Równania różniczkowe wyższych rzędów

Równania różniczkowe wyższych rzędów

Marcin Orchel

Spis treści

1 Wstęp 1

1.1 Istnienie rozwiązań . . . 1

1.2 Rozwiązanie ogólne . . . 2

1.3 Obniżanie rzędu równania . . . 3

1.4 Równania różniczkowe liniowe n-tego rzędu . . . 8

1.5 Obniżanie rzędu równania liniowego jednorodnego . . . 9

1.6 Rozwiązywanie równań niejednorodnych . . . 11

1.6.1 Metoda uzmienniania stałych . . . 11

1.6.2 Metoda Cauchy’ego . . . 14

2 Zadania 16 2.1 Zadania na 3.0 . . . 16

2.2 Zadania na 4.0 . . . 16

2.3 Zadania na 5.0 . . . 17

1 Wstęp

1.1 Istnienie rozwiązań Sprowadzenie do układu równań pierwszego rzędu. Każde jawne równanie różniczkowe rzędu n y⁽ⁿ⁾= f^x, y, y⁰, . . . , y^(n−1) (1) można przez wprowadzenie nowych zmiennych: y1= y⁰ (2) y₂ = y⁰⁰ (3) . . . (4)

yn−1= y⁽ⁿ⁻¹⁾ (5)

przekształcić do układu n równań różniczkowych pierwszego rzędu:

dy

dx = y₁ (6)

dy1

dx = y₂ (7)

... (8)

dy_n−1

dx = f (x, y, y₁, . . . , y_n−1) (9) W porównaniu z powyższym bardziej ogólny układ n równań różniczkowych pierwszego rzędu:

dyi

dx = f_i(x, y₁, y₂, . . . , y_n) dla i = 1, 2, . . . , n (10) ma dokładnie jedno rozwiązanie ciągłe

y_i= y_i(x) dla i = 1, 2, . . . , n (11) określone i ciągłe w przedziale

x₀− h ≤ x ≤ x₀+ h (12)

i spełniające warunek początkowy:

y_i(x₀) = y_i0 dla i = 1, 2, . . . , n (13) jeśli tylko funkcje

f_i(x, y₁, y₂, . . . , y_n) (14) są ciągłe względem wszystkich zmiennych i spełniają warunek Lipschitza.

1.2 Rozwiązanie ogólne

Rozwiązanie ogólne równania różniczkowego zawiera n niezależnych stałych:

y = y (x, C1, C2, . . . , Cn) (15) Aby całka szczególna spełniała warunki początkowe, wartości C₁, C2, . . . , Cn muszą zo- stać wyznaczone z równań:

y (x₀, C₁, . . . , C_n) = y₀ (16)

 d

dxy (x, C1, . . . , Cn)



x=x0

= y₀⁰ (17)

... (18)

"

dⁿ⁻¹

dxⁿ⁻¹y (x, C₁, . . . , C_n)

#

x=x0

= y⁽ⁿ⁻¹⁾₀ (19)

Rozwiązanie ogólne układu (10) również zawiera n stałych dowolnych. Rozwiązanie to możemy przedstawić na dwa sposoby, w postaci rozwiązanej albo względem niewiado- mych funkcji:

y₁= F₁(x, C₁, . . . , C_n) (20)

y2= F₂(x, C₁, . . . , Cn) (21)

. . . (22)

y_n= F_n(x, C₁, . . . , C_n) (23) albo względem stałych dowolnych:

φ1(x, y₁, y2, . . . , yn) = C₁ (24) φ₂(x, y₁, y₂, . . . , y_n) = C₂ (25)

. . . (26)

φn(x, y₁, y2, . . . , yn) = C_n (27) Dla drugiego przypadku, każdą relację postaci

φ_i(x, y₁, y₂, . . . , y_n) = C_i (28) nazywamy całką pierwszą układu (10). Jeśli dana jest jakakolwiek całka szczególna po- wyższej postaci to funkcja

φ_i(x, y₁, y₂, . . . , y_n) (29) musi spełniać następujące równanie różniczkowe cząstkowe:

∂φ_i

∂x + f₁(x, y₁, . . . , y_n)∂φ_i

∂y1

+ . . . + f_n(x, y₁, . . . , y_n) ∂φ_i

∂yn

= 0 (30)

i odwrotnie, każde rozwiązanie φ_i(x, y₁, . . . , yn) powyższego równania różniczkowego jest całką pierwszą układu (10). Rozwiązanie ogólne układu (10) można złożyć z n całek pierwszych tego układu, takich, że odpowiednie funkcje φ_i(x, y₁, . . . , y_n) pozostają linio- wo niezależne.

