Geometryczne reprezentacje w mechanice klasycznej

Na początku ustanowimy pewne rozróŜnienie między wektorami kowariantnymi i kontrawariantnymi.

Rozpatrzmy dowolny wektor a = ( a1, ... , an ) , kaŜda ze składowych którego jest funkcją współrzędnych x = ( x1, ... , xn ) tj. aj = aj (x).

Rozpatrzmy dalej, przejście do nowego zbioru współrzędnych : y = ( y1, ... , yn ). Wektor a nazywamy kontrawariantnym, jeŜeli przekształca się on zgodnie z prawem :

n

a^i =

ΣΣΣΣ

^(∂yi/∂xj ) aj (2.p.11)

j=1

gdzie : a^i przedstawia sobą aj wyraŜone w nowych zmiennych yi.

Kontrawariantność wektora zwykle podkreśla się wykorzystując indeksy górne : a = ( a1, ... , an

). My jednak będziemy wykorzystywali tylko indeksy dolne.

UŜyteczny przykład wektora kontrawariantnego to nieskończenie małe przesunięcie ( odległość ) między dwoma punktami : dx = ( dx1, ... , dxn ). Te nieskończenie małe wielkości przekształcają się ( zgodnie z zasadą róŜniczkowania funkcji złoŜonej ) tak :

n

dyi =

ΣΣΣΣ

^(∂yi/∂xj ) dxj (2.p.12) j=1

W charakterze drugiego przykładu rozpatrzymy następujący operator ( jego waŜna rolę stanie się jasna później ) : n

tj. wielkości ξi przekształcają się jak składowe wektora kontrawariantnego.

Wektor : b = ( b1, ... , bn ) nazywamy kowariantnym , jeŜeli przy zmianie współrzędnych x → y, przekształca się on

Pokazując, Ŝe pędy uogólnione mogą być przedstawione jako gradient działania ( równanie (2.1.20) ) moŜemy się przekonać , Ŝe są one przykładem wektorów kowariantnych.

Operator wprowadzony w (2.p.13) przedstawia sobą przykład wektora stycznego. Wynikiem jego działania na pewna funkcje skalarną h = h( x1, ... , xn ) w zadanym punkcie x = X jest pochodna kierunkowa h, od tego punktu :

n

ξh =

ΣΣΣΣ

^ξi ∂h/∂xi |x =X (2.p.18) i=1

Rozpatrzmy teraz pewną krzywą : φ = φ(s), sparametryzowaną za pomocą zmiennej s, która przechodzi przez punkt X przy s = 0. JeŜeli φ = ( φ1, ... , φn ) posiada reprezentacje we współrzędnych φi(s) = xi , to pochodna kierunkowa dowolnej wielkości wzdłuŜ φ(s) w punkcie X określona jest wektorem stycznym :

n

ξ = d/ds |s =0 =

ΣΣΣΣ

^ξi ∂/∂xi |x =X (2.p.19) i=1

gdzie :

ξi = dφi/ds |s =0 (2.p.20)

Oczywiście, jeŜeli φ przedstawia trajektorie układu q(t) = ( q1(t), ... , φn(t) ), gdzie s rozpatrujemy jako czas, to ξi jest niczym innym jak składowymi prędkości q•

i(t). Stąd wynika kontrawariantność wektorów prędkości.

Przez dany punkt X moŜe przechodzić wiele róŜnych trajektorii i odpowiadający im cały zbiór moŜliwych wektorów stycznych. Taki zbiór wektorów w punkcie X obrazuje przestrzeń wektorową, nazywaną „przestrzenią styczną” w punkcie X . Oznaczamy ją przez TM X , gdzie M – to rozmaitość tj. n-wymiarowa „przestrzeń” zajmowana przez układ.

Wiązka styczna przedstawia sobą zbiór wszystkich moŜliwych przestrzeni stycznych we wszystkich moŜliwych punktach M. Oznaczamy ją jako TM.

