Klasyczna teoria perturbacji
3.1 Elementarna teoria perturbacji
Rozdział III
Klasyczna teoria perturbacji.
3.1 Elementarna teoria perturbacji.
Układy hamiltonowskie, całkowalne zupełnie stanowią wyjątki. (* To stwierdzenie potwierdzają pewne waŜne wyniki.
Siegel, pokazał, Ŝe w określonych klasach układów hamiltonowskich przypadki całkowalne stanowią zbiór gęsty [13]
Marcus i Meyer udowodnili, Ŝe hamiltonowskie układy dynamiczne ogólnej postaci nie są ani całkowalne ani
ergodyczne [8] – przypis autora *). Tym niemniej nie bacząc na ich wyjątkowość, układy całkowalne odgrywają waŜną rolę w naszym rozumieniu układów niecałkowalnych. Wynika to z tego, Ŝe często wygodnie jest przedstawić układ hamiltonowski w postaci sumy członu całkowalnego H0 i pewnego (małego) zaburzenia
(* perturbacji – przypis własny *) H1 :
H( p, q ) = H0 ( p, q ) + εH1( p, q ) (3.1.1)
Gdzie zakładamy, Ŝe ε jest małym parametrem zaburzenia ε << 1.
Idea tej metody polega na tym aby rozwiązania przybliŜonego dla H( p, q ) szukać w postaci sumy rozwiązania
„ścisłego” dla H0 i małych poprawek związanych z H1( p, q ). Postępowanie to stanowi przedmiot teorii perturbacji a jej najbardziej znanym przykładem zastosowania jest opis ruchu planet w układzie słonecznym. JeŜeli zagadnienie ruchu Ziemi wokół Słońca rozpatrywać jako zagadnienie dwóch ciał to ma ono rozwiązanie ścisłe tj. jest ono całkowalne.
( Ziemia obraca się wokół Słońca po orbicie keplerowskiej ). Jednak obecność innych planet, zwłaszcza Jupitera wpływa nie trywialnie na ruch Ziemi, wpływ taki moŜemy rozpatrywać jako małe zaburzenie w zagadnieniu dwóch ciał.
Pokazano, Ŝe takie zagadnienie trzech ciał (* Ziemi, Słońca i Jupitera – przypis własny *) sprowadzone nawet do prostszej postaci, jest nierozwiązywalne w tym sensie, Ŝe próby wielu uczonych ( nawet bardzo wybitnych
matematyków ) znalezienia szeregów zbieŜnych rozkładu perturbacyjnego dla orbit przybliŜonych nie zostały ukończone sukcesem. Do problemu tego będziemy powracać w miarę dalszego wykładu, obecnie wprowadzimy kilka prostszych przykładów związanych z zastosowaniem teorii perturbacji, które pozwolą nam naświetlić problemy głębsze.
Podstawowa idea teorii perturbacji polega na tym, aby dokonać rozkładu rozwiązania x(t) w szereg względem potęg ε :
x(t) = x0(t) + εx1(t) + ε2x2(t) + ... (3.1.2)
gdzie x0(t) – jest rozwiązaniem dokładnym całkowalnej części zagadnienia, a poprawki : x1(t), x2(t), .... obliczane są rekurencyjnie. Rozkład ten jest oczywiście taki aby w granicy ε → 0 zachowywały się tylko „całkowalne” części zagadnienia. MoŜna mieć nadzieje, Ŝe przy dostatecznie małym ε kilka pierwszych składowych szeregu (3.1.2) będzie stanowić dostatecznie dobre przybliŜenie rozwiązania „rzeczywistego” – chociaŜ nawet w takim przypadku nie ma Ŝadnych gwarancji, Ŝe takie zachowanie będzie zachowane w przedziale dłuŜszego czasu. Innymi słowy w kaŜdym przypadku rozkładu postaci (3.1.2) spotykamy się z kluczowym problemem jego zbieŜności.
Kilka prostych ale pouczających przykładów rozkładu w szereg moŜna znaleźć pośród zagadnień polegających na obliczeniu pierwiastków równań algebraicznych.
3.1.a Regularne szeregi perturbacyjne.
Rozpatrzmy proste równanie kwadratowe :
x2 + x – 6ε = 0 (3.1.3)
gdzie zakładamy, Ŝe ε jest małym parametrem. (* W istocie jest to metoda tzw. „małego parametru” – zobacz tekst pt.