1.3 Obniżanie rzędu równania

Jedną z najważniejszych metod całkowania równań różniczkowych n-tego rzędu

f^x, y, y⁰, . . . , y^(n)= 0 (31) jest podstawienie nowych zmiennych. Rozwiązywanie równań szczególnych typów:

1. f jest postaci:

y⁽ⁿ⁾= f (x) (32)

Rozwiązanie ogólne otrzymujemy przez n-krotne całkowanie:

y = C1+ C₂x + C3x²+ . . . + C_nxⁿ⁻¹+ ψ (x) (33) gdzie

ψ (x) = Z Z

. . . Z

f (x) (dx)ⁿ= 1 (n − 1)!

Z x x0

f (t) (x − t)ⁿ⁻¹dt (34)

2. Równanie bez jawnie występującego y:

f^x, y⁰, . . . , y^(n)= 0 (35) Dokonujemy podstawienia:

y⁰ = p. (36)

Jeśli pierwszych k pochodnych nie występuje w równaniu wyjściowym, to stosujemy podstawienie postaci:

y^(k+1) = p (37)

Przykład 1.

y⁰⁰− xy⁰⁰⁰+ y⁰⁰⁰³= 0 (38)

Po podstawieniu y⁰⁰= p:

p − xdp dx +

dp dx

3

= 0 (39)

Otrzymujemy równanie pierwszego rzędu. Rozwiązanie:

p = C₁x − C₁³ (40)

Po podstawieniu i scałkowaniu:

y⁰ = 1/2C₁x²− C₁³x + C₂ (41) Po ponownym całkowaniu:

y = 1/6C₁x³− C₁³x²/2 + C₂x + C₃ (42) Równanie na wolframalpha.com, http: // www. wolframalpha. com/ input/ ?i=

y% 27% 27-xy% 27% 27% 27% 2By% 27% 27% 27^3+ %3D+ 0. 3. Równanie bez jawnie występującego x:

f^y, y⁰, . . . , y^(n)= 0 (43) Celem jest takie podstawienie aby otrzymać równanie różniczkowe rzędu n − 1 z nową zmienną zależną p i zmienną niezależną y. Dokonujemy podstawienia:

y⁰ = p (44)

y⁰⁰ = dp dx = dy

dx dp dy = pdp

dy (45)

y⁰⁰⁰= d²p

dx² = dp^dp_dy dx = dp

dx dp

dy + pd^dp_dy

dx = pdp dy

dp dy+ pdy

dx d_dy^dp

dy = pdp dy

dp

dy+ p²d²p dy² (46) i redukujemy równanie do równania rzędu n − 1.

Przykład 2.

yy⁰⁰− y⁰²= 0 (47)

ypdp

dy − p² = 0 / : p p 6= 0 (48)

ydp

dy − p = 0 / : py y 6= 0 (49)

1 pdp − 1

ydy = 0 (50)

ln |p| − ln |y| = lne^C (51)

    p y    

= e^C (52)

p = C₁y C₁ 6= 0 (53)

dy

dx = C₁y (54)

ln |y| = C1x + C2 (55)

ln |y| = lne^C1x+ lne^C2 (56)

y = C₃e^C1x C₃ 6= 0 (57)

Gdy p = 0, to otrzymujemy funkcję stałą, która spełnia równanie, więc dołączamy C₁= 0 i C₃= 0. Gdy y = 0, jest to też stała, która już była rozpatrywana (C₃ = 0).

Więc ostatecznie

y = C₃e^C1x (58)

Równanie na wolframalpha.com, http: // www. wolframalpha. com/ input/ ?i=

yy% 27% 27-y% 27^2+ %3D+ 0. Przykład 3.

y⁰⁰⁰− y⁰ = 0 (59)

Po zamianie zmiennych otrzymujemy pdp

dy dp

dy + p²d²p

dy² − p = 0 (60)

Możemy wyłączyć p przed nawias:

p dp dy

dp

dy + pd²p dy² − 1

!

