MATEMATYKA IL
Granice funkcji - zadania treningowe przed II kolokwium
1. Obliczyć, zarówno korzystając jak i nie korzystając z twierdzenia de l’Hospitala, granice następu- jących funkcji:
a) lim
x→0
x 2 −√
x+ 4, b) lim
x→0
√3
1 + x −√3 1 − x
2x , c) lim
x→2
√x+ 2 − 2
√2x + 5 − 3, d) lim
x→−3
x2− x − 12 x2+ 4x + 3 2. Obliczyć, zarówno korzystając jak i nie korzystając z twierdzenia de l’Hospitala, granice następu- jących funkcji:
a) lim
x→∞
x
√3
x2+ 9, b) lim
x→∞
√4
x2+ x
x− 1 , c) lim
x→∞
√x p
x+√ x
, d) lim
x→∞(√
x+ 1 −√ x)
3. Obliczyć granice następujących funkcji dwoma metodami tj. korzystając z twierdzenia de l’Hospitala oraz wykorzystując granicęlimx→0sinx
x = 1:
a) lim
x→0
1 − cos(2x) x2
, b) lim
x→0
2 arcsin(x)
4x , c) lim
x→0xctgx, d) lim
x→0
√2 −√
1 − cos x sin2x
4. Obliczyć granice następujących funkcji dwoma metodami tj. korzystając z twierdzenia de l’Hospitala oraz wykorzystując granicęlimx→0(1 + x)1/x= e:
a) lim
x→∞
x+ 4 x− 1
x
, b) lim
x→∞
x2+ 5 x2− 3
3x
2−5
, c) lim
x→0
1
xln1 + x
1 − x, d) lim
x→0(1 − sin x)ctgx 5. Zbadać ciągłość funkcji:
a) y =
2−x12 dla x6= 0
0 dla x= 0 , b) y = x
psin |x|, c) y = x 1 + 21x. 6. Obliczyć granice następujących wyrażeń nieoznaczonych:
a) lim
x→0
tan x x
2/x
b) lim
x→1
1
ln x − x x− 1
c) lim
x→0
1 x
sinx
d) lim
x→+∞
x− x2ln
1 + 1
x
. 7. Obliczyć granice:
a) lim
x→+∞
ln x3 x
, b) lim
x→+∞2x [ln x − ln(x + 2)] , c) lim
x→+∞(ln x)1x d) lim
x→+∞
x x− 3
x/4
, e) lim
x→+∞
1 + 1
x − 6 x2
x
, f) lim
x→+∞
1 − 4
x2
x
.
8. Obliczyć granice:
a) lim
x→+∞
sin2x
tanx1, b) lim
x→∞
sinx3
tan1x, c) lim
x→+∞ln
cos1
x
, d) lim
x→+∞x3/2
p
x3+ 1 −p x3− 1
. 9. Obliczyć granice:
a) lim
x→0
1 x2
1 ctg x
, b) lim
x→0(cos 2x)x12, c) lim
x→13
9x2− 1
arcsin(1 − 3x) d) lim
x→∞
x
rπ
2 − arctgx.