W formalizmie Lagrange’a stan układu mechanicznego zadany jest za pomocą współrzędnych qi i prędkości q• i. Przy tym w dowolnym punkcie Q w dowolnej chwili czasu t mamy określony wektor styczny :

ξ =

ΣΣΣΣ

^q•i(t) ∂/∂qi |q =Q (2.p.21) i

Zatem, stan układu moŜe być określony za pomocą punktu na wiązce stycznej. LagranŜjan przy takim określeniu moŜemy rozpatrywać jako odwzorowanie TM na polu skalarnym tj. L : TM → R, (gdzie R – zbiór liczb rzeczywistych ) W formalizmie hamiltonowskim opis buduje się na podstawie współrzędnych qi oraz pędów do nich stowarzyszonych pi ; pędy przekształcają się jak wektory kowariantne . Odpowiadająca temu przedstawieniu przestrzeń fazowa

2n-wymiarowa, jest rozmaitością symplektyczną i posiada szereg swoistych własności. NajwaŜniejszą własnością układów hamiltonowskich jest zachowanie objętości fazowej pod działaniem ( hamiltonowskiego ) potoku. Dla jego

geometrycznej interpretacji koniecznym jest wprowadzenie pojęcia „form róŜniczkowych”

(* Za Arnoldem [1] - „mechanika hamiltonowska nie moŜe być zrozumiana bez wykorzystania form róŜniczkowych” – przypis autora *)

1-formę róŜniczkową, oznaczymy symbolem ω1, przedstawia ona następującą wielkość :

ω1= b1dx1 + b2dx2 (2.p.22)

gdzie : b1= b1( x1, x2 ) , b2= b2( x1, x2 ) –składowe wektora kowariantnego.

Rozpatrzmy co wynika z ω1 przy zmianie zmiennych x → y. Wykorzystując (2.p.12) dla przekształcenia wielkości kontrawariantnych dxi, otrzymujemy :

Jest to prawo przekształceń wielkości kowariantnych. Zatem z (2.p.23) wynika , Ŝe 1-forma ω1 jest inwariantna względem zamiany zmiennych.

W mechanice hamiltonowskiej często pojawia się wielkość : n

ωi =

ΣΣΣΣ

pi dqi (2.p.25)

i=1

która, jak łatwo zauwaŜyć jest przykładem 1-formy. W przypadku przestrzeni fazowej rozszerzonej do której wchodzi zmienna niezaleŜna – czas, a w charakterze zmiennej stowarzyszonej H, moŜna równieŜ zbudować 1-forme :

n

ωi =

ΣΣΣΣ

pi dqi - H dt (2.p.26)

i=1

Jest ona znana jako 1-forma Poincarego-Cartana. Jak pokazano w rozdziale 2.3 forma taka jest inwariantna względem przekształcenia kanonicznego, tj. :

n n

ΣΣΣΣ

pi dqi - H dt =

ΣΣΣΣ

pi dQi - H’ dt + dF (2.p.27) i=1 i=1

gdzie : H = H( p1, ... , pn, q1, ... , qn , t) , H’ = H’( P1, ... , Pn, Q1, ... , Qn , t) , a dF – jest róŜniczką zupełną, która jest w istocie funkcją tworzącą , za pomocą której dokonujemy przekształcenia kanonicznego między zmiennymi :

pi, qi i Pi , Qi. Jedna z fundamentalnych własności 1-formy (2.p.26) polega na tym, Ŝe całka po konturze zamkniętym K, który otacza pęk trajektorii :

n

∮

ωi =

∮ ΣΣΣΣ

pi dqi – H dt (2.p.28) K K i=1

Przyjmuje jedną i tą sama wartość dla dowolnego konturu, otaczający dany pęk trajektorii :

∮

ωi =

∮

ωi (2.p.29) K K’

W szczególności wybór między K i K’ moŜe by określony przez konkretny wybór wartości początkowych pi(0) , qi(0) przy t =0 , zatem moŜemy prześledzić „ewolucje” K pod działaniem potoku hamiltonowskiego.

W momencie t = T krzywa K transformuje do krzywej KT. W przestrzeni fazowej rozszerzonej

( p1, ... , pn, q1, ... , qn , t) obu krzywym K ( przy t = 0 ) i KT ( przy t = T ) odpowiada będą krzywe zamknięte leŜące na róŜnych „płaszczyznach” t = const. MoŜemy zapisać (2.p.29) w postaci :

n n

∮ ΣΣΣΣ

pi dqi – H dt =

∮ ΣΣΣΣ

pi dqi – H dt (2.p.30) K i=1 KT i=1

A poniewaŜ całkowanie prowadzimy na wiązkach rozszerzonej przestrzeni fazowej, odpowiadających stałym wartością czasu dt = 0, (2.p.30) prowadzi do zaleŜności :

n n

∮ ΣΣΣΣ

pi dqi =

∮ ΣΣΣΣ

pi dqi (2.p.31) K i=1 KT i=1

1-formę

ΣΣΣΣ

pi dqi niekiedy nazywa się „względnym niezmiennikiem całkowym Poincarego”.