= 0 (61)

Równanie jest spełnione gdy p = 0, czyli y = C oraz gdy spełnione jest drugie równanie.

Następnie ponownie obniżamy rząd drugiego równania:

t²+ ptdt

dp− 1 = 0 (62)

gdzie

p⁰ = t (63)

Jest to równanie różniczkowe o rozdzielonych zmiennych, także Bernoulliego,http:

// www. wolframalpha. com/ input/ ?i= t^2+ %2B+ pt+ dt% 2Fdp+ -+1+ %3D+ 0. Roz- wiązanie

t (p) = ±

pc1+ p²

p (64)

Następnie powracamy do zmiennej p podstawiając (63) p⁰= ±

pc1+ p²

p (65)

pp⁰= ± q

c₁+ p² (66)

p²p⁰²= c₁+ p² (67)

Równanie na wolframalpha.comhttp: // www. wolframalpha. com/ input/ ?i= p%

28y% 29^2p% 27^2+ %3D+ c1+ %2B+ p^2. Równanie to można rozwiązać za pomocą zmiennych rozdzielonych. Wynik

p = ± q

±2c₂y + c²₂− c₁+ y² (68) Następnie powracamy do zmiennej y podstawiając (44)

y⁰ = ± q

±2c₂y + c²₂− c₁+ y² (69) y⁰²= ±2c₂y + c²₂− c₁+ y² (70) Równanie http: // www. wolframalpha. com/ input/ ?i= y% 27% 28x% 29^2+ %3D+

2c_ 2y% 28x% 29+ %2B+ c_ 2^2+ -+c_ 1+ %2B+ y% 28x% 29^2 orazhttp: // www. wolframalpha.

com/ input/ ?i= y% 27% 28x% 29^2+ %3D+ -2c_ 2y% 28x% 29+ %2B+ c_ 2^2+ -+c_ 1+ %2B+

y% 28x% 29^2. Równanie to można rozwiązać za pomocą zmiennych rozdzielonych.

Rozwiązania

y = 1 2

c₁e^−c3−x+ e^c3+x− 2c₂^ (71) y = 1

2 c₁e^x−c3 + e^c3−x− 2c₂
(72) y = 1

2

c₁e^−c3−x+ e^c3+x+ 2c₂^ (73) y = 1

2 c₁e^x−c3 + e^c3−x+ 2c₂
(74)

Możemy te rozwiązania połączyć ze sobą:

y = 1 2

c₁e^−c3−x+ e^c3+x+ 2c⁰₂^ (75)

y = 1

2 c1e^x−c3 + e^c3−x+ 2c⁰₂
(76) gdzie c⁰₂ = ±c₂.

Równanie wyjściowehttp: // www. wolframalpha. com/ input/ ?i= y% 27% 27% 27- y% 27% 3D0.

4. Funkcja f jest funkcją jednorodną zmiennych y, y⁰, ..., y⁽ⁿ⁾. Dokonujemy podsta- wienia:

z = y⁰

y y 6= 0 (77)

dz

dx = y⁰⁰y − y⁰²

y² (78)

Przykład 4.

yy⁰⁰− y⁰²= 0 (79)

Funkcja f jest jednorodna ponieważ:

λx₁λx₂− λ²x²₃ = λ^2x₁x₂− x²₃^ (80) Po podstawieniu otrzymujemy:

y²dz

dx = 0 (81)

y = 0 ∨ z = C (82)

y⁰

y = C (83)

ln |y| = Cx + C₁ (84)

y = C₂e^Cx C₂ 6= 0 (85)

Po połączeniu z drugim rozwiązaniem y = 0 otrzymujemy

y = C₃e^Cx (86)

gdzie C₃∈ R. Alternatywnie można zauważyć ogólnie, że

y = e^{R zdx} (87)

y⁰ = ze

Rzdx (88)

y⁰⁰= z⁰e^Rzdx+ z²e^Rzdx (89)

oraz dodatkowo musimy sprawdzić rozwiązanie y = 0. Po podstawieniu w przykła- dzie otrzymujemy

e Rzdx

z⁰e

Rzdx+ z²e Rzdx

− z^2e Rzdx2

= 0 (90)

z⁰ = 0 (91)

z = C (92)

i dalej podobnie. Równanie na wolframalpha.com, http: // www. wolframalpha.

com/ input/ ?i= yy% 27% 27-y% 27^2% 3D0.

