Kryterium przejścia do lokalnego chaosu

4.5.a Wykładnik Lapunowa.

WaŜną właściwością ruchu chaotycznego jest nadzwyczajna wraŜliwość na małe zmiany warunków początkowych.

Blisko połoŜone trajektorie (chaotyczne) wykładniczo rozbiegają się w czasie, w odróŜnieniu od trajektorii regularnych , które rozbiegają się zaledwie liniowo. ( ZauwaŜmy, Ŝe takie rozbieganie na ograniczonej przestrzeni fazowej nie moŜe by nieograniczone). Dokładna ilościowa ocena prędkości rozbiegania moŜe być dana z uŜyciem „wykładnika

Lapunowa”, który słuŜy jako miara prędkości średniej wykładniczego rozbiegania sąsiednich trajektorii. Wykładnik Lapunowa jest bardzo uŜyteczny przy opisie układów dynamicznych i nie ogranicza się tylko do układów

hamiltonowskich, rozpatrywanych w tym rozdziale.

Aby nie tracić ogólności rozwaŜań będziemy rozpatrywali pewien ( autonomiczny) układ, opisywany równaniami róŜniczkowymi :

dxi/ dt = Fi ( x1, ... , xi ) , i = 1, 2, .. , n (4.5.1) Przy zmianie stabilności danego punktu stałego dokonywaliśmy linearyzacji równania ruchu w otoczeniu tego punktu.

Teraz będziemy linearyzować równania ruchu w otoczeniu dowolnej trajektorii bazowej : x- = ( x-1, ... , x

-i ) tak aby otrzymać odwzorowanie styczne :

n

dδxi/ dt =

ΣΣΣΣ

_{δxj (}^∂_Fi/^∂xj )x =x-(t) (4.5.2) j=1

Norma :

n

d(t) = sqrt [

ΣΣΣΣ

δx2i (t) ] (4.5.3)

i=1

zadaje miarę rozbiegania dwóch sąsiednich trajektorii tj. trajektorii bazowej x i sąsiedniej do niej trajektorii, o warunkach początkowych x(0) + δx(0). Prędkość średnia wykładniczego rozbiegania określona jest następująco :

σ = lim (1/m) ln ( d(t)/d(0) ) (4.5.4)

Wielkości te nazywamy „wykładnikami charakterystycznymi Lapunowa” , mogą one być uporządkowane :

σ1 ≥ σ2 ≥ ... ≥ σn (4.5.5)

W przypadku ruchu regularnego wykładnik jest równy zeru, poniewaŜ d(t) wzrasta z czasem tylko liniowo.

Aby lepiej zrozumieć przedstawiony aparat, rozwaŜmy wykładnik Lapunowa dla odwzorowań.

Na początek prosty przypadek odwzorowania jednowymiarowego postaci :

xi+1 = f(xi ) (4.5.6)

gdzie f(x) – jest prostą liniową funkcją x, np. f(x) = 4λx( 1- x).

Pewne interesujące własności takiego odwzorowania będą dokładniej omówione w rozdziale 5. Odwzorowanie styczne ma w tym przypadku prostą postać :

i

δxi+1 = f’(xi )δxi =

Π Π Π Π

f’( xj )δx0 (4.5.7) j=0

gdzie f’(xj ) – pochodna funkcji f(x), obliczana w kaŜdym punkcie xj wzdłuŜ danej trajektorii. Odpowiadający temu przypadkowi wykładnik Lapunowa łatwo jest znaleźć analogicznie do (4.5.3) :

N N

σ = lim (1/N) [

Π Π Π Π

f’(xj )δx0 ] = lim (1/N) [

Π Π Π Π

ln | f’(xj ) | (4.5.8) N→ ∞ N→ ∞

Wykładnik σ nie zaleŜy od punktu początkowego x0 ( oprócz zbioru wartości początkowych miary zero ). Czytelnik zapewne bez trudu sprawdzi, Ŝe dla przypadku f(x) = x2 σ = ln(2)

Dla przypadku odwzorowań wielowymiarowych :

xi+1 = F(xi )

gdzie : x , F – są n-wymiarowymi wektorami,

otrzymujemy zbiór n charakterystycznych wykładników, odpowiadający n wartością własnym odpowiedniego odwzorowania stycznego. Rozpatrując wartości własne λi(N), i = 1, 2, ...,n macierzy :

(TM)N = ( M(xN) M(xN-1) ... M(x1) )1/N (4.5.9) gdzie M(xi) – linearyzacja F w punkcie xi, wykładnik moŜna określić wzorem :

σ = lim ln |

λ

i (N) | , i = 1, .., n (4.5.10) N→∞

Powinno być jasne, Ŝe w przypadku odwzorowań zachowujących pole oraz potoków hamiltonowskich suma wykładników jest równa zeru, co zapewnia twierdzenie Liouville’a.