„Rozdział XII. Wprowadzenie do teorii równań róŜniczkowych zwyczajnych” – przypis własny *)
W przybliŜeniu zerowym równowaŜnym „całkowalnej” części zagadnienia dynamicznego : x2 + x = 0, mamy dwa pierwiastki x = 0 , -1. Spróbujmy przedstawić pierwiastki zadania „perturbowanego” (3.1.3) w postaci szeregu potęgowego :
∞ ∞
x =
ΣΣΣΣ
an εn = a0 +ΣΣΣΣ
an εn (3.1.4)n=0 n=0
gdzie : a0 – jest jednym z dwóch pierwiastków przybliŜenia zerowego, względem którego dokonujemy omawianego rozkładu. Podstawiając rozkład (3.1.4) do (3.1.3) i kolejno przyrównując do zera kaŜdą z potęg ε, znajdujemy aŜ do O( ε2 ) :
Równanie (3.1.5a) pozwala, jak naleŜało się spodziewać, pierwiastek przybliŜenia zerowego. Dla kaŜdej z wartości a0 moŜemy kolejno rozwiązać równania (3.1.5b) , (3.1.5c)oraz dalsze, odpowiadające wyŜszym potęgom ε. Tym sposobem łatwo znajdujemy postać rozkładu dla obu pierwiastków (3.1.3) :
x1 = 6ε – 36ε2 + O( ε3 ) x2 = -1 - 6ε + 36ε2 - O( ε3 )
Jeśli, przykładowo ε = 0,01 to pierwiastki będą odpowiednio równe ( z dokładnością do ε2 ) : x1 = 0,056 4, x2 = -1,0564 36ε2 , co jest zgodne z dokładnością do trzeciej liczby po przecinku z rozwiązaniem analitycznym.
Rozkład postaci (3.1.4) przedstawia sobą przykład „regularnych szeregów perturbacyjnych” ; mają one skończony promień zbieŜności i w granicy ε → 0 pozwalają uzyskać rozwiązania zerowego przybliŜenia.
3.1.b Osobliwe szeregi perturbacyjne.
Rozpatrzymy teraz wielomian :
εx2 + x – 1 = 0 (3.1.6)
Jest to oczywiście zagadnienie nieregularne, poniewaŜ w granicy zerowego przybliŜenia ε → 0 układ posiada tylko jeden pierwiastek, podczas gdy zagadnienie perturbowane posiada dwa pierwiastki. Sytuację taką w której przedział ε = 0, róŜni się zasadniczo w zachowaniu od układów zbliŜonych względem małości ε, nazywamy „zagadnieniami osobliwymi teorii perturbacji”. W tym przypadku moŜe nie występować odpowiedni szereg potęgowy lub promień zbieŜności danego szeregu jest równy zeru. ChociaŜ w dalszej części nie będziemy rozpatrywać takich przypadków, w mechanice, pouczające będzie wyjaśnić do końca ten przykład. (* Problemy osobliwej teorii perturbacyjnej pojawią się w rozdziale 6 w kontekście mechaniki quasiklasycznej – przypis autora *). Część nieperturbowana (3.1.6) ( tj. x - 1 = 0 )
Posiada pierwiastek ( przybliŜenie zerowe ) x = 1. Część osobliwa zadania związana jest z drugim pierwiastkiem, który w granicy ε → 0 dąŜy do nieskończoności, co jest łatwo sprawdzić w naszym zadaniu, wychodząc z rozwiązania ścisłego. Przy tym pierwiastek x = 1 zachowuje się w granicy ε → 0 w „regularny” sposób i dla niego moŜemy zbudować regularny rozkład w szereg ( tj. x1= 1 + a1 ε + a2 ε2 + ... ).
Podstawiając go do (3.1.6) pozwala łatwo znaleźć współczynniki a1, a2 , ... , otrzymamy zatem :
x1 = 1 - ε + 2ε2 + O( ε3 ) (3.1.7)
DąŜenie drugiego pierwiastka do nieskończoności przy ε → 0 pozwala załoŜyć, Ŝe zachowuje się on jak pewna
odwrotność potęgi ε ( tj. x = O( 1/ εn ) ). To wskazuje na zasadność dokonania zamiany zmiennych : x = y/ εn w (3.1.6).
RównowaŜąc człony εx2 i x w (3.1.6) ( metodę „dokładnego równowaŜenia” opisuje np. [3] ), widzimy , Ŝe jedynym moŜliwą zaleŜnością jest :x
x = ε-1 y (3.1.8)
To prowadzi do równania :
y2 + y – ε = 0 (3.1.9)
Co sprawia, Ŝe mamy teraz do czynienia z zagadnieniem regularnym; pierwiastki ( przybliŜenie zerowe ) są równe odpowiednio : y1 = 0, y2 = 1. W tym przypadku moŜemy łatwo znaleźć rozkład w postaci szeregów regularnych, postaci ∞
y =
ΣΣΣΣ
bn εn : n=0y1 = ε – ε2 + 2 ε3 + O( ε4 )
y2 = -1 - ε + ε2 - 2 ε3 + O( ε4 )
Przejście odwrotne do zmiennej wejściowej x dokonywane za pomocą zaleŜności (3.1.8) pozwala otrzymać dwa pierwiastki :
x = 1 - ε + 2ε2 + O( ε3 )
(3.1.10a)
x = -(1/ε) – 1 + ε - 2ε2 + O( ε3 ) (3.1.10b)
Równanie (3.1.10a) przedstawia sobą nic innego jak wzór na pierwiastek regularny (3.1.7), podczas gdy (3.1.10b) – jest pierwiastkiem osobliwym.