1.4 Równania różniczkowe liniowe n-tego rzędu Równanie różniczkowe postaci:

y⁽ⁿ⁾+ a₁(x) y⁽ⁿ⁻¹⁾+ a₂(x) y⁽ⁿ⁻²⁾+ . . . + a_n−1(x) y⁰+ a_n(x) y = F (x) (93) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym n-tego rzędu. Zakładamy, że funkcje F i ai zmiennej x są ciągłe w pewnym ustalonym przedziale. W przypadku, gdy a₁, a2, . . . , a_nsą stałymi, równanie nazywamy równaniem różniczkowym o stałych współczynnikach, gdy F ≡ 0 równaniem różniczkowym jednorodnym (nie mylić z funkcjami jednorodnymi) i dla F 6= 0 równaniem różniczkowym niejednorodnym.

Układ n rozwiązań y₁, y₂, . . . , y_npewnego liniowego równania różniczkowego określa- my jako podstawowy (fundamentalny), jeśli funkcje te w rozpatrywanym przedziale są liniowo niezależne, innymi słowy kombinacja liniowa:

C₁y₁+ C₂y₂+ . . . + C_ny_n (94) nie może znikać tożsamościowo dla jakichkolwiek wartości C₁, C₂, . . . , C_n z wyjątkiem:

C1 = C₂= . . . = C_n= 0 (95)

Rozwiązania jednorodnego liniowego równania różniczkowego y₁, y₂, . . . , yntworzą układ podstawowy, wtedy i tylko wtedy, gdy ich wyznacznik Wrońskiego (wrońskian)

W (x) =         

y₁ y₂ . . . y_n y₁⁰ y₂⁰ . . . y⁰_n . . . . . . . . . . . . y₁⁽ⁿ⁻¹⁾ y₂⁽ⁿ⁻¹⁾ . . . yn⁽ⁿ⁻¹⁾

        

(96)

jest różny od zera. Dla każdego układu rozwiązań rozważanego równania zachodzi wzór Liouville’a:

W (x) = W (x₀) e⁻ Rx

x0a1(x)dx

(97) Dla tego równania n rozwiązań y₁, y2, . . . , yn są liniowo zależne wtw, gdy wrońskian przyjmuje wartość zero chociażby tylko w jednym punkcie x₀ rozpatrywanego przedzia- łu. Jeśli natomiast rozwiązania y₁, y2, . . . , yn tworzą układ podstawowy, to rozwiązanie ogólne równania różniczkowego liniowego jednorodnego możemy zapisać w postaci:

y = C₁y₁+ C₂y₂+ . . . + C_ny_n (98)

Przykład 5.

y⁰⁰− y = 0 (99)

Można łatwo sprawdzić, że powyższe równanie ma dwa rozwiązania szczególne:

y1 = e^x (100)

y2 = e^−x (101)

Aby zbadać czy są one liniowo zależne, czy też niezależne, tworzymy wrońskian:

W [y₁, y₂] =     

e^x e^−x e^x −e^−x

    

= −2 6= 0 (102)

Dlatego oba rozwiązania szczególne tworzą układ fundamentalny i rozwiązaniem ogólnym jest:

y = C₁e^x+ C₂e^−x (103)

Równanie na wolframalpha.com, http: // www. wolframalpha. com/ input/ ?i= y% 27%

27-y% 3D0.

Przykład 6. Znajdziemy rozwiązanie równania różniczkowego przy pomocy wzoru Lio- uville’a.

y⁰⁰+ p₁y⁰+ p₂y = 0 (104)

które ma rozwiązanie szczególne y₁. Ze wzoru Liouville’a otrzymujemy:

    

y1 y y⁰₁ y⁰

    

= Ce⁻

Rp1dx (105)

Po przekształceniu:

y₁y⁰− y⁰₁y = Ce^−Rp1dx / : y²₁ y₁ 6= 0 (106) Po scałkowaniu:

y = y1



 Z Ce⁻

Rp1dx

y₁² dx + C2



 (107)

1.5 Obniżanie rzędu równania liniowego jednorodnego

Jeśli znamy pewne rozwiązanie szczególne y₁ równania jednorodnego, to pozostałe roz- wiązania możemy wyznaczyć przez podstawienie:

y = y₁(x) u (x) (108)

z otrzymanego w ten sposób liniowego równania jednorodnego rzędu n − 1 na funkcję u⁰(x) (podstawienie u⁰(x) = v(x)).

