11. Caªkowanie ci¡gów i szeregów funkcyjnych
w. 11.1 Oblicz granic¦ caªek
n→∞lim Z
A
x + 1
ny
2
l2(dxdy), gdzie A jest trójk¡tem o wierzchoªkach (1, 1), (2, 1), (1, 2).
w. 11.2 Oblicz granic¦ caªek
n→∞lim Z
A
1 + x + y 5
n
x l2(dxdy), gdzie A = {(x, y); 1 < x < 2; −1 < y − x < 1}.
w. 11.3 Obliczy¢ granic¦ caªek Z
A
1 + x + y n
n
e−x−y−z l3(dxdydz).
gdzie a) A = {(x, y, z); 0 < x + y < 1, z > 0},
b) A = {(x, y, z); 0 < x + y < 1, z > 0, x > 0, y > 0}.
w. 11.4 (1996) Znajd¹, o ile istnieje, granic¦
n→∞lim Z
A
(1 − sinn(x + y))xy2 l2(dxdy), gdzie A = {(x, y); 0 ≤ x ≤ 1, x ≥ y2}.
w. 11.5 (1997) Oblicz, o ile istnieje, granic¦
n→∞lim Z
S
n sinxyz n2
exp
−x 2 − y2
4 − z
l3(dxdydz), gdzie S = {(x, y, z); x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0}.
w. 11.6 (2003) Oblicz granic¦
n→∞lim Z
A
1 ntg 2xn2 l
2(dx dy),
gdzie A jest wn¦trzem trójk¡ta o wierzchoªkach (1, 1), (5, 1), (3, 5).
w. 11.7 (2004) Oblicz granic¦
n→∞lim Z
A
n sinz
n arctan x2+ y2
√n
l3(dx dy dz ), gdzie A = {(x, y, z); x2+ y2 ≤ 4, 0 ≤ z ≤ 2}.