W tym dosyć prostym przykładzie moŜna przekonać się , Ŝe (3.1.10a) i (3.1.10b) w istocie są poprawnymi wyraŜeniami dla dokładnego rozwiązania : x = [ -1 ± sqrt( 1 + 4ε ) ] / 2ε ; w tym celu naleŜy posłuŜyć się standardowym rozłoŜeniem dwumianowym pierwiastka kwadratowego.
3.1.b Regularne szeregi perturbacyjne dla równań róŜniczkowych.
Prosty przykład regularnego rozłoŜenia dla rozwiązania równania róŜniczkowego moŜemy przedstawić dla przypadku :
dx/dt = x + εx2 (3.1.11)
z warunkiem początkowym x(0) = A i z załoŜeniem , Ŝe 0 < ε << 1 ( dalsze postępowanie naśladuje [ 9] ).
Wykorzystując rozkład (3.1.2) a następnie przyrównując potęgi ε , znajdujemy :
O( ε0 ) : x•0 = x0
Całkowalną część zadania ( przybliŜenie zerowe (3.1.12a) ) łatwo jest rozwiązać :
x0 (t) = A et (3.1.13) Podstawiając to rozwiązanie do (3.1.12b) otrzymujemy :
x•
1 = x1 + A2 e2t
(3.1.14)
z warunkiem początkowym x1(0) = 0 ( Zakładając xn(0) = 0 dla wszystkich n ≥ 1, mamy zagwarantowane , Ŝe rozwiązanie (3.1.11) będzie spełniać warunek x(0) = A przy wszystkich ε ). Rozwiązanie równania liniowego, niejednorodnego (3.1.14) znajdujemy bez trudu :
x1(t) = A2 et ( et – 1 )
(3.1.15)
rozwiązanie to moŜe być podstawione do (3.1.12b) , co prowadzi do wyniku :
x2(t) = A3 et ( et – 1 )2
(3.1.16)
Zatem, z dokładnością do O( ε2 ) rozwiązanie (3.1.11) ma postać :
x(t) = A et [ 1 + εA( et – 1 ) + ε2 A2 ( et – 1 )2 ] + O( ε3 ) (3.1.17) Równanie (3.1.11) moŜemy rozwiązać dokładnie za pomocą jego linearyzacji, podstawiając : x = 1/y ( albo x = y•/ y ) Oba te podstawienia prowadzą do wyniku :
co , oczywiście jest zgodne z (3.1.17) z dokładnością do O( ε2 ). Promień zbieŜności tego rozkładu określany jest wzorem : εA( et – 1 ) < n. Zatem, istnieje wartość krytyczna czasu tc , po którym rozwinięcie w szereg traci sens. Czas ten łatwo jest obliczyć z warunku : εA( etc – 1 ) = 1 :
tc = ln[ (1 + εA ) /εA ] (3.1.19) Dla uzupełnienia rozpatrzymy krótko uogólnienie (3.1.11) :
dx/dt = x + εxα (3.1.20) gdzie α – dowolny wykładnik potęgi. Równanie to ( często nazywane równaniem Bernoulliego) moŜe być linearyzowane przez podstawienie : y = x 1 -α , co prowadzi do wyniku :
x(t) = et [ x(0)1 – α + ε ( 1 – e( 1 – α) t ) ]1/( 1- α) (3.1.21) Wynik ten moŜe być równieŜ przedstawiony w postaci szeregu potęgowego, czas krytyczny dla niego określony jest wzorem :
tc = ( 1/ 1 – α) ln [ ( x(0)1 – α + ε ) / ε ] (3.1.22) skąd wnioskujemy, Ŝe szereg będzie zbieŜny przy wszystkich ( dodatnich ) t < tc przy warunku α > 1.