Przykład 7.

y⁰⁰+ x

1 − xy⁰− 1

1 − xy = 0, x 6= 1 (109)

Rozwiązaniem szczególnym jest:

φ₁ = e^x (110)

ponieważ:

e^x+ x

1 − xe^x− 1

1 − xe^x= 0 (111)

1 + x

1 − x− 1

1 − x = 0 (112)

1

1 − x− 1

1 − x = 0 (113)

Postulujemy rozwiązanie postaci:

φ₂ = e^xu (x) (114)

Podstawiamy:

y = e^xu (x) (115)

y⁰ = e^xu (x) + e^xu⁰(x) (116) y⁰⁰ = e^xu (x) + 2e^xu⁰(x) + e^xu⁰⁰(x) (117) Po podstawieniu otrzymujemy:

e^xu (x) + 2e^xu⁰(x) + e^xu⁰⁰(x) + x

1 − x e^xu (x) + e^xu⁰(x)
− 1

1 − x(e^xu (x)) = 0 (118) u (x) + 2u⁰(x) + u⁰⁰(x) + xu (x)

1 − x +xu⁰(x)

1 − x − u (x)

1 − x = 0 (119)

u⁰⁰(x) + u (x)

1 − x+2u⁰(x) − xu⁰(x)

1 − x − u (x)

1 − x = 0 (120)

u⁰⁰(x) + 2u⁰(x) − xu⁰(x)

1 − x = 0 (121)

u⁰⁰(x) + u⁰(x)2 − x

1 − x = 0 (122)

u⁰⁰(x) + u⁰(x)



1 + 1 1 − x



= 0 (123)

Podstawiamy następnie

u⁰(x) = v (x) (124)

v⁰(x) + v (x)



1 + 1 1 − x



= 0 (125)

Rozwiązaniem tego równania jest:

v (x) = C (1 − x) e^−x (126)

Przyjmujemy C = 1. Skąd otrzymujemy:

u (x) = Z

v (x) dx = Z

(1 − x) e^−xdx = −e^−x− Z

xe^−xdx + C = (127)

= −e^−x+ xe^−x− Z

e^−xdx + C = xe^−x+ C (128) Wybieramy C = 0, i otrzymujemy:

φ₂ = e^xu (x) = x (129)

A więc rozwiązanie ogólne równania jednorodnego ma postać:

y (x) = C1e^x+ C₂x (130)

Sprawdzić za pomocą Wrońskianu, że rozwiązania szczególne są liniowo niezależne. Rów- nanie na wolframalpha.com, http: // www. wolframalpha. com/ input/ ?i= y% 27% 27+

%2B+ x% 2F% 281-x% 29y% 27+ -+1% 2F% 281-x% 29y% 3D0. 1.6 Rozwiązywanie równań niejednorodnych

Jeśli znaleziony został podstawowy układ rozwiązań równania jednorodnego, to możemy zastosować następujące dwie metody.

1.6.1 Metoda uzmienniania stałych

Po angielsku variation of parameters. Poszukiwane rozwiązanie postulujemy w postaci:

y = C1y1+ C₂y2+ . . . + C_nyn (131) gdzie C₁, C₂, . . . , C_n nie są w tym przypadku stałymi, ale funkcjami zmiennej x, a y_i to rozwiązania szczególne równania różniczkowego jednorodnego niezależne od siebie.

Żądamy przy tym, aby spełnione były poniższe równania:

C₁⁰y1+ C₂⁰y2+ . . . + C_n⁰yn= 0 (132) C₁⁰y₁⁰ + C₂⁰y₂⁰ + . . . + C_n⁰y⁰_n= 0 (133)

. . . (134)

C₁⁰y₁⁽ⁿ⁻²⁾+ C₂⁰y₂⁽ⁿ⁻²⁾+ . . . + C_n⁰y_n⁽ⁿ⁻²⁾= 0 (135) Możemy zapisać te równania jako

n

X

i=1

C_i⁰y_i^(j)= 0 (136)

dla j = 0, 1, . . . , n − 2. Ostatnie równanie będzie następujące

C₁⁰y⁽ⁿ⁻¹⁾₁ + C₂⁰y⁽ⁿ⁻¹⁾₂ + . . . + C_n⁰y_n⁽ⁿ⁻¹⁾= F (137) Zapisane inaczej

n

X

i=1

C_i⁰y_i⁽ⁿ⁻¹⁾= F . (138)

Z powyższych równań wyznaczamy C₁⁰, C₂⁰, ..., C_n⁰, z których przez scałkowanie otrzymu- jemy funkcje C₁, C₂, . . . , C_n.