Inną waŜną rolę w mechanice hamiltonowskiej odgrywają 2-formy róŜniczkowe. Formy takie mogą być przedstawione jako „iloczyn” 1-form, w naszym przypadku będzie to iloczyn „zewnętrzny”. Od iloczynu „standardowego” róŜni się on tym, Ŝe jest on antysymetryczny :

dxi ∧ dxj = - dxj ∧ dxi (2.p.32)

oraz :

dxi ∧ dxj = 0 (2.p.33)

gdzie symbol ∧ oznacza iloczyn zewnętrzny. Iloczyn zewnętrzny funkcji reprezentuje róŜniczki, spełniające warunki :

bi ∧ dxj = dxj ∧ bj = bi dxj (2.p.34) Iloczyn θ1∧ θ2 przedstawia sobą przykład 2-formy róŜniczkowej, oznaczmy ją przez ω2.

Zmiana zmiennych x1 = x1( y1, y2 ) ; x2 = x2( y1, y2 ) pozwala uzyskać zaleŜności :

dx1 = (dx1/dy1) dy1 + (dx1/dy2 ) dy2 (2.p.37)

dx2 = (dx2/dy1) dy1 + (dx2/dy2 ) dy2 (2.p.38)

zatem 2-formę moŜemy zapisać w postaci :

dx1∧ dx2 = [ (dx1/dy1) (dx2/dy2 ) - (dx1/dy2) (dx2/dy1) ] dy1 ∧ dy2 = [ ∂(x1, x2 )/ ∂(y1, y2 ) ]dy1 ∧ dy2 (2.p.39) gdzie : ∂(x1, x2 )/ ∂(y1, y2 ) jest jakobianem danego przekształcenia. JeŜeli mówimy o przekształceniach kanonicznych jednego zbioru zmiennych stowarzyszonych ( p, q) w inny zbiór (P, Q ), to :

dp ∧ dq = dP ∧ dQ (2.p.40)

co jest wynikiem równości jeden jakobianu tego przekształcenia.

Zachowanie (* w sensie inwariantności – przypis własny *) 2-formy przy przekształceniu kanonicznym jest własnością fundamentalną układów hamiltonowskich. Własność ta dopuszcza uogólnienie na dowolną ilość stopni swobody : n n

ΣΣΣΣ

dpi ∧ dqi =

ΣΣΣΣ

dPi ∧ dQi (2.p.41) i=1 i=1

Analogicznie jak dla przypadku kiedy 2-forme przedstawiliśmy w postaci iloczynu zewnętrznego 1-form, moŜemy teraz zapisać wzór na iloczyn zewnętrzny 2-form. Iloczyn zewnętrzny formy :

n

Proces konstruowania iloczynów zewnętrznych moŜe być kontynuowany dalej np. ω8 = ω4 ∧ ω4 , do momentu aŜ otrzymamy iloczyn postaci : ω2n = ω2 ∧ ω2 ∧ .... ∧ ω2 , co moŜemy zapisać w postaci :

n

ω2n =

Π Π Π Π

_dpi ^∧ _dpj (2.p.43)

i=1

Iloczyn ten przedstawia sobą nic innego jak element objętości n-wymiarowej przestrzeni fazowej. Wszystkie formy róŜniczkowe poczynając od ω2 a kończąc na ω2n są inwariantne względem przekształcenia kanonicznego, przy czym inwariantność ω2n potwierdza twierdzenie Liouville’a.

2-formy otrzymujemy równieŜ z 1-form za pośrednictwem róŜniczkowania zewnętrznego. Pochodna zewnętrzna dω1 1-formy :

n

ω1 =

ΣΣΣΣ

bi dxi

i=1

zadana jest zaleŜnością :

n n

dω1 = d (

ΣΣΣΣ

bi dxi ) =

ΣΣΣΣ

dbi ∧ dxi (2.p.44)

i=1 i=1

w której nie trudno rozpoznać 2-forme. W charakterze konkretnego przykładu rozpatrzymy 1-formę w przestrzeni dwu wymiarowej : ω1 = b1(x1, x2 ) dx1 + b2 ( x1,x2 ) dx2 . Dla takiej formy mamy :

dω1 = db1 ∧ dx1 + db2 ∧ dx2 = [ (∂b1/∂x1)dx1 + (∂b1/∂x2)dx2 ]∧ dx1+ [ (∂b2/∂x1)dx1 + (∂b2/∂x2)dx2 ]∧ dx2 =

