Dynamika układów dyssypatywnych
5.5 Bifurkacja podwojenia okresu ( bifurkacja rozwidleniowa)
Jak juŜ wcześniej wspominaliśmy, waŜnym „mechanizmem pojawiania się turbulentności” jest bifurkacja podwojenia okresu. Interesujące, Ŝe takim złoŜonym zachowaniem charakteryzują się najprostsze z wszystkich moŜliwych odwzorowań liniowych – a konkretnie, odwzorowania jednowymiarowe postaci :
xn+1 = f(xn ) (5.5.1)
Przy tym funkcja f(x) powinna spełniać określone warunki. Pośród takich odwzorowań jednym z najwaŜniejszych i najbardziej znanych jest tzw. „odwzorowanie logistyczne” :
xn+1 = 4λ xn ( 1 - xn ) ; 0 < x < 1 (5.5.2) gdzie λ – parametr porównawczy.
Pierwotnie odwzorowanie to było wykorzystywane w biologii w charakterze prostego modelu dynamiki populacji ( skąd pochodzi nazwa ).
(* Odwzorowanie logistyczne zostało zaproponowane w 1845 roku, przez P. I. Verhulsta do symulacji wzrostu populacji w ograniczonym środowisku. W modelu tym liczba osobników xn+1 w n+1 roku jest proporcjonalna do ich liczby w roku poprzednim xn i do powierzchni dostępnego obszaru, która zmniejsza się proporcjonalnie do xn tzn.
xn+1 = λ xn ( 1 - xn ) – przypis własny na podstawie [3] literatury polecanej na wstępie str. 48 *)
Zainteresowanemu czytelnikowi polecam szczególnie, piękny artykuł [37], w którym opisana jest fenomenologia układu, przy zmianie parametru λ. Przy małych λ wszystkie iteracje są zbieŜne
(przy warunku, Ŝe x0 ≠ 0 ) do jednego punktu granicznego. Takie zachowanie istnieje aŜ do λ = 0,75. Przy większych wartościach λ pierwotny, jedyny punkt stały przekształca się w wyniku bifurkacji w parę punktów stałych tj. w cykl graniczny o okresie 2. Następna bifurkacja następuje przy dalszym wzroście λ, prowadzi do przekształcenia się cyklu granicznego o okresie 2 w cykl graniczny o okresie 4 itd. Wartości λ przy których następują te kolejne bifurkacje ( λ1, λ2 ... ) zbliŜają się coraz bardziej do siebie i są zbieŜne ( geometrycznie ) do wartości krytycznej λ∞
( przykładowo 0.892). W tym punkcie trajektoria staje się aperiodyczna. Przy jeszcze większych wartościach λ zaczynają pojawiać się zarówno trajektorie chaotyczne, jak i cykle graniczne o okresach nieparzystych. Przy λ =1 ruch na odcinku jednostkowym (0, 1) jest formalnie ruchem ergodycznym. Przy dalszym wzroście λ wszystkie trajektorie oddalają się w nieskończonoś.
Jednym z najwaŜniejszych wyników uzyskał Feigenbaum [33], który ujawnił zbieŜność geometryczną kolejnych podwojeń okresu :
λ∞ - λn ∝ δ-n (5.5.3)
δn = ( λn+1 - λn ) / ( λn+2 – λn+1 ) (5.5.4)
Odkrył on numerycznie, Ŝe δn jest zbieŜne ( przy n → ∞ ) do wartości δ = 4.6692016.
Istotne jest to, Ŝe wszystkie pozostałe nieliniowe modele (5.5.1), róŜniące się postacią funkcji f(x) ( w określonych klasach funkcji), charakteryzują się tą samą wartością δ. W wyniku czego, wielkość δ = 4.6692016 nabiera charakteru
„liczby uniwersalnej” i chociaŜ jest ona ograniczona do stosunkowo niewielkiej klasy odwzorowań i potoków ( włączając w to odwzorowanie Henona, model Lorenza, i pewne odcięte rozwiązania równań Naviera-Stokesa, zawierające niewielka ilość modów ), leŜy ona u podstaw wielu teorii i jest obserwowana w szeregu eksperymentów.
5.5.a Mechanizm podwojenia okresu.
