Plan wykÃladu nr 8: Funkcje wielu zmiennych Szczeg´oÃly:
M. Krych: skrypt - Funkcje wielu zmiennych, r´o˙zniczkowalno´s´c Krysicki-WÃlodarski: Tom II, roz. I.9-11
• Zbiory zwarte
¦ z ka˙zdego cia,gu mo˙zna wybra´c podcia,g zbie˙zny;
• Funkcja cia,gÃla osia,ga kresy na zbiorze zwartym;
• Pochodne kierunkowe fv0(x) i pochodne cza,stkowe ∂x∂fi(x)
¦ pochodne kierunkowe w lokalnym ekstremum funkcji zeruja, sie,;
• Definicja r´o˙zniczkowalno´sci i macierz pochodnych, r´o˙zniczka Df (x)
¦ liniowe przybli˙zenie funkcji
f (x0+ v) = f (x0) + Df (x0)(v) + r1(v)
¦ Df (x) jako macierz pochodnych cza,stkowych
¦ zwia,zek pomie,dzy pochona, kierunkowa, a r´o˙zniczka,: fv0(x) = Df (x)(v)
¦ kierunek najszybszego wzrostu - gradient funkcji
¦ przestrze´n styczna do poziomicy jest r´owna ker(Df (x))
¦ przykÃlad f (x, y) = x2 − y2 = 1, prametryzacja poziomicy funkcjami hiperbolicznymi
(x(t), y(t)) = (cosh(t), sinh(t)) ;
• Pochodna zÃlo˙zenia funkcji i pochodna funkcji odwrotnej;
• Na ´cwiczenia: 2-5,7 z kartki 18
