20.12.2018, kl 1b Logarytm loga

20.12.2018, kl 1b Logarytm logab

Denicja. Niech a, b b¦d¡ liczbami rzeczywistymi takimi, »e 1 6= a > 1, b > 0. Logarytmem przy podstawie a z liczby b, który oznaczamy przez logab, nazywamy rozwi¡zanie zagadki¹:

a ? = b.

W domy±le, log a := log10a. Twierdzenie.

1. a^logab = b,

2. loga(b · c) = log_ab + log_ac, 3. logab · log_bc = log_ac.

Zadanie 1. Oblicz log232, log50, 04, log^√₃9, logπ1, log^√₂₋₁(√

2 + 1). Zadanie 2. Uzasadnij powy»sze twierdzenie.

Zadanie 3. Wiedz¡c, »e log 2 ≈ 0, 30103, log 3 ≈ 0, 477 znajd¹ przybli»one warto±ci log 4, log 5, log 6, log 15.

Zadanie 4. Wyka», »e log 2 jest liczb¡ niewymiern¡.

Zadanie 5. Czy liczba 2ⁿ, gdzie n ∈ N, mo»e zaczyna¢ si¦ cyfr¡ 9?

Zadanie 6. Wyka», »e (a) log 2 < 1/3, (b) 2 log 7 < 2 − log 2.

Zadanie 7. Upro±¢

(a) 10 · 100¹²log 9−log 2, (b) 15^{2 log1540},

(c) 7^log495−1. Zadanie 8. Znajd¹ B, je±li

log 16/3 log B jest rozwi¡zaniem równania 2^2x+4+ 3^3x+2 = 4^x+3.

1Rozwi¡zanie istnieje i jest jedyne, ale o tym pó¹niej.