Dla odwzorowania postaci :
xn+1 = f(xn ) (5.5.5)
kolejne iteracje, rozpoczynając od punktu x0 , zapiszemy w następujący sposób:
x1 = f(x0)
x2 = f(x1) = f ( f(x0) ) ...
xn+1 = f(xn) = f ( f ( …..f(x0) …. ) = fn (x0)
gdzie fn (x0) – oznacza n-tą iteracje funkcji f(x) ( a nie n-tą potęgę f(x) ). JeŜeli f(x) jest liniowa względem x, to iteracje takie są trywialne, jednak w przypadku nieliniowym np. :
f(x) = 4λ x( 1 – x) (5.5.6)
kolejne iteracje prowadzą do wielomianów o wzrastających wykładnikach ( dla (5.5.6) fn (x) przedstawia wielomian stopnia 2n ). Nie bacząc na taka komplikacje, kolejne iteracje xi moŜemy śledzić z pomocą prostego graficznego schematu – umieszczając na jednym wykresie funkcje y = f(x) i prostą y = x ( rys. 5.21 ) i przemieszczając się kolejno pionowo i poziomo między tymi liniami. To daje nam, jak pokazuje rysunek kolejne iteracje x1, x2 ...
Punkt przecięcia krzywej z prostą ( w którym y = f(x) = x ) powinien odpowiadać punktowi stałemu iteracji.
Ten punkt stały łatwo jest znaleźć jako rozwiązanie równania :
x* = 4λ x* ( 1 – x* ) (5.5.7)
które posiada dwa pierwiastki : x* = 0 i x* = 1 – ¼ λ
Aby iteracje f(x) nie wychodziły poza przedział (0,1) wymagamy spełnienia warunków : 0 < λ < 1 ; 0 < x < 1.
Zatem, przy λ < ¼ w tym interwale znajduje się jedyny punkt stały x* = 0, a przy ¼ < λ < 1 osiągamy oba punkty stałe.
Punkty te będą punktami przyciągającymi lub odpychającymi ( stabilnymi lub niestabilnymi) w zaleŜności od nachylenia f(x).
Rozpatrzmy punkt stały x* ( w którym x* = f(x*) ) oraz zbiór wartości x
* = x* + εn . RozłoŜenie w szereg z dokładnością do pierwszego rzędu daje :
xn+1 = f( x* + εn ) ≅ f(x*) + εn f ’(x*) ≡ x* + εn f ’(x*) ZauwaŜając, Ŝe : xn+1 = x* + εn+1 , otrzymamy :
εn+1 / εn = f ’(x*) (5.5.8)
Rys. 5.21 a) Graficzny sposób przedstawienia kolejnych iteracji xi odwzorowania logistycznego. b) Iteracje zakręcające się po spirali do stabilnego punktu stałego x*. c) Iteracje rozkręcające się po spirali od niestabilnego punktu stałego x*
Stąd widać, Ŝe iteracje εn będą zbieŜne tylko przy warunku | f ’(x*) | < 1. Zatem : Jeśli | f ’(x*) | < 1 to punkt x* jest stabilny.
Jeśli | f ’(x*) | = 1 to punkt x* jest granicznie stabilny.
Jeśli | f ’(x*) | > 1 to punkt x* jest niestabilny.
Ten warunek stabilności moŜemy przedstawić równieŜ graficznie ( rys. 5.21 ). W przypadku odwzorowania (5.5.2) stabilność dwóch punktów stałych x* = 0 i x* = 1 – ¼ λ łatwo moŜemy określić, korzystając z następującego sposobu : Przy : punkt x* = 0 jest stabilny, przy 0 < λ < ¼ i niestabilny przy λ > ¼. Punkt x* = 1 – ¼ λ jest niestabilny przy 0 < λ < ¼ i stabilny przy ¼ < λ < ¾ .
Zatem, w skrajnym przypadku przy 0 < λ < ¾ zachowanie (5.5.2) jest znane globalnie. Dla λ < ¼ wszystkie iteracje ( w przedziale (0,1) ) są zbieŜne do punktu x = 0, a dla ¼ < λ < ¾ wszystkie iteracje są zbieŜne do x = 1- ¼ λ.
