Chaos w układach hydrodynamicznych

Do tej pory przy omawianiu chaosu ograniczaliśmy się do przykładów obliczeń komputerowych prostych układów modelowych. Przy tym w niewielkim stopniu zajmowaliśmy się problemem dotyczącym fizycznego kontekstu w jakim te modele mogą funkcjonować ( drgania nieliniowe, akceleratory, falowody, molekuły w polach promieniowania itp. ) Zrozumiałe jest, Ŝe czytelnik oczekuje przedstawienia „realnych” fizycznych sytuacji w których moŜna byłoby rzeczywiście „obserwować” chaos, a być moŜe nawet dostrzec powierzchnię przekroju takiego fizycznego układu nieuzbrojonym okiem. Okazuje się , Ŝe określone klasy zagadnień dynamiki ośrodków ciągłych dają taka moŜliwość.

Przejdziemy teraz do ich przedstawienia.

4.8.a Podstawowe złoŜenia hydrodynamiki.

Pierwszy nasz krok będzie polegał na przedstawieniu róŜnic w interpretacji zagadnień hydrodynamiki w ujęciu Eulera i Lagrange’a.

(* Zobacz np. „Wstęp do fizyki tom 2, część 1” – A. K. Wróblewski, J. A. Zakrzewski PWN 1989 od str. 27 – przypis własny *)

W opisie Eulera pole prędkości cieczy lub gazu : u = ( u, v, w) zadajemy względem ustalonego układu współrzędnych :

u = u(x, y, z, t) (4.8.1a)

v = v(x, y, z, t) (4.8.1b)

w = w(x, y, z, t) (4.8.1c)

gdzie : ( u, v, w) znajdujemy poprzez rozwiązanie równań hydrodynamiki ( zobacz podrozdział 5.1 ) o określonych warunkach brzegowych. JeŜeli pole prędkości zaleŜne jest od czasu, w sposób jawny, to nazywamy go „polem niestacjonarnym”, w przypadku przeciwnym pole jest „stacjonarne”.

W podejściu Lagrange’a zakładamy opis trajektorii oddzielnej „cząstki” cieczy. Dla zadanego pola prędkości ruch cząstki określany jest przez rozwiązanie układu równań róŜniczkowych zwyczajnych :

x• = u(x, y, z, t) (4.8.2a)

skąd wynika, Ŝe powinna istnieć taka róŜniczka zupełna dψ, Ŝe :

u = ∂ψ/∂y (4.8.4a)

v = - ∂ψ/∂x (4.8.4b)

Funkcję ψ = ψ(x, y, z) – nazywamy funkcją prądu.

W ramach podejścia Lagrange’a równania ruchu (4.8.2) mogą być zapisane następująco :

x• = ∂ψ/∂y (x, y, t) (4.8.5a) y• = - ∂ψ/∂x (x, y, t) (4.8.5b) Równania te mają strukturę równań Hamiltona : ψ - odgrywa rolę hamiltonianu, x i y – zmiennych kanonicznych.

Podkreślam, Ŝe taka struktura określana jest przez warunek nieściśliwości cieczy (4.8.3) i nie jest zaleŜna od obecności lepkości. Zatem, w dwuwymiarowym przypadku trajektoria cząstki moŜe być przedstawiona na płaszczyźnie fazowej ( równania (4.8.5) ).

Ścisłe opisanie dynamiki będzie oczywiście zaleŜne od postaci funkcji ψ. W przypadku potoków stacjonarnych ψ nie zaleŜy od czasu , zatem równania (4.8.5) sprowadzają się do układu autonomicznego postaci :

x• = ψy (x, y) (4.8.6a) y• = - ψx (x, y) (4.8.6b)

Taki układ, jak widzieliśmy w rozdziale 1, jest całkowicie całkowalny a jego trajektorie na płaszczyźnie fazowej (x, y) leŜą na krzywych gładkich ( w hydrodynamice nazywamy je liniami prądu ). Oprócz tego wiemy, Ŝe w przypadku potoków niestacjonarnych ( kiedy ψ zaleŜy od czasu w sposób jawny ) istnieje moŜliwość pojawienia się chaosu.

Aby rzeczywiście prześledzić trajektorię cząstek cieczy, naleŜy je uchwycić w jakiś „pasywny” sposób tj. tak aby nie wpływać na ich pole prędkości i zachować słuszność (4.8.5). MoŜna to zrobić za pomocą farby, zmieszanej z cieczą, jednak w praktyce przy takim sposobie dojdzie do pewnego rozmywania „pokolorowanych cząstek”. W przestrzeni fazowej będziemy jednak mogli śledzić ewolucje całego zbioru trajektorii. Deformacja takiego zbioru trajektorii ( elementu liniowego lub krzywej )omówiona była w podrozdziale 4.4 :

element liniowy na płaszczyźnie moŜe transformować się w jedną z dwóch podstawowych struktur : „wąsy” lub

„kędziory” zgodnie z typem punktów stałych – odpowiednio hiperbolicznych i eliptycznych. Pojawienie się wąsów jest oznaka chaosu cząstek w cieczy – zjawisko to często nazywamy „chaotyczną adwekcją” lub „turbulentnością

Lagrange’a”, druga nazwa podkreśla to , Ŝe chaos rozpatrujemy w ujęciu lagranŜjanowskiej interpretacji hydrodynamiki.