Dowód. Wyprowadzenie równania (138). Zauważmy, że różniczkując (131) otrzymujemy y⁰= C₁⁰y1+ C₁y₁⁰ + C₂⁰y2+ C₂y₂⁰ + . . . + C_n⁰yn+ C_ny_n⁰ (139) Możemy podstawić do powyższego (132) i otrzymamy

y⁰ = C₁y⁰₁+ C₂y⁰₂+ . . . + C_ny_n⁰ (140) Różniczkując kolejny raz powyższe otrzymujemy

y⁰⁰= C₁⁰y₁⁰ + C₁y₁⁰⁰+ C₂⁰y₂⁰ + C₂y₂⁰⁰+ . . . + C_n⁰y⁰_n+ C_ny_n⁰⁰ (141) Po podstawieniu (133) otrzymujemy

y⁰⁰= C₁y₁⁰⁰+ C₂y₂⁰⁰+ . . . + C_ny_n⁰⁰ (142) Ogólnie różniczkując j-krotnie otrzymujemy

y^(j)=

n

X

i=1

C_iy_i^(j) (143)

dla j = 0, . . . , n − 1. A dla j = n otrzymujemy y⁽ⁿ⁾=

n

X

i=1

C_i⁰y_i⁽ⁿ⁻¹⁾+

n

X

i=1

C_iy_i⁽ⁿ⁾ (144)

ponieważ tego pierwszego składnika nie możemy już uprościć. Następnie podstawiamy wszystkie (143) oraz (144) do (93) i otrzymujemy:

n

X

i=1

C_i⁰y⁽ⁿ⁻¹⁾_i +

n

X

i=1

Ciy_i⁽ⁿ⁾+ a₁(x)

n

X

i=1

Ciy_i⁽ⁿ⁻¹⁾+ . . . + a_n(x)

n

X

i=1

Ciyi = F (x) (145)

n

X

i=1

C_i⁰y⁽ⁿ⁻¹⁾_i +

n

X

i=1

C_i^y⁽ⁿ⁾_i + a₁(x) y⁽ⁿ⁻¹⁾_i + . . . + a_n(x) y_i^= F (x) (146) Ponieważ y_i są rozwiązaniami równania jednorodnego, a więc drugi składnik sumy znika i otrzymujemy (138).

Równania od 1 do n − 1 zostały dobrane w sposób arbitralny, aby były możliwie proste. A ostatnie równanie tak aby było spełnione równanie wyjściowe.

Przykład 8.

y⁰⁰+ x

1 − xy⁰− 1

1 − xy = x − 1 (147)

Najpierw rozwiązujemy równanie jednorodne:

y⁰⁰+ x

1 − xy⁰− 1

1 − xy = 0 (148)

Równanie to zostało już wcześniej rozwiązane, rozwiązanie ogólne równania jednorodnego ma postać:

y (x) = C₁e^x+ C₂x (149)

Uzmiennianie stałych daje:

y (x) = u₁(x) e^x+ u₂(x) x (150) u⁰₁(x) e^x+ u⁰₂(x) x = 0 (151) u⁰₁(x) e^x+ u⁰₂(x) = x − 1 (152) Rozwiązaniem jest:

u⁰₁(x) = xe^−x (153)

u⁰₂(x) = −1 (154)

Po scałkowaniu:

u1(x) = − (1 + x) e^−x+ C₃ (155)

u₂(x) = −x + C₄ (156)

Rozwiązaniem ogólnym równania niejednorodnego jest więc:

y (x) = − (1 + x) + C3e^x− x²+ C₄x = −^1 + x^2+ C₃e^x+ C₅x . (157) Drugi sposób wykorzystuje następujące twierdzenie.

Twierdzenie 1.1. Ogólne rozwiązanie równania różniczkowego liniowego niejednorodne- go jest sumą rozwiązania ogólnego odpowiadającego równania jednorodnego i rozwiązania szczególnego równania niejednorodnego.