W tej chwili powrócimy do przypadku potoków opisywanych równaniami (4.5.1) i zapiszemy (4.5.2) w postaci :

d/dt δz = Mδz (4.5.11) które mogą być uporządkowane w sposób taki jak (4.5.5). Jest zrozumiałe, Ŝe wraz z upływem czasu mały element objętości będzie w znacznym stopniu rozciągany w tym kierunku e^i któremu odpowiada największy wykładnik. W konkretnym przypadku (4.5.4) będzie dawało właśnie tą wartość wykładnika ( σ1 zgodnie z (4.5.5) ).

W przypadku układów hamiltonowskich o n stopniach swobody wektor δz jest wektorem 2n-wymiarowym : δz = ( δ

q

_{1 , ... ,}

δq

_{n , δ}

p

_{1, ... ,}

δp

_{n )}

i odpowiednio wykładników będzie 2n. Wykładniki te będą charakteryzowały się pewną symetrią, mianowicie :

σi = - σ2n-i+1 (4.5.12) Co oznacza, Ŝe dowolnemu rozciągnięciu w jednym „kierunku” odpowiada kompensujące ściśnięcie w innym, co

zapewnia spełnienie twierdzenia Liouville’a. JeŜeli wykładniki obliczane są na zadanej powierzchni energii to przestrzeń ma wymiar (2n-1). Przy tym z (4.5.12) wynika, Ŝe dwa ( lub więcej w zaleŜności od dynamiki) wykładników σi powinno być równe zeru.

Obliczenia wykładników w przypadku n-wymiarowych potoków ( w odróŜnieniu od odwzorowań ) są nietrywialne.

Rozpatrzmy przykładowo pewne obliczenia związane z (4.5.4). JeŜeli norma d(t) wzrasta wykładniczo musimy skorzystać z pomocy komputera co pociąga za sobą analizę zaokrągleń procedur numerycznych. Aby tego uniknąć moŜna wykorzystać schemat przedstawiony przez Benettin’a i współpracowników [19].

Normę wejściową d(0) w tej metodzie normujemy do jedynki a następnie prowadzimy obliczenia rozbieŜności trajektorii w pewnym okresie czasu τ, po czym normę znów renormalizujemy do jedynki.

W tym przypadku ( zobacz rys. 4.24) obliczamy kolejne wielkości :

di = || δx(j-1) (τ) || (4.5.13)

Rys. 4.24 Obliczenia największego wykładnika Lapunowa. Przy końcu kaŜdego okresu odległość od trajektorii bazowej (* opis na rysunku – przypis własny *) ponownie sprowadzana jest do d(0).

Przez || || oznaczono normę euklidesową oraz :

δx(j) (0) = (x(j-1) (τ) ) / dj (4.5.14)

gdzie : δx(j) (τ) wynika z (4.5.2) gdzie warunki początkowe są dane przez δx(j) (0) wzdłuŜ trajektorii bazowej x- od x- (jτ) do x- ( (j+1)τ ).

Analogicznie do (4.5.4) moŜemy określić : N

σN = (1/Nτ)

ΣΣΣΣ

_{ln(dj )} (4.5.15)

j=1

Oprócz tego dla niewielkich τ moŜna pokazać, Ŝe granica N → ∞ istnieje i nie zaleŜy od τ. MoŜna równieŜ pokazać , Ŝe : lim σN = σ1 (4.5.16) N → ∞

Gdzie σN – jest największym wykładnikiem ze zbioru (4.5.5). Obliczenie pełnego zbioru wykładników Lapunowa σ1, ... ,σn wymaga bardziej wyrafinowanych metod, jednak problem ten pozostawmy specjalistom ( zobacz np. [20] )

Istnieje wielkość zwana „entropia Kołmogorowa” (* Zwana równieŜ „KC-entropią”. Nazwa wywodzi się od nazwisk Kołmogorowa [31] Kryłowa [32] i Sinaja [33, 34] – przypis redaktora *). Związana jest ona z wykładnikami Lapunowa jej obliczenie jest jednak duŜo trudniejsze w praktyce. Formalnie określa się ją analogicznie do entropii w mechanice statystycznej ( tj. uwzględnia się rozbicia przestrzeni fazowej ), słuŜy ona jako miara ilości informacji, traconej lub uzyskiwanej przez układ podczas jego ewolucji. WaŜny wynik Pesina [21] umoŜliwia oblicza entropię Kołmogorowa wychodząc z wykładników Lapunowa za pośrednictwem zaleŜności :

hk =

∫

ΣΣΣΣ

^σ_{i dµ}

P σi > 0

Która przedstawia sumę wszystkich dodatnich wykładników Lapunowa, uśrednionych po pewnym ( spójnym) obszarze przestrzeni fazowej P, o mierze dµ.

Stosunkowo proste wprowadzenie do kręgu tych zagadnień, włączając w to obliczenia hk dla układu Henona-Heilesa przedstawił Benettin [19].

4.5.b Spektrum mocy.

Drugim poŜyteczną charakterystyką zachowania się trajektorii jest ich przekształcenie Fouriera lub inaczej obliczenie ich spektrum mocy. W istocie w wielu eksperymentach ( np. w hydrodynamice ) dane często rejestrowane są w postaci przekształcenia Fouriera a nie w postaci standardowego zapisu czasowego ( lub przestrzennego) sygnału.

