(Wykorzystać nierówność ex ­ x + 1.) Zadanie 1

Zadanie 1. Wyznacz kresy zbioru

{min{x,1

y, y + 1

x} : x, y > 0}.

Odpowiedź proszę dokładnie uzasadnić.

Zadanie 2. Ciąg (a_n) zdefiniowany jest rekurencyjnie:

a₁ = C, a_n+1 = e^an−1

dla n ­ 1. Dla jakich C ∈ R ciąg (aⁿ) ma granicę. (Wykorzystać nierówność e^x ­ x + 1.)

Zadanie 1. Oblicz granicę górną limxn, granicę dolną limxn, gdzie

xn=



1 + 1 n

n

(−1)ⁿ+ sinn π 4 . Zadanie 2. Ciąg (an) zdefiniowany jest rekurencyjnie:

a₁ = 1

2, a₂ = 1, a_n+1= 1

2a_n−1+√ a_n−2

Uzasadnij, że ciąg (a_n) jest rosnący i ograniczony z góry. Oblicz jego granicę.

Zadanie 1. Znajdź granicę ciągu

n³− 1 n³ + n − 1

!n²+n+1

.

Zadanie 2. Wyznacz kresy zbioru

{2019k + n

2019n + k : n, k ∈ N, n ­ 2020, k ­ 2020}.

Odpowiedź proszę dokładnie uzasadnić.

Zadanie 1. Zbadaj monotoniczność ciągu n²− n√

n²− 1 i znajdź jego granicę.

Zadanie 2. Wyznacz kresy zbioru

{a²− ab : 0 < a < 1, 0 < b < 1}.

Odpowiedź proszę dokładnie uzasadnić.