Dla poprzedniego przykładu, bierzemy przykładowe u₁(x) i u₂(x) po scałkowaniu, i konstruujemy rozwiązanie szczególne, przykładowo bierzemy u₁(x) = −(1 + x)e^−x i u₂(x) = −x i rozwiązanie szczególne równania to po podstawieniu do (150) jest równe

− (1 + x) e^−xe^x− xx = − (1 + x) − x² (158) Rozwiązanie ogólne konstruujemy jako sumę rozwiązania ogólnego równania jednorod- nego i rozwiązania szczególnego równania niejednorodnego. Otrzymujemy

C1e^x+ C₂x − 1 − x − x²= C₁e^x+ C₃x − 1 − x² . (159) Równanie w wolframalpha.com, http://www.wolframalpha.com/input/?i=y%27%27%

2Bx%2F%281-x%29y%27+-+1%2F%281-x%29y+%3D+x-1.

1.6.2 Metoda Cauchy’ego

Po angielsku method of undetermined coefficients. W rozwiązaniu ogólnym równania jednorodnego odpowiadającego równaniu (93)

y = C₁y₁+ C₂y₂+ . . . + C_ny_n (160) stałym przypisujemy takie wartości, aby dla dowolnego parametru α po podstawieniu x = α spełnione były równania:

y (α) = 0 (161)

y⁰(α) = 0 (162)

. . . (163)

y⁽ⁿ⁻²⁾(α) = 0 (164)

y⁽ⁿ⁻¹⁾(α) = F (α) (165)

Jeśli otrzymane w ten sposób rozwiązanie szczególne równania jednorodnego oznaczymy przez φ (x, α) to:

y = Z x

x0

φ (x, α) dα (166)

jest rozwiązaniem szczególnym równania niejednorodnego, przy czym w punkcie x = x₀ funkcja ta wraz ze swoimi pochodnymi aż do rzędu (n − 1) włącznie przyjmuje wartość zero.

Przykład 9. Dla poprzedniego przykładu mamy rozwiązanie równania jednorodnego:

y (x) = C₁e^x+ C₂x (167)

dostajemy równania:

y (α) = C₁e^α+ C₂α = 0 (168)

y⁰(α) = C₁e^α+ C₂ = α − 1 (169) Z tego otrzymujemy:

C₁ = αe^−α (170)

C2 = −1 (171)

φ (x, α) = αe^−αe^x− x (172)

y (x) = Z x

x0

αe^−αe^x− x
dα = (x0+ 1) e^x−x0+ (x₀− 1) x − x²− 1 (173) Jest to rozwiązanie szczególne, wybierzmy dowolne x₀, np. x₀ = −1, wtedy otrzymujemy

y (x) = −2x − x²− 1 (174)

Rozwiązanie ogólne jest sumą rozwiązania równania jednorodnego i rozwiązania szcze- gólnego, a więc

y (x) = C₁e^x+ C₂x − 2x − x²− 1 = C₁e^x+ C₃x − x²− 1 (175)

Ponadto dla równań liniowych zachodzi prawo superpozycji.

Twierdzenie 1.2. Prawo superpozycji. Jeśli mamy dwa rozwiązania szczególne równania różniczkowego liniowego niejednorodnego y₁ i y₂ dla prawych stron F₁ i F₂, wtedy suma tych rozwiązań y = y₁+y₂ jest rozwiązaniem szczególnym tego samego równania o prawej stronie F = F₁+ F₂.

Przykład 10. Mamy równanie

y⁰⁰− 4y = 2x²− 8x + 3 (176)

Możemy rozwiązać 3 równania niejednorodne

y⁰⁰− 4y = 2x² (177)

Rozwiązaniem szczególnym jest

y = −x² 2 −1

4 (178)

Następne równanie

y⁰⁰− 4y = −8x (179)

Rozwiązaniem szczególnym jest

y = 2x (180)

Następne równanie

y⁰⁰− 4y = 3 (181)

Rozwiązaniem szczególnym jest

y = −3

4 (182)

A więc rozwiązaniem szczególnym równania niejednorodnego jest

− x² 2 − 1

4+ 2x − 3

4 = −x²

2 + 2x − 1 (183)

Rozwiązaniem równania jednorodnego jest

C₁e^2x+ C₂e^−2x (184)

A więc ostatecznym rozwiązaniem jest

C1e^2x+ C₂e^−2x−x²

2 + 2x − 1 (185)

Równanie na wolframalpha.com, http: // www. wolframalpha. com/ input/ ?i= y% 27%

27+ -4y+ %3D+ 2x^2+ -+8x+ %2B+ 3.

