Dynamika układów hamiltonowskich
2.2 Formalizm Hamiltona
W mechanice hamiltonowskiej, układ mechaniczny opisywany jest przez współrzędne uogólnione qi i pędy uogólnione p•
i . I chociaŜ formalizm Hamiltona nie roŜni się od formalizmu Lagrange’a jeśli chodzi o treść fizyczną, jest on bardziej predysponowany do wyłoŜenia mechaniki kwantowej, mechaniki statystycznej i teorii perturbacyjnej. W szczególności wykorzystanie przestrzeni fazowej daje podstawę dla omówienia pojęcia całkowalności i niecałkowalności oraz dla opisania zjawisk chaotycznych, które mogą mieć miejsce w układach niecałkowalnych.
2.2.a Przejście do formalizmu Hamiltona.
Przejścia od formalizmu Lagrange’a, opartego na zmiennych qi i q•
i , do formalizmu Hamiltona, moŜemy dokonać za pomocą standardowego przekształcenia Legendre’a ( zobacz zastosowanie 2.1 ). Z jego pomocą lagranŜjan
L = L(q, q•, t) przekształcamy względem q• do nowej funkcji dla której q• wyraŜamy w terminach p : A nowa funkcja H nazywa się hamiltonianem układu. Podstawowa zaleŜność, za pośrednictwem której pi wyraŜamy przez qi i q•
i przez pi , rozpatrując ( na danym etapie ) qi oraz t , jako parametry, W charakterze prostego przykładu omawianego przekształcenia rozpatrzmy lagranŜjan postaci :
n
L =
ΣΣΣΣ
½ mi q•2i – V(q1, ... , qn ) (2.2.4)
i=1
Dla takiego lagranŜjanu znajdujemy : pi = (∂L/∂q•
i ) = mq•
i (2.2.5)
a poniewaŜ warunek (2.2.3) jest spełniony, zaleŜność odwrotna ( trywialna w tym przypadku ) ma postać : q•
LagranŜjan (2.2.4) opisuje waŜną klasę układów mechanicznych, jego zaleŜność pi i qi jest jednak niezwykle prosta, zatem pewne subtelności nie są ujawnione. Standardowym przykładem mniej trywialnego przekształcenia jest przykład ruchu cząstki pod działaniem siły cięŜkości, ograniczonej gładką krzywą ( prowadnikiem ) o zadanej formie (* Jest to przykład więzu holonomicznego – przypis autora *). Rozpatrzmy koralik o masie m nanizany na prowadnik, forma którego zadana jest przez funkcje z = f(x) na płaszczyźnie pionowej (z, x). Na początku rozpatrzymy ruch
nieograniczony na tej płaszczyźnie. W formalizmie Lagrange’a aby opisać taki ruch wymagamy dwóch współrzędnych oraz dwóch prędkości ( tj. x, z i x•, z• ) ; energia kinetyczna ma zatem postać : T = ½ m ( x•2 + z•2 ). W dalszym ciągu rozpatrzymy zaleŜność między x i z tj. z = f(x), z niej znajdujemy : z• = x• (df/dx) ≡ x• f’ (x). Zatem :
T = ½ m ( x•2 + z•2 ) = ½ m x•2 [ 1 + (f’(x))2 ] (2.2.8)
Energia potencjalna opisywana jest siłą ciąŜenia ( tj. V = mgz = mgf(x) ) a zatem lagranŜjan ma postać :
L = ½ m ( x•2 + z•2 ) – mg f(x) (2.2.9)
Równania ruchu Lagrange’a określane są zgodnie z zadanym lagranŜjanem układu za pomocą zasady Hamiltona.
Naturalnym jest, Ŝe chcielibyśmy teraz otrzymać równania ruchu w ramach formalizmu hamiltonowskiego. MoŜna to zrobić opierając się na zasadzie wariacyjnej ( który omówiliśmy w rozdziale 2.3.b ), jednak bardziej poprawna jest następująca droga. RóŜniczka funkcji H, zadanej zaleŜnością (2.2.1) ma postać :
dH =
ΣΣΣΣ
pi dq•Pierwsza i trzecia składowa po prawej stronie znoszą się wzajemnie, zgodnie z definicją pi = ∂L/∂ q•i , a po uwzględnieniu zaleŜności p• a oprócz tego, zaleŜność (* moŜna równieŜ udowodnić, Ŝe dH/dt = ∂H/∂t. Przyrównanie tego wyniku do równań
kanonicznych (2.2.15) prowadzi do wniosku, Ŝe H i t formalnie mogą być rozpatrywane jako para zmiennych
kanonicznych. Takie podejście jest dogodne w przypadku hamiltonianów zaleŜnych od czasu dla których rozpatruje się często (2n + 1)-wymiarową „rozszerzoną” przestrzeń fazową zmiennych q1, ... , qn ; p1, ... , pn ; t. ( zobacz dalej, omówienie inwariantu Poincarego-Cartana) – przypis autora *) ( dla układu jawnie zaleŜnego od czasu ) :
∂H/∂t = - ∂L/∂t (2.2.16)
Układ równań (2.2.15)zawiera w sobie 2n równań pierwszego rzędu, w odróŜnieniu od układu n równań drugiego rzędu, otrzymanego w formalizmie Lagrange’a. W rozdziale 1 pokazaliśmy, Ŝe równanie drugiego rzędu, przykładowo o postaci : x•• = f(x), moŜna zapisać w postaci pary równań pierwszego rzędu, wprowadzając nową zmienną : y = x• , jednak naleŜy podkreślić, Ŝe równania te nie koniecznie musza mieć formę hamiltonowską.
Rozpatrzmy teraz zagadnienie poruszającego się koralika. Równania Hamiltona zapiszemy w postaci :
x• = ∂H/∂p = p / m [ 1 + (f’(x))2 ]
(2.2.17a)
p• = - ∂H/∂x = { p2 f’(x) f’’(x) / m [ 1 + (f’(x))2 ] } – mgf’(x) (2.2.17b)
Odpowiadające im równanie Lagrange’a ma postać :
x•• = - f’(x) [ x•2 f’’(x) + g ] / 1+ ( f’(x))2 (2.2.18) Wprowadzając zmienną y = x•, otrzymujemy parę równań :
x• = y
(2.2.19a)
y• = - f ’ ( y2 f’’ + g ) / 1+ ( f ’)2 (2.2.19b) która, jak łatwo zauwaŜyć, istotnie róŜni się od równań (2.2.17).
Równania Hamiltona (2.2.15) posiadają szereg waŜnych własności, na razie ograniczymy ich omówienie dla przypadku hamiltonianów nie zaleŜnych od czasu. Po pierwsze : zbiór 2n zmiennych q1, ... , qn ; p1, ... , pn , który często
nazywamy „zmiennymi kanonicznymi” lub „kanonicznie sprzęŜonymi” ( „ pi –pęd jest sprzęŜony z qi ) obrazuje 2n-wymiarową przestrzeń fazową ( zobacz omówienie tej przestrzeni w rozdziale 1 ). Rozwiązanie równań Hamiltona : qi(t) = qi ( q0 , p0 , t) ; pi(t) = pi ( q0 , p0 , t) (2.2.20) gdzie : q0 = ( q1(0), ... , qn(0) ) ; p0 = ( p1(0), ... , pn(0) ) - są warunkami początkowymi, określającymi stan układu mechanicznego w chwili t. Z czasem trajektoria fazowa, zadana wektorami : q(t), p(t) przebiega przez pewne obszary przestrzeni fazowej. Pytanie o to jakie to są obszary przedstawia sobą fundamentalny problem, który niedługo omówimy.
Łatwo jest zauwaŜyć, Ŝe równania (2.2.15) spełniają warunek „nieściśliwości” : n
ΣΣΣΣ
[ (∂q•i /∂qi ) = (∂p•i /∂pi ) ] = 0 (2.2.21)
i=1
Wyobraźmy sobie kroplę „cieczy” przestrzeni fazowej – równanie (2.2.21) stwierdza, Ŝe objętość tej kropli pozostaje stała. Zatem, element objętości przestrzeni fazowej w strumieniu fazowym jest zachowany – to właśnie jest treścią elementarnego twierdzenia Liouville’a, opisuje ono jedną z najwaŜniejszych własności układów hamiltonowskich (* Bardziej głęboka geometryczna interpretacja twierdzenia Liouville’a omówiona jest w zastosowaniu 2 – przypis autora *)
Dla zadania o koraliku łatwo jest zauwaŜyć np. z równań (2.2.17), Ŝe dywergencja potoku fazowego w istocie jest równa zeru. Z drugiej strony, zauwaŜmy , Ŝe para równań (2.2.19), otrzymana z lagranŜjanu, nie zachowuje objętości ( w danym przypadku ściśle mówiąc będzie to płaszczyzna ) „przestrzeni fazowej” na płaszczyźnie (x, y).
Równania Hamiltona są symetryczne względem p i q co prowadzi do naturalnego rozpatrywania zmiennych pi i qi jako całkowicie równouprawnionych. W wielu przypadkach wygodnie jest jeden „zbiór” z 2n zmiennych zi ,
gdzie : z = ( q1, ... , qn ; p1, ... , pn , ). To pozwala zapisać równanie Hamiltona dla danego hamiltonianu :
Jedno z waŜniejszych pytań dynamiki układów hamiltonowskich brzmi :
czy moŜemy scałkować równanie Hamiltona ? Jeśli układ ma tylko jeden stopień swobody ( tj. opisywany jest przez jedną parę zmiennych kanonicznych ( p, q) ), to odpowiadająca mu para równań kanonicznych pierwszego rzędu moŜe być scałkowana z wykorzystaniem metody opisanej w rozdziale 1. Podstawową procedurą, niezaleŜnie od liczby stopni swobody, jest procedura poszukiwania całek ruchu. Podejście hamiltonowskie pozwala wygodnie przedstawić zaleŜność czasową zmiennych dynamicznych. Rozpatrzmy pewną funkcję f = f(p, q, t) oraz jej róŜniczkę :
n n
df =
ΣΣΣΣ
[ (dqi /dt) (∂f/∂qi ) + (dpi /dt) (∂f/∂pi) ] + ∂f/∂t =ΣΣΣΣ
[ (∂H/∂pi ) (∂f/∂qi ) – (∂H/∂qi)(∂f