Przejdziemy teraz do rozpatrzenia rozkładu w szereg rozwiązania „istotnego” zagadnienia mechaniki – standardowego perturbowanego oscylatora harmonicznego, postaci :
x••
+ ω02 x – εx3 = 0 (3.1.23) przy ε = ω02 / 6 , wyraŜenie to odpowiada rozkładowi równania róŜniczkowego wahadła względem odchylenia kątowego x, ograniczonemu do członów trzeciego rzędu. ChociaŜ równanie (3.1.23) moŜe być scałkowane łatwo, z zastosowaniem funkcji eliptycznych, nas w tej chwili będzie interesowało słuszność rozkładu względem małych ε w porównaniu z rozwiązaniem zwykłego oscylatora harmonicznego. Naśladując [7], podstawimy (3.1.2) do (3.1.23) , co pozwoli nam otrzymać :
Równanie zerowego przybliŜenia (3.1.24a) ma rozwiązanie : x0 = A cos(ω0t) z warunkiem początkowym : x•
0 (t) = 0, x0(t) = A. Podstawiając x0 do (3.1.24b) otrzymamy : x••
1 + ω02 x1 = ¼ A3
[ cos(3ω0t) + 3 cos(ω0 t) ] (3.1.25)
gdzie wykorzystaliśmy toŜsamość trygonometryczną : cos3x = ¼ [ cos (3x) + 3cos(x) ]. Równanie (3.1.25) przedstawia sobą liniowe niejednorodne równanie , które moŜe być rozwiązane z pomocą metod standardowych, opisanych w rozdziale 1. Ogólne jego rozwiązanie ma postać :
x1(t) = A1 cos( ω0t) + B1sin(ω0t) – (A3
/ 32 ω02 ) cos(3ω0t) + (3A3
/ 8ω0 ) sin(ω0t) (3.1.26) Zawiera ono człon sekularny t sin(ω0t), biorący się stąd, Ŝe drugi „perturbowany” człon po prawej (3.1.25) rezonuje z częstością własną drgań. Jest zrozumiałe, Ŝe metoda rozkładu względem małych ε nie sprawdza się nawet jeśli
ograniczymy się do członów pierwszego rzędu – wynika to z tego, Ŝe jak wiemy nieliniowość układu stabilizowana jest przez rezonans. Wychodząc od tego spostrzeŜenia Poincare [ 10] oraz inni autorzy doszli do wniosku, Ŝe względem potęg ε naleŜy rozkłada nie tylko amplitudy ale równieŜ częstości ω. ( Mając na względzie wcześniejsze omówienie
„kanonicznej teorii perturbacji” dla układów hamiltonowskich , zauwaŜymy, Ŝe względem potęg ε powinny być rozłoŜone oba zbiory zmiennych kanonicznych tj. (p, q) – zatem podejście takie nie powinno nas dziwić ).
Zakładając , Ŝe x = x(ωt) – jest funkcją periodyczną zmiennej ωt o okresie 2π ( wskazującą na zmienną kątową ) i rozkładając w szereg obie wielkości x i ω :
x = x0 + εx1+ ε2x2 + …. ; ω = ω0 + εω1+ ε2ω2 + ….
A następnie wykorzystując zaleŜność :
d2/dt2 = ω2 d2 /d(ωt)2 = (ω0 + εω1 + ε2ω2 + …. ) d2 /d(ωt)2
zastosowaną do równania (3.1.23) porównujemy, tak jak wcześniej potęgi ε, w wyniku czego otrzymujemy : O( ε0 ) : ω20 ( x’’0 + x2
We wzorach powyŜszych apostrof oznacza róŜniczkowanie po nowej zmiennej ωt. Równanie (3.1.27a) ma standardowe liniowe rozwiązanie : x0 (t) = A cos(ωt), jego podstawienie do (3.1.27b) daje :
ω20 x’’2 + 2ω20x1 = 2Aω0 ω1 cos(ω0 t) + ¼ A3cos(3ω0t) + ¼ A3cos(ω0t) (3.1.28) Po uwzględnieniu wymogu aby x = x(ωt) to rozwiązanie powinno przedstawiać funkcje periodyczną , członów
określających zachowanie sekularne ( tj. proporcjonalne do cos(3ω0t) ) naleŜy się pozbyć. MoŜna to wykonać , zakładając :
ω1= -3/8 A2ω0 (3.1.29)
co prowadzi do rozwiązania periodycznego (3.1.24b) :
x1(t) = A1cos(ω0 t) + B1sin(ω0 t) – (A3/32ω02 )cos(3ω0 t) (3.1.30)
Procedurę tą moŜna przedłuŜać dla wyŜszych potęg ε , przy warunku prawidłowego wyboru poprawek dla częstości, likwidując tym samym człony sekularne przy kaŜdej z potęg rozkładu. ZauwaŜmy, Ŝe w omawianej metodzie nie tylko wymagamy rozkładu względem potęg ε ale równieŜ względem x oraz ω, zakładamy równieŜ, Ŝe x przedstawia funkcje periodyczną zmiennej ωt. Takiemu sformułowaniu moŜemy nadać sformułowanie ogólniejsze i elegantsze, nazywa się ono „kanoniczną teorią perturbacji”.