2 Zadania

2.1 Zadania na 3.0

Wszystkie zadania proszę rozwiązać symbolicznie za pomocą wolframalpha.com oraz Ma- tlaba. Wyświetlić pole kierunkowe do każdego równania. W rozwiązaniu powinien znaleźć się skrypt rozwiązujący dane równanie w Matlabie oraz wyświetlający pole kierunkowe wraz z przykładowymi rozwiązaniami, jak również link do strony wolframalpha.com z rozwiązaniem równania. Powinien również znaleźć się komentarz odnośnie zgodności roz- wiązań z Matlaba, wolframalpha.com oraz poniższych odpowiedzi.

1.

y⁰⁰= y⁰²

y y > 0 (186)

Odp.:

y = C₂e^C1x (187)

2.

y⁰+1

4y⁰⁰²= xy⁰⁰ (188)

Odp.:

y = C₁x (x − C₁) + C₂, y = x³

3 + C (189)

3.

xy⁰⁰⁰+ y⁰⁰= 1 + x (190)

Odp.:

y = x³ 12+ x²

2 + C₁x ln |x| + C₂x + C₃ (191) 4.

x²yy⁰⁰= y − xy^0
2 (192)

5.

xy⁰⁰− y⁰ = x² (193)

2.2 Zadania na 4.0

Wszystkie zadania proszę rozwiązać symbolicznie za pomocą wolframalpha.com oraz Ma- tlaba. Wyświetlić pole kierunkowe do każdego równania. W rozwiązaniu powinien znaleźć się skrypt rozwiązujący dane równanie w Matlabie oraz wyświetlający pole kierunkowe wraz z przykładowymi rozwiązaniami, jak również link do strony wolframalpha.com z rozwiązaniem równania. Powinien również znaleźć się komentarz odnośnie zgodności roz- wiązań z Matlaba, wolframalpha.com oraz poniższych odpowiedzi.

1.

d³y

dx³ = ln x (194)

z wartościami początkowymi:

x₀ = 1, y₀, y₀⁰, y₀⁰⁰− dowolne (195) Znaleźć całkę ogólną tego równania. Odpowiedź:

y = y₀+ (x − 1) y₀⁰ +(x − 1)² 2 y₀⁰⁰+1

6x³ln x − 11 36x³+1

2x²−1 4x + 1

18 (196) Rozwiązanie ogólne:

y = 1

6x³ln x − 11

36x³+ C₂x²+ C₁x + C₀ (197) 2.3 Zadania na 5.0

Wszystkie zadania proszę rozwiązać symbolicznie za pomocą wolframalpha.com oraz Ma- tlaba. Wyświetlić pole kierunkowe do każdego równania. W rozwiązaniu powinien znaleźć się skrypt rozwiązujący dane równanie w Matlabie oraz wyświetlający pole kierunkowe wraz z przykładowymi rozwiązaniami, jak również link do strony wolframalpha.com z rozwiązaniem równania. Powinien również znaleźć się komentarz odnośnie zgodności roz- wiązań z Matlaba, wolframalpha.com oraz poniższych odpowiedzi.

1. Linia pościgu. Po osi Ox porusza się w kierunku dodatnim ze stałą prędkością a punkt P . Po płaszczyźnie Oxy porusza się punkt M ze stałą prędkością v tak, że wektor prędkości jest w każdej chwili skierowany do punktu P . Znaleźć równanie różniczkowe. Znaleźć tor punktu M . Odpowiedź:

x = y₀ 2 1 + ^a_v

y y0

1+^a_v

− y₀ 2 1 − ^a_v

y y0

1−^a_v

− 1

!

+ C₁ (198)

Literatura

[1] I. N. Bronsztejn, K. Siemiendiajew, G. Musiol, and H. Möhlig, Nowoczesne kompen- dium matematyki. Wydawnictwo naukowe PWN, 2004.

[2] J. Niedoba and W. Niedoba, Równania różniczkowe zwyczajne i cząstkowe. Wydaw- nictwa AGH, 2001.