃x∈Xp(x). Symbol ∃ nosi nazwę kwantyfikatora szczegółowego.
Zadanie 1. Które z poniższych zdań są prawdziwe:
(a) ∀x∈Rx2 − x 0, (b) ∃x∈Rx2 − x 0, (c) ∀x∈Nx2 − x 0, (d) ∃x∈Nx2 − x 0,
(e) ∀x∈R∃y∈Rx + y > 0, (f) ∃x∈R∀y∈Rx + y > 0, Zachodzą prawa de Morgana:
• ¬∀x∈Xp(x) ⇐⇒ ∃x∈X¬p(x),
• ¬∃x∈Xp(x) ⇐⇒ ∀x∈X¬p(x),
Zadanie 2. Zapisz za pomocą kwantyfikatorów napisz następujące zdania. Oceń wartość logiczną tych zdań.
(a) Istnieje liczba całkowita nieujemna k taka, że √
k jest liczbą naturalną.
(b) Dla każdej liczby nieparzystej n liczba n2− 1 jest podzielna przez 8.
(c) Każdą liczbę naturalną n można przedstawić w postaci sumy czterech kwadratów liczb całkowitych.
(d) Spośród dowolnych 5 liczb całkowitych można wybrać trzy, których suma jest po- dzielna przez 3.
(e) Dla każdej liczby naturalnej k istnieje liczba N , że dla każdej liczby naturalnej n N równanie
n = xk + y(k + 1) ma rozwiązanie w liczbach całkowitych nieujemnych x, y.
(f) Liczbę n! można zapisać jako sumę jej n różnych dzielników, gdzie n oznacza dowolną liczbę naturalną.
(g) Liczby rzeczywiste a, b, c spełniają równość
c2 = a2+ b2+ 2λab,
gdzie λ jest pewną liczbą rzeczywistą taką, że −1 < λ < 1, wtedy i tylko wtedy, gdy a, b, c są długościami boków pewnego trójkąta.
(h) Dostatecznie duża liczba naturalna może być przedstawiona w postaci sumy dwóch liczb (naturalnych) złożonych.
Zadanie 3. Oceń wartość logiczną zdań:
(a) ∀>0∀x∈R∃δ>0∀y∈R|x − y| < δ =⇒ |2x − 2y| < , (b) ∀>0∀x∈R∃δ>0∀y∈R|x − y| < δ =⇒ |x2− y2| < ,
(c) ∃δ>0∀>0∀x∈R∀y∈R|x − y| < δ =⇒ |x2− y2| < .
Zapisz zaprzeczenia obu warunków.
Symboli logicznych nie należy nadużywać, gdyż często się zdarza, że ich użycie utrudnia zrozumienie treści zdania.
Zadanie 4. Jakie zbiory zostały zdefiniowane poniżej (a) {x ∈ R : ∀x∈Ra > 0 =⇒ ax > a}, (b) {x ∈ R : ∃k∈Zkx ∈ N},
(c) {m ∈ N : ∀x∈N∀y∈Nm 6= 1 ∧ (xy = m =⇒ ((x = 1 ∨ y = m) ∨ (x = m ∧ y = 1)))}.
2