Rozpatrzmy na początek ruch regularny. PoniewaŜ trajektorię ograniczone są torusami, mogą one być przedstawione w standardowej postaci :

q(t) =

ΣΣΣΣ

_{qm e}im( ωt + δ) (4.5.17)

m

gdzie : qm – wektor współczynników Fouriera, związanych z zmiennymi : q = ( q1, ... , qn ), ω = (ω1, ... , ωn ) – częstości odpowiedniego torusa.

Jest jasne, Ŝe przekształcenie Fouriera (4.5.17) przedstawia zbiór δ-funkcji od częstości fundamentalnych ω oraz licznych harmonicznych (pod i nad harmonicznych). Spektrum (widmo) mocy, mówiąc ściśle określamy jako przekształcenie Fouriera funkcji korelacji konkretnej zmiennej qi :

C(t) = < qi(0) qi(t) > (4.5.18)

Gdzie < > oznacza pewne uśrednienie względem pewnego zbioru ( ansambla). Spektrum mocy moŜemy przedstawić zatem w następującej postaci :

∞

I(ω) = (1/2π)

∫

C(t) eiωt dt (4.5.19)

- ∞

Otrzymany wynik jest szczególnym przypadkiem twierdzenia Wignera-Chinczyna.

W charakterze ansambla dla przypadku ruchu regularnego naturalnym jest wybrać pewien torus. PoniewaŜ jest on pokryty jednoparametrycznym ( faza początkowa δ) zbiorem trajektorii, średnie po tym ansamblu są równe średnim fazowym po wszystkich δ. W tym przypadku łatwo jest pokazać, Ŝe :

C(t) =

ΣΣΣΣ

_{| q(i)m |}2 eimωt (4.5.20)

m i odpowiednio :

I(ω) =

ΣΣΣΣ

| q(i)m |2 δ(mω – ω ) (4.5.21)

m

gdzie : q(i)m – współczynniki Fouriera, związane ze zmienną qi.

Oprócz tego w przypadku torusów o niewspółmiernych częstościach, potok na torze jest ergodyczny. Dlatego teŜ średnie fazowe są równe średnim po czasie, zatem I(ω) moŜemy obliczyć wykorzystując jedną trajektorię :

T

I(ω) = (1/2π) lim (1/T) |

∫

_{qi(t) e}iωt dt |2 (4.5.22)

T→∞ -T

( Określona w ten sposób wielkość I(ω) przedstawia sobą w istocie liniową funkcję spektralną, często wykorzystywana w spektroskopii )

W praktyce szeregi czasowe są ograniczone skończonymi odcinkami czasu zatem spektrum przedstawia sobą splot ruchu rzeczywistego oraz funkcji h(t) = 1 , -T ≤ t ≤ T.

RozwaŜmy teraz dla przykładu prosty przypadek ruchu periodycznego :

q(t) = A e -iΩt (4.5.23)

Wykorzystując (4.5.22) jest łatwo pokazać, Ŝe :

I(ω) = lim (2|A|2/ π) [ sin2 (ω - Ω) T / (ω -Ω)2 T ] (4.5.24)

W przypadku skończonego T mamy maksimum przy ω = Ω oraz szereg symetrycznych zanikających prąŜków bocznych.

W granicy T →∞ (4.5.24) zachowuje się tak jak naleŜało oczekiwać tj. przechodzi w δ-funkcję przy ω = Ω.

W reŜimie chaotycznym mamy zachowaną moŜliwość obliczania I(ω) z wykorzystaniem jednej trajektorii, typu (4.5.22) ( Mówiąc ściśle wielkość ta juŜ nie będzie liniową funkcją spektralną, poniewaŜ nie jest juŜ jasne co jest ansamblem we wzorze (4.5.18) )

Spektrum trajektorii nieregularnej okazuje się być bardziej złoŜony niŜ spektrum trajektorii regularnej. Jak moŜna oczekiwać obserwujemy kilka pików podstawowych otoczonych „gęstą trawą” ( rys. 4.25 )

Rys. 4.25 Ergodyczne spektrum ( wielkości ( x(t) = y(t) ) dla oddzielnych trajektorii układu Henona-Heilesa przy E =1/8 a) trajektoria regularna, b) trajektoria nieregularna.

Opierając się tylko na czystych obliczeniach, trudno wskazać dla ogólnych układów hamiltonowskich czy obszar

„trawiasty” spektrum w istocie jest ciągły. Tym niemniej rozróŜnienie spektrum ruchu regularnego i nieregularnego jest zauwaŜalne i daje uŜyteczne wiadomości dotyczące układów dynamicznych.

W rzeczywistości istnieje szereg waŜnych i ścisłych wyników z których wynika, Ŝe jeŜeli układ jest ergodyczny to ma on dyskretne spektrum. Aby układ miał spektrum ciągłe powinien on być typu „mieszanego” ( Powrócimy do tego

zagadnienia w podrozdziale 4.7 )

W dokumencie Chaos i całkowalność w dynamice nieliniowej M. Tabor (Stron 91-95)