Na pierwszy ogląd moŜe wydawać się, Ŝe przy λ > ¾ nie istnieją przyciągające punkty stałe. W rzeczywistości stabilny punkt stały przy x = 1 – ¼ λ traci stabilność przy λ = ¾ ( w punkcie tym f ‘(x*) = -1 ) i w wyniku bifurkacji przekształca się w stabilny 2-cykl. Subtelność polega tutaj na tym ,Ŝe te dwa punkty stałe ( obrazujące 2-cykl ) są stabilnym punktami stałymi złoŜenia funkcji :
f2 = f( f(x) ) (5.5.9)
Pojawienie się tych punktów moŜna zrozumieć analizując wykres zaleŜności f i f2 , przedstawiony na rysunku 5.22.
Obie funkcje są symetryczne względem x = ½ , jednak funkcja f posiada jedno maksimum, podczas gdy funkcja f2 – dwa. Jeśli x* jest punktem stałym f, to będzie on równieŜ punktem stałym f2. Przy λ < ¾ , przykładowo x* - będzie jedynym ( stabilnym) punktem stałym funkcji f i f2. Jego stabilność moŜemy sprawdzi w następujący sposób.
Rys. 5.22 a) przy λ > ¾ , x* jest niestabilnym punktem granicznym f(x) b) funkcja złoŜona f2(x) = f( f(x) ).
x*1 i x*2 są stabilnymi punktami stałymi f2(x ). Nachylenie funkcji f2(x ) w obu punktach jest jednakowe.
Zajmijmy się wyraŜeniem :
x2 = f2(x0 ) = f(x1) , gdzie x1 = f(x0 ) i wykorzystajmy zasadę róŜniczkowania funkcji złoŜonej dla obliczenia :
d/dx f2(x) |x=x0 = d/dx f(x1) |x=x0 = d/dx1 f(x1) (dx1/dx) |x=x0 = d/dx1 f(x1) d/dx f(x) |x=x0 (5.5.10) Otrzymany wynik łatwo moŜemy uogólnić :
d/dx fn (x0) |x=x0 = f ’(x0 ) f ’(x1) f ’(dx2 ) ... f ‘(xn-1) (5.5.11) Jest zrozumiałe, Ŝe dla punktu stałego x* = x0 ma miejsce równość : x2 = x1= x* , zatem :
f2’(x*) = f ’(x*) f ‘(x*) = ( f ’(x*) )2 (5.5.12)
JeŜeli | f ‘ (x) | < 1 to i | f2’(x) | < 1 , a jeśli | f ‘(x) | > 1 to i | f2’(x) | > 1.
Innymi słowy, jeŜeli x* jest stabilnym punktem granicznym f, to jest równieŜ stabilnym punktem granicznym f2, jeśli x* jest niestabilnym punktem granicznym f , to będzie równieŜ takim dla f2.
Przy λ > ¾ punkty x*1 i x*2 są (stabilnymi) punktami stałymi f2. Jednak, poniewaŜ nie są one przy tym punktami stałymi, odwzorowują się one pod działaniem f jeden w drugi :
x*1 = f(x*2 ) i x*2 = f(x*1 )
Zatem, para punktów x*1 i x*2 obrazuje 2-cykl i iteracja dowolnego punktu wejściowego stopniowo prowadzi do szeregu : x*1, x*2 , x*1, x*2 ....
WaŜne jest zauwaŜenie, Ŝe nachylenie f2 w punktach x*1, x*2 jest jednakowe : f2’(x*2) = f ‘(x*1) f ‘(x*2) i f2’(x*1) = f ‘(x*2) f ‘(x*1)
co wynika z tego, Ŝe x*1 i x*1 odwzorowują się jeden w drugi.
Dwa punkty stałe x*1 , x*2 są zatem jednocześnie stabilne przy λ > ¾ a przy większej wartości λ są jednocześnie niestabilne ( wtedy f2’(x*) = -1 ). Przy tej wartości λ ( oznaczmy ją λ2 , przyjmując jednocześnie, Ŝe λ1= ¾ ) kaŜdy z tych punktów przekształca się w wyniku bifurkacji w dwa nowe punkty stałe, w wyniku czego otrzymujemy 4-cykl, odpowiadający punktom stałym funkcji :
f4 (x) = f2 ( f2(x) ) (5.5.13)
( rys. 5.23 )
Rys. 5.23 Cztery stabilne punkty stałe : x*i ( i= 1, 2, 3, 4 ) funkcji złoŜonej f4 (x) = f2 ( f2(x) ).
Nachylenie f4 (x) w kaŜdym z tych punktów jest jednakowe.
Tak jak powiedzieliśmy na początku tego rozdziału, szereg podwojeń okresu moŜna przedłuŜać dalej, przy tym odpowiadające mu wartości λ są zbieŜne geometrycznie.
Opisany układ kolejnych podwojeń okresu ( zwana kaskadą ) jest uniwersalnym dla odwzorowań postaci (5.5.5) przy warunku, Ŝe f(x) posiada jedyne lokalne minimum kwadratowe
(* ścisłe sformułowanie tego warunku brzmi następująco : tzw. pochodna Schwartza funkcji f(x) tj. wielkość : [ f ’’’(x) / f ‘(x) ] – 3/2 [ f ‘’(x)/ f ‘(x) ]2 powinna być ujemna na ograniczonym odcinku *)
Taka uniwersalność ma głębokie podstawy i prowadzi do „teorii grupy renormalizacji”, ściśle związanej z teorią renormalizacji wykorzystywanej w mechanice statystycznej. Piękne wyłoŜenie tych problemów czytelnik moŜe znaleźć w [31, 34 ].
5.5.b Diagram bifurkacyjny.
Dynamikę odwzorowania (5.5.2) moŜemy prześledzić szczegółowo z pomocą komputera. Kluczowy eksperyment numeryczny ( idealny dla komputera domowego ) (* oczywiście komputera lat 80-tych – przypis własny *)
polega na badaniu iteracji f(x) dla kolejnych wartości λ. Pokazany na rys. 5.24 diagram otrzymujemy w następujący sposób :
przy kaŜdej wartości λ iteracje odwzorowania prowadzimy do tej pory, aŜ nie wyzerujemy wszystkich „stanów przejściowych” a trajektoria nie zajmie swojego „asymptotycznego połoŜenia” ( tj. 2-cyklu, 4-cyklu, 2n-cyklu , ... , 6- lub 3-cyklu lub aperiodycznego atraktora itd. )
WyróŜnijmy następujące cechy :
(1) Kolejne bifurkacje 2n ( n = 1,2 ... )-cyklów w λ-przestrzeni zacieśniają się coraz bardziej.
(2) Pasma chaotyczne pojawiają się przy λ > λ∞
(3) Cykle nieparzyste ( np. 3-cykle ) pojawiają się w reŜimie chaotycznym (* Z nieparzystymi okresami jak widać ma zasadniczy związek pojawienie się chaosu dla odwzorowań, co prowadzi do stwierdzenia Li-Yorke’a „okres trzy oznacza chaos” 35] *)
(4) Całkowicie „jednorodne” zachowanie chaotyczne osiągane jest przy λ =1 ( Później zobaczymy, Ŝe ruch w tym przypadku jest istotnie ergodyczny na odcinku (0,1) )
Rys. 5.24 Diagram bifurkacyjny., obliczany dla odwzorowania logistycznego rozpoczynający się od pierwszego podwojenia bifurkacyjnego przy λ =3/4, aŜ do zachowania ergodycznego przy λ =1, λ∞ - oznacza punkt graniczny podwojenia okresu.
Za punktem granicznym, podwojenia okresu λ∞ struktura diagramu jest niezwykle bogata.
Tabelka kolejnych wartości λn.
n Typ cyklu λn ( wartości λ, przy których pojawia się dany cykl ) 1 2-cykl 0,75
2 4-cykl 0,86273 3 8-cykl 0,88602 4 16-cykl 0,89218 5 32-cykl 0,8924728 ...
∞ atraktor 0.892486418 aperiodyczny
Naturalnie pojawia się pytanie, czy istnieje jakiś „realny” eksperyment ( w odróŜnieniu od modelowania numerycznego ) W którym moglibyśmy obserwować taką kolejność zjawisk ?
Eksperymentalnie jest trudno zaobserwować bifurkacje wysokiego rzędu, jednak cztery przejścia podwojenia okresu obserwowano w pięknych eksperymentach [36], w których badano konwekcję Rayleigha-Benarda rtęci w polu magnetycznym. Znaleziona uniwersalna skala , z dokładnością do 5% zgadzała się z liczbą Feigenbauma.
5.5.c Zachowanie poza granicą λ∞.
ChociaŜ atraktor przy λ∞ jest wielkością aperiodyczną ( posiada okres nieskończony) i wygląda chaotycznie, w rzeczywistości jednak nie przejawia dostatecznej wraŜliwości na warunki początkowe i dlatego nie naleŜy jej rozpatrywać równowaŜnie z dziwnymi atraktorami. MoŜna to potwierdzić, obliczając odpowiednie wykładniki
Lapunowa. W przypadku odwzorowań jednowymiarowych ( zobacz podrozdział 4.5 ) wykładniki te obliczamy ze wzoru :
lim (1/n) log | Df n(x0 ) | (5.5.14)
n →∞
gdzie : x0 – warunek początkowy, Df n – oznacza wielkość df n/dx, określoną wzorem (5.5.11).
Wykładnik Lapunowa dla trajektorii przy λ∞ jest równy zeru. Wraz ze wzrostem λ obserwujemy wzrost wartości wykładników dla wszystkich trajektorii za wyjątkiem, tych połoŜonych w otoczeniu punktów w których pojawiają się cykle o nieparzystych okresach ( w tych punktach wykładniki są równe zeru ).
Maksymalną wartość wykładnika Lapunowa znaleziono przy λ =1. MoŜna pokazać, Ŝe w tym punkcie odwzorowanie posiada inwariantną ergodyczną miarę. Przy tej wartości λ odwzorowanie (5.5.2) łatwo moŜemy przekształcić, wykorzystując zmianę zmiennych : x = ½ (y +1), do postaci :
yn+1 = 1 – 2 y2
n (5.5.15)
Przekształcone odwzorowanie zawarte jest w odcinku - 1 ≤ y ≤ 1. Jeszcze jedna zamiana zmiennych : y = sinθ, daje :
θn+1 = arcsin (cos 2θn ) (5.5.16)
To przekształcenie jest liniowe względem θ ( tj. θn+1 = 2θn + ½ π ) I dla wszystkich wartości początkowych, za wyjątkiem zbioru miary zero, iteracje będą równomiernie rozłoŜone w odcinku 0 ≤ θ ≤ π tj. probablistyczna miara P(θ) jest stała. Na odpowiadającym odcinku dla y ( - 1 ≤ y ≤ 1) miara P(y) powinna być, związana z P(θ) zaleŜnością : P(y) dy = dθ/π
gdzie czynnik 1/π przedstawia normalizację postaci : π
∫
P(θ) dθ = π 0Zatem :
P(y) = (1/π) dθ/dy = 1 / π sqrt ( 1 – y2 ) (5.5.17)
Rozkład ten łatwo jest sprawdzić przez iteracje numeryczne (5.5.15) przy duŜych n i dla małych szerokości ∆y.
Łatwo jest równieŜ pokazać, Ŝe wykładnik Lapunowa dla (5.5.2) jest równy ln 2.
Fakt, Ŝe wykładnik Lapunowa trajektorii poza granicą λ∞ moŜe być dodatni, oznacza wraŜliwość na zmianę warunków początkowych. Jak to jest moŜliwe dla odwzorowań jednowymiarowych ?
Uwzględniając wszystko to co powiedzieliśmy do tej pory, moŜe wydawać się, Ŝe mechanizm kolejnych rozciągnięć i złoŜeń, zapewniający pojawienie się chaosu , wymaga trójwymiarowości przestrzeni fazowej dla potoków ( równań róŜniczkowych ) oraz dwu wymiarowości w przypadku dyffeomorfizmów tj. odwzorowań gładkich i odwracalnych ( które moŜna rozpatrywać jako odwzorowania Poincarego pewnych potoków wyŜszego wymiaru ).
Istota problemu polega na tym ,Ŝe w odróŜnieniu od rozpatrywanych wcześniej odwzorowań dwuwymiarowych ( przykładowo kwadratowego odwzorowania Henona (4.2.11) lub odwzorowania atraktora (5.4.14) ) odwzorowanie jednowymiarowe (5.5.2) jest nieodwracalne. Dlatego, jak łatwo zauwaŜyć, z rysunku 5.25 dla iteracji xn+1 mamy dwa moŜliwe obrazy. Właśnie taka wieloznaczność zapewnia wymagany mechanizm rozciągania i składania.
Rys. 5.25 a) Odwzorowanie logistyczne jest nieodwracalne, poniewaŜ kaŜda iteracja xn+1 posiada dwa moŜliwe obrazy xn i x’n b) Odwzorowanie to rozciąga odcinek jednostkowy (1) podwajając jego długość (2) a następnie przekształca podwojony odcinek z powrotem na odcinek jednostkowy (3)
Rozpatrzmy odcinek 0 ≤ x ≤ 1. Jak pokazano na rys. 5.25 jego część 0 ≤ x ≤ ½ zostaje rozciągnięta, podwajając swoją długość ( podwojenie ma miejsce przy λ =1 , przy λ < 1 rozciągnięcie jest mniejsze ) zatem zajmuje odcinek 0 ≤ x ≤ 1.
Druga część wejściowego interwału ½ ≤ x ≤ 1 równieŜ zostaje podwojona, jednak przy tym zostaje nałoŜona odwrotnie na odcinek 1 ≥ x ≥ 0. To wyjaśnia w jaki sposób zaleŜność Zn+1 od Zn otrzymana przez Lorenza ( rys. 5.17 ) dla swojego atraktora, moŜe odzwierciedlać podstawowe własności dynamiki. Odwzorowanie logistyczne jest jawnie nieliniowe a zatem dopuszcza ruch chaotyczny.
Inną waŜną własnością ruchu poza granicą λ∞ - jest pojawienie się 3-cykli (oraz innych cykli o okresach nieparzystych ).
Pojawienie się tego cyklu moŜna wyjaśnić analizując własności f3(x). Przy małych λ w charakterze punktów stałych f3 (x) mogą wystąpić tylko punkty stałe f(x) ( oczywiście w przypadku f3 (x) będą to punkty niestabilne ). W miarę wzrostu λ osiągana jest taka wartość λ* ( > λ∞ ) przy której prosta y =x jest styczna do f3 (x), tak jak pokazuje to rys.
5.26. Przy tym pojawia się 3-cykl. Jest to właśnie punkt „bifurkacji stycznej”. ZauwaŜmy, Ŝe styczność ma miejsce tylko wtedy, kiedy nachylenie f3 (x) ( w punktach styczności ) jest równe + 1.
( W przypadku podwojenia okresu bifurkacja zachodziła przy f2n’(x) = - 1 )
Rys. 5.26 Pojawienie się trajektorii 3-cyklu : linia y = x jest styczna do f3 (x) w punktach stałych x*i ( i= 1, 2, 3 ) Nachylenie f3 (x) jest jednakowe we wszystkich punktach x*i.
Przy λ > λ* kaŜdy z punktów stałych 3-cyklu przekształca się w wyniku bifurkacji w parę punktów stałych, z których jeden jest stabilny, a drugi niestabilny. Takie bifurkacje nazywa się równieŜ bifurkacjami „siodło-węzeł”. NaleŜy je odróŜniać od bifurkacji podwojenia okresu, które nazywa się bifurkacjami „kamertonu” i przy których punkt stały niestabilny przekształca się w parę punktów stabilnych.
5.5.d Inne klasy uniwersalności.
NaleŜy podkreślić, Ŝe „uniwersalne” liczby są uniwersalne tylko dla określonych klas odwzorowań. Liczby znalezione przez Feigenbauma odpowiadają odwzorowaniom o jednym jedynymi maksimum kwadratowym. Dla rodziny
odwzorowań :
f(x) = 1 – a |x |n (5.5.18)
równieŜ istnieje podwojenie okresu, jednak przy tym dla kaŜdego n mamy pewną uniwersalną liczbę δ : n : 2 4 6 8
δ : 5,1224 9,316 13,3721 17,3987
Szereg bifurkacji podwojenia okresu został znaleziony równieŜ dla odwzorowania płaszczyźnie, zachowujących pole
xn+1 = f ( xn , yn ) (5.5.19)
yn+1 = g ( xn , yn ) (5.5.19)
W tym przypadku uniwersalny wykładnik jest równy δ = 0,7210978...
Wszystkie te róŜne uniwersalne wykładniki ( jak równieŜ inne, nie omawiane tutaj własności skalowania ) mogą być opracowane z pomocą renormalizacynych grup funkcjonalnych.