( pewne elementy „turbulentności Eulera omówimy krótko w rozdziale 5 ).

Na zakończenie podkreślmy jeszcze, to Ŝe jeŜeli w przypadku dwuwymiarowym dla pojawienia się chaosu wymaga się Niestacjonarności potoku, to w przypadku trójwymiarowym chaos moŜe pojawić się równieŜ w potokach stacjonarnych.

( równania (4.8.2) o niezaleŜnej od czasu prawej stronie ).

4.8.b Układ modelowy.

Chcielibyśmy poszukać realnie istniejący układ hydrodynamiczny któryby był układem dwuwymiarowym, niestacjonarnym i dla którego była by w sposób jawny znana funkcja prądu – to pozwoliłoby przeprowadzić modelowanie numeryczne a następnie porównać z wynikami eksperymentów laboratoryjnych.

Nie bacząc na złoŜoność tego problemu, układ taki moŜe być skonstruowany i niedawno stał się on przedmiotem dokładnych badań [30]. Układ taki zbliŜony jest bardzo w konstrukcji do układu zwanego „łoŜyskiem cylindrycznym”.

Składa się on z dwóch cylindrów, umieszczonych jeden w drugim, przestrzeń między nimi zapełnia się lepką cieczą ( gęstą mazią ). Oba cylindry mogą się poruszać niezaleŜnie od siebie wokół osi, która nie jest dla nich wspólna tj. cylindry są osadzone ekscentrycznie. JeŜeli odległość między cylindrami jest dostatecznie mała w porównaniu z średnica wewnętrznego cylindra, układ moŜemy traktować jako układ dwuwymiarowy.

Przy dostatecznie duŜej lepkości i dostatecznie małych prędkościach obrotów cylindrów ( zapewniających mała wartość liczby Reynoldsa ) równania ruchu cieczy mogą być rozwiązane w przybliŜeniu Stokesa :

ν∇2 u = ∇p (4.8.7)

gdzie : u = (u, v) – dwuwymiarowe pole prędkości, ν - lepkość kinematyczna, p –ciśnienie.

Warunki brzegowe są takie, Ŝe składowa tangencjalna pola prędkości do kierunku powierzchni cylindrów wewnętrznego i zewnętrznego, równa się odpowiedniej składowej prędkości obrotowej odpowiednio pierwszego i drugiego cylindra.

JeŜeli cylindry ( jeden lub oba ) obracają się ze stałą prędkością (kątową), (4.8.7) przedstawia sobą zagadnienie stacjonarne. Oprócz tego pozbywając się gradientu z pomocą operacji rotacji ( ∇× (∇p) = 0 )oraz uwzględniając, Ŝe

∇× u = - ∇2 ψ, (4.8.7) moŜemy sprowadzić do równania biharmonicznego :

∇4 ψ = 0 (4.8.8)

Wiemy ,Ŝe w przypadku określonej geometrii omawianego układu równanie to ma ścisłe rozwiązanie we współrzędnych bipolarnych. Typowe wyniki pokazane są na rysunku 4.33 dla przypadków kiedy obraca się tylko wewnętrzny lub tylko zewnętrzny cylinder. Na płaszczyźnie (x, y) pokazane są krzywe o stałej wartości ψ - linie prądu, w terminach

hydrodynamiki a w terminach dynamiki „inwariantne torusy”. W przypadku takich rozwiązań stacjonarnych, cząstki cieczy poruszają się wzdłuŜ odpowiednich linii prądu a ich zachowanie jest ściśle regularne.

Teraz wprowadzimy do układu pewną ( kontrolowaną) niestacjonarność. MoŜna to osiągnąć modulując prędkości obrotowe cylindrów. Prostym sposobem jest obracanie przemienne cylindrów. Rozwiązanie (4.8.8) w takim przypadku przedstawia kawałkami gładką kombinacje rozwiązań odpowiadających obrotom kaŜdego z cylindrów oddzielnie. Do póki obraca się jeden z cylindrów , cząstki cieczy poruszają się wzdłuŜ swoich linii prądu , kiedy następuje zmiana w obracaniu cylindrami cząstki przepływają ( w potoku stokesowskim odbywa się to praktycznie momentalnie ) na inne linie prądu. Właśnie ten mechanizm moŜe prowadzić do pojawiania się chaosu w miarę ewolucji cząstek w

trójwymiarowej przestrzeni fazowej (x, y, t). Ruch wygodnie jest śledzić uŜywając „powierzchni stroboskopowych”

przekrojów płaszczyzny fazowej (x, y), interwał czasowy określony jest sumą czasu obrotów obu cylindrów ( zobacz rys. 4.6 ). Taką typową powierzchnię przekroju, otrzymywaną przy obliczeniach numerycznych równania (4.8.5) pokazuje rysunek 4.34, obserwujemy na nim połączenie ruchu regularnego i nieregularnego.