= [ (∂b1/∂x1) - (∂b1/∂x2) ]dx1 ∧ dx2 (2.p.45)

Otrzymany wynik związany jest z Twierdzeniem Greena dotyczącym przekształcenia całki po konturze K w podwójną całkę po obszarze D ( zawartym wewnątrz konturu K ). Na płaszczyźnie (x, y) zaleŜność ta przyjmuje postać :

∮

f(x, y) dx + g(x, y) dy =

∫ ∫

[ (dg/dx) – (df/dy) ] dxdy (2.p.46) K D

W języku form róŜniczkowych moŜemy to zapisać w eleganckiej formie jako :

∮

ω1 =

∫ ∫

ω2 (2.p.47) K D

Gdzie : ω1 to 1-forma : fdx + gdy , a ω2 = dω1 przedstawia 2-formę : df ∧ dx + dg ∧ dy W przypadku hamiltonianu o jednym stopniu swobody (2.p.47) moŜemy zapisać w postaci :

∮

p dq =

∫ ∫

dp ∧ dq (2.p.48) K A

Gdzie : K – kontur na płaszczyźnie t = const rozszerzonej przestrzeni fazowej ( p, q, t).

Interpretacja otrzymanego wyniku (2.p.48) nie jest trudna – oznacza on to, Ŝe całka po zamkniętym konturze K na płaszczyźnie (p, q) jest równa całce podwójnej po obszarze A, zawartym wewnątrz konturu K. ZaleŜność (2.p.47) moŜe być zapisana równieŜ dla układu z dowolną ilością stopni swobody. Wykorzystując aparat róŜniczkowania zewnętrznego ,otrzymamy :

n n

d (

ΣΣΣΣ

pi dqi ) =

ΣΣΣΣ

dpi ∧ dqi (2.p.49)

i=1 i=1

Jednak interpretacja całkowania w tym przypadku nie jest juŜ tak oczywista. Dochodzimy bowiem do zaleŜności : n n

∮ ΣΣΣΣ

pi dqi =

ΣΣΣΣ ∫ ∫

_{dpi ∧ dqi} (2.p.50)

K i=1 i=1 Ai

W której Ai przedstawia zbiór obszarów otrzymanych przy rzutowaniu konturu K ( umiejscowionego na przekroju t= const. rozszerzonej przestrzeni fazowej ) na kaŜda z płaszczyzn ( pi , qi ). Przyjmując wzór (2.p.31), widać Ŝe suma tych płaszczyzn rzutowych zachowuje swoją wartość pod działaniem potoku hamiltonowskiego tj. :

n n

ΣΣΣΣ

∫ ∫

_{dpi ∧ dqi =}

ΣΣΣΣ ∫ ∫

_{Ai,T dpi ∧ dqi} (2.p.51) i=1 Ai i=1

gdzie : Ai,T – rzuty odpowiadające konturowi KT. Reprezentacje taką moŜna rozciągnąć na formy stopnia wyŜszego : np. ω4, ω8, ... , ω2n. W istocie , wszystkie n formy są zachowane pod działaniem potoku fazowego ( lub innego przekształcenia kanonicznego ). Takie „zachowane” wielkości nazywamy inwariantami Poincarego. Wszystkie „prawa zachowania” wynikają z zaleŜności (2.p.51), zatem własność zachowania 2-formy leŜy u podstaw fundamentalnej definicji przekształcenia kanonicznego. Jak juŜ mówiono twierdzenie Liouville’a z takiego punktu widzenia dotyczy twierdzenia o zachowaniu formy ω2n :

n

∫

....

∫ Π Π Π Π

_dpi ^∧ _{dqi =}

∫

....

∫ Π Π Π Π

_dpi ^∧ _dqi (2.p.52) V i=1 VT i=1

tj. dotyczy zachowania objętości fazowej pod działaniem potoku fazowego lub innego przekształcenia kanonicznego Zatem :

n

∫

....

∫ Π Π Π Π

_dpi ∧ dqi =

∫

....

∫ Π Π Π Π

_dPi ∧ dQi (2.p.53) Vpq i=1 VPQ i=1

( W (2.p.52) VT – jest wynikiem „ewolucji” wejściowej objętości V, a w (2.p.53) VPQ – jest objętością w przestrzeni (P, Q), odpowiadającej objętości Vpq w przestrzeni (p, q) )

W dokumencie Chaos i całkowalność w dynamice nieliniowej M. Tabor (Stron 51-56)