Klasyczna teoria perturbacji
3.2 Kanoniczna teoria perturbacji
W kanonicznej teorii perturbacji wykorzystuje się podstawowe własności zmiennych kąt-działanie. Nietrywialne moŜliwości tej teorii, najbardziej widoczne dla przypadków układów autonomicznych o jednym stopniu swobody.
W miarę przechodzenia do układów o dwóch lub więcej stopni swobody , stopniowo pojawiają się znaczne trudności, związane z rozwiązaniem takiego skomplikowanego, wielo cząstkowego zagadnienia. Jednak właśnie takie trudności , jak zobaczymy dalej, są w pewnym sensie „iskrą” budzącą chaos.
Na początku ograniczymy się do układów o jednym stopniu swobody.
W pierwszej kolejności układ taki naleŜy przedstawić jako funkcje zmiennych kąt-działanie ( I, θ ) dla układu zerowego rzędu :
H( I, θ ) = H0( I, θ ) + εH1( I, θ ) (3.2.1)
Zmienne kąt-działnie zerowego rzędu cały czas przedstawiają zmienne kanoniczne i przy wyraŜeniu członu perturbowanego H1 poprzez te zmienne , równania kanoniczne ruchu dla (3.2.1) mają prosta postać : I•
= - ∂/∂θ H( I, θ )
(3.2.2a)
θ• = - ∂/∂I H( I, θ ) (3.2.2b)
ChociaŜ w (3.2.1) przedstawiliśmy perturbacje jako poprawkę rzędu ε ( ε << 1 ), moŜe się zdarzyć, Ŝe siły zaburzające mogą by przedstawione w postaci szeregu względem potęg ε :
H( I, θ ) = H0( I ) + εH1( I, θ ) + ε2H2( I, θ ) + O( ε3 ) (3.2.3) itd.
Podstawowa idea kanonicznej teorii perturbacji polega na uzyskaniu dla układu perturbowanego H( I, θ ) takiego, nowego zbioru zmiennych kąt-działanie ( J, φ) dla którego moŜliwe jest przekształcenie kanoniczne do nowego hamiltonianu, zaleŜnego tylko od J tj. H( I, θ ) → K(J ) (* PoniewaŜ H nazywamy hamiltonianem, mój kolega prof. H. Goldstein zaproponował nazwać K „kamiltonianem” – przypis autora *)
JeŜeli uda się to zrobić to (3.2.3) będzie układem całkowalnym zupełnie, a jego równania ruchu będą całkowalne trywialanie.
Nasz cel polega na uzyskaniu funkcji tworzącej S = S( J, θ ), gdzie θ - stara zmienna kątowa (współrzędna ) , J – nowa zmienna działania ( pęd ) ( porównaj – funkcja tworząca typu F2 w rozdziale 2.3 ), taka funkcja tworząca zapewniałaby wymaganą postać przekształcenia za pośrednictwem standardowych zaleŜności :
I = ∂/∂θ S(θ , J ) ; φ = ∂/∂J S(θ, J ) (3.2.6)
S moŜe być równieŜ rozłoŜona w szereg względem potęg ε :
S = S0 + εS1 + ε2S2 + ... (3.2.7) Gdzie : S0 = Jθ - toŜsamościowa funkcja tworząca ( zobacz równanie (2.3.21) )
Wykorzystując zaleŜności (3.2.6) otrzymujemy nie zaleŜne od czasu równanie Hamiltona-Jakobiego :
H0( ∂S/∂θ) + εH1( ∂S/∂θ, θ ) + ε2H2( ∂S/∂θ, θ ) + ... = K(J) (3.2.8) Oprócz tego „nowy” hamiltonian moŜna rozłoŜyć w szereg względem potęg ε :
K(J) = K0 (J) + εK1(J) + ε2K2(J) + ...
Ostateczny krok polega na tym aby rozkład S w szereg (3.2.7) wykorzystać dla rozłoŜenia kaŜdego członu po prawej stronie (3.2.8) w szereg Taylora. Przykładowo człon zawierający H0 moŜemy rozłoŜyć następująco :
H0 (∂S/∂θ) = H0( J + ε ∂S1/∂θ + ε2 ∂S2/∂θ + ... ) = H0( J) + ε (∂S1/∂θ)(∂H0/∂J) + ε2[ ½ (∂S1/∂θ)2 (∂2H0/ ∂J2) +
+ (∂S2/∂θ)(∂H0/∂J) ] + O( ε3 )
Przy rozkładzie członów O( ε3 ) równanie Hamiltona-Jakobiego (3.2.8) przyjmie postać :
H0(J) + ε [ (∂S1/∂θ)(∂H0/∂J) + H1 ] + ε2[ ½(∂S1/∂θ)2 (∂2H0/ ∂J2) + (∂S2/∂θ)(∂H0/∂J) + (∂S1/∂θ)(∂H1/∂J)+ H2 ] =
Z (3.2.9a) wynika , Ŝe H0( J) = K0(J) tj. K0(J) moŜna otrzymać zamieniając I na J w hamiltonianie zerowego
przybliŜenia H0. Na następnym szczeblu O(ε) ( równanie (3.2.9b) ) powinniśmy ( ponownie) zamienić I na J, w członach zawierających H0 i H1( nie zmieniając postaci funkcjonalnej tego równania ), to pozwoli zapisać :
K1(J) = ω0( J) ∂/∂θ S1(θ, J) + H1(J, θ) (3.2.10) Teraz wykorzystując periodyczność ruchu względem ( starej ) zmiennej kątowej θ, moŜemy dokonać uśrednienia
(3.2.10) względem tej zmiennej. PoniewaŜ zakładaliśmy, Ŝe S1 jak równieŜ Si ; i = 2, 3... ; są periodyczne względem θ, wymagamy wartości średnie ich pochodnych były równe zeru, poprawka do energii pierwszego rzędu ma postać : K1(J) = H
W pewnych przypadkach moŜe się okazać, Ŝe wartość H-1 będzie równa zeru.
Otrzymawszy K1(J) moŜemy rozwiązać (3.2.10) względem S1:
∂/∂θ S1(θ, J) = ( 1/ ω0(J) ) [ K1(J) - H1(J, θ) ] (3.2.13) PoniewaŜ K1(J) przedstawia sobą „uśrednioną” część H1(J, θ) ( zobacz równanie (3.2.11) ) to prawą stronę (3.2.13) wygodnie jest oznaczyć przez: H^1 = H1( J, θ) - K1( J ) rozumiejąc Ŝe H^1 przedstawia sobą „periodyczną” część H1.
Po uwzględnieniu tego , (3.2.13) moŜemy zapisać następująco :
∂/∂θ S1(θ, J) = ( 1/ ω0(J) )H^1(J, θ) (3.2.14) Obie strony (3.1.14) są periodyczne względem θ , moŜemy zatem przedstawić je w postaci szeregu Fouriera względem zmiennej kątowej θ :
Człony z k=0 nie wchodzą do sumy (3.2.15a) poniewaŜ H^1 zgodnie z definicją jest dokładnie periodyczna tj. w funkcji tej nie występuje człon stały. ChociaŜ S1 moŜe zawierać dowolną funkcje J ( odpowiadające członom z k=0 w (3.2.15b) ) wygodnie jest załoŜyć Ŝe człon ten jest równieŜ równy zeru i przy sumowaniu wykluczyć go.
Przyrównując współczynniki w (3.2.14) znajdujemy :
Bk(J) = ( i / k ω0(J) ) Ak(J) (3.2.16)
Gdzie Ak(J) – zakładamy jako znane. Zatem funkcja tworząca pierwszego rzędu ma postać : ∞
S1(J, θ) =
ΣΣΣΣ
( i / k ω0(J) ) Ak(J) eikθ (3.2.17) k=0Teraz zaleŜności (3.2.6) moŜna wykorzystać w celu uzyskania „nowych” zmiennych kąt-działanie z dokładnością do pierwszego rzędu względem ε (* Aby obliczyć J w (3.2.18b) z dokładnością do pierwszego rzędu względem ε , konieczne jest zamienienie argumentu J w funkcji S1(J, θ) na I – przypis autora *)
φ = θ + ε ∂/∂J S1(J, θ) (3.2.18a)
J = I – ε ∂/∂J S1(J, θ) (3.2.18b) A skorygowana częstość zadana jest zaleŜnością :
ω(J) = ω0(J) + ε ∂/∂J K1(J)
(3.2.18c)
Zatem, ruch perturbowany składa się z sumy ruchu nieperturbowanego i poprawek oscylacyjnych O(ε). Człony sekularne nie pojawiają się ( potencjalnym źródłem trudności jest przypadek w którym częstość zerowego rzędu ω0(I) jest równa zeru lub bliska zeru – to moŜe mieć miejsce przy ruchu w pobliŜu separatysy.
3.2.c Rozwiązania z dokładnością do wyŜszych potęg względem ε.
Do tej pory ograniczaliśmy się do obliczeń z dokładnością do pierwszego rzędu względem ε. W przypadku przybliŜeń drugiego rzędu względem ε (3.2.9c) znajdujemy ( ponownie zamieniając I na J w członach zawierających H0, H1 jak równieŜ H2 ) :
(∂H0/∂J) (∂S2/∂θ) = K2(J) – H2(J, θ) – ½ (∂S1/∂θ)2 ∂2/ ∂J2 H0(J) - (∂S1/∂θ)∂/∂J H1(J, θ) (3.2.19) uśredniając po θ, otrzymujemy poprawki drugiego rzędu dla energii :
K1(J) = H
-2( J, θ) – ½ [ (∂S1/∂J)2 ∂2/ ∂J2 H0(J) ] - - [ (∂H1/∂θ) ∂/∂J H1(J, θ) ]- (3.2.20) (* uwaga dwa ostatnie człony są średniowane , znak „- „ - przypis własny *)
S2 moŜna znaleźć z zaleŜności :
∂/∂θ S2(θ, J) = (1/ω0( J) ) [ H^2(J, θ) – ½ (∂S1/∂J)2 ∂2/ ∂J2 H0(J) - (∂S1/∂θ) ∂/∂J H1(J, θ) ] (3.2.21) gdzie H^2(J, θ) – przedstawia sobą periodyczną część H2 ( którą definiujemy tak samo jak H^1(J, θ) ). Opisana
procedura moŜe być przedłuŜona dla wyŜszych potęg ε ( zobacz np. [7] lub [5] ).
Dla przypadku εn otrzymujemy równanie postaci :
(∂H0/∂J)(∂Sn/∂θ) = Kn(J) – Vn( θ, J ) (3.2.22) gdzie do Vn włączamy człony rozpatrzone przy niŜszych rzędach względem ε. Wykorzystując procedurę uśredniania , otrzymujemy :
Równanie (3.2.24) rozwiązujemy rozkładając obie strony w szereg Fouriera a następnie przyrównujemy współczynniki.
3.2.d Oscylator zaburzony.
Powrócimy do równania (3.1.23) i rozwiąŜmy go za pomocą kanonicznej teorii perturbacji , będzie to prosta ilustracja zastosowania tej metody.
Rozwiązanie (3.2.25) z uŜyciem zmiennych kąt-działanie juŜ znaleźliśmy w rozdziale 2, ma ono postać :
H0(p, q ) = Iω0 (3.2.27a) Oraz :
q = sqrt( 2I/ω0 ) sin(θ) (3.2.27b)
gdzie : θ = ω0 t + δ.
Z pomocą zaleŜności (3.2.27b) H1 moŜemy wyrazić uŜywając zmienne kąt-działanie zerowego rzędu :
H1(I, θ) = ( 2I/ ω0 )3/2 sin3 (θ) (3.2.28)
Naśladując opisana wcześniej procedurę, znajdujemy w przypadku O(ε) :
ω0 ∂/∂θ S1(θ, J) = K1(J) - H1(J, θ) (3.2.29)
Przy uśrednieniu po θ okazuje się , Ŝe H-1(J, θ) = 0 tj. poprawka pierwszego rzędu dla energii jest równa zeru. Równanie (3.2.29) łatwo rozwiązujemy względem S1 :
S1=(1/ω0 ) ( 2I/ ω0 )3/2 [ 1/3 sin2 (θ) cos(θ) + 2/3 cos(θ) ] (3.2.30)
W następnym kroku O(ε2 ) otrzymujemy :
ω0 ∂/∂θ S2(θ, J) = K2(J) – ½ (∂S1/∂θ) ∂/∂J H1(J, θ) (3.2.31) gdzie brak jest członu (∂S1/∂J)2 ( zobacz równanie (3.2.9c) ) , co wynika z tego, Ŝe dla liniowego zagadnienia zerowego rzędu : ∂2H0/∂I2 = 0. Wykorzystując (3.2.30) i (3.2.29) uśredniona po θ, łatwo znajdujemy poprawkę drugiego rzędu dla energii :
K2(J) = - 15 πJ2/ 4ω04 (3.2.32) Zatem , w przypadku drugiego rzędu względem ε „nowy” hamiltonian przyjmuje postać :
K(J) = ω0 J - ε2 ( 15 πJ2/ 4ω04 ) (3.2.33) Nowa częstość wyraŜona jest przez zaleŜność :
ω(J) = ∂/∂J K(J) = ω0 - ε2 ( 15 πJ/ 2ω04 ) (3.2.34) w której przejawia się ( w danym przypadku, słaba ) zaleŜność amplitudowa, typowa dla układów nieliniowych.