Rys. 4.33 Typowe linie prądu w przypadku obrotu : Rys. 4.34 Typowa powierzchnia przekroju, obliczona a) tylko wewnętrznego cylindra zgodnie z równaniem (4.8.5) [ 30 ]

b) tylko zewnętrznego cylindra.

Krzywe są obrazem dokładnego rozwiązania równania (4.8.8) z odpowiednimi warunkami brzegowymi.

( zakreskowany obszar to cylinder wewnętrzny)

4.8.c Wyniki eksperymentalne.

Pojawienie się wąsów i kędziorów wskazuje na obszary ruchu, odpowiednio nieregularnego i regularnego. Przykładowo, w omawianym przykładzie ewoluujący element liniowy ( tj. mieszanka pokolorowanej cieczy ) będzie obrazował kędzior w obszarze podstawowego łańcucha trzech wysepek oraz wąsy w chwilowych obszarach ruchu chaotycznego.

Na rysunku 4.35 pokazano ewolucje krzywej początkowej, zawierającej te dwa obszary. Kolejne rysunki 4.35 ilustrują powstanie trzech duŜych kędziorów, na które nakładają się małe homokliniczne drgania ( wąsy). Obliczenia

komputerowe są bezpośrednio zestawione z wynikami eksperymentów w których krzywe budowane były przez pokolorowaną ciecz ( w naszym przypadku była to gliceryna), zmieniały się one w wyniku odpowiedniego obrotu cylindrów ( obroty przemienne ) ( budowę przyrządu pokazano na rys. 4..36 )

Przy zmianie parametrów obrotów cylindra ( prędkość obrotowa i punkt ekscentryczności ) obserwowano zmianę stopnia zachowania chaotycznego na płaszczyźnie fazowej. Przypadek silnego chaosu w którym na płaszczyźnie fazowej zachowana zostaje tylko niewielka liczba małych obszarów zawierających wysepki, pokazano na rys 4.37. W tym przypadku moŜemy spodziewać się pojawienia się gigantycznych wąsów. Jest to zilustrowane na rysunkach 4.38a – h.

Modelowanie komputerowe w tym przypadku jest utrudnione , co wynika z wykładniczego rozbiegania punktów sąsiednich , które w znacznym stopniu narusza stabilność procedur numerycznych. W eksperymencie laboratoryjnym, oczywiście takie problemy nie występują i dla uzyskania interesującego nas wyniku, przedstawionego na rys. 4.39 wykonano kilka cykli więcej niŜ dla procedur numerycznych. Okazało się równieŜ, Ŝe nasz eksperyment moŜe być wykorzystany w celu zobrazowania powierzchni przekroju ( Techniczne detale czytelnik moŜe znaleźć w oryginalnym artykule [30] ). Na rys. 4.40 pokazano „laboratoryjną” powierzchnię przekroju, otrzymana dla wartości parametrów które odpowiadają modelowi numerycznemu na rys. 4.34. Zgodność jest zadowalająca, eksperymentalnie otrzymano dobrze rozróŜnialne obszary eliptyczne i hiperboliczne. Jest to jeden z nielicznych przykładów, kiedy powierzchnie przekroju chaotycznego hamiltonowskiego potoku moŜna bezpośrednio obserwować empirycznie.

Rys. 4.35 a) Kontur wejściowy powstały przy obrocie cylindra wewnętrznego. Zestawienie wyników eksperymentów i obliczeń numerycznych, po : 7 cyklach b), c) , po 15 cyklach d) , e), po 21 cyklach e), f) [ 30 ]

(* oczywiście na rysunku przedstawiono literki alfabetu rosyjskiego ich identyfikacja jednak nie powinna być trudna dla czytelnika – przypis własny *)

Rys. 4.36 Schematyczne przedstawienie układu eksperymentalnego. Obserwowane kontury powstają na powierzchni gliceryny i zmieniają się w wyniku odpowiedniego obrotu cylindrów [ 30]

(* napisy na rysunku ( w kolejności, od góry ): widok z góry, szczelina dla ustawienia ekscentryczności, widok z przodu, liczba zadawana 100:1 , gliceryna, liczba zadawana 163,84 : 1

Rys. 4.37 Silny chaos na powierzchni przekroju, obliczanej dla równania (4.8.5) [30]

Rys. 4.38 a) Kontur wejściowy powstały przy obrocie wewnętrznego cylindra. Zestawienie wyników eksperymentu z obliczeniami numerycznymi po : 4 cyklach b), c) , 5 cyklach d), e) 6 cyklach f) g) [30]

Rys. 4.39 Ten sam eksperyment co na rys. 4.38 po 12 cyklach [30]

Rys. 4.40 Powierzchnia przekroju, otrzymana eksperymentalnie dla porównania z wynikami obliczeń numerycznych, pokazanych na rys. 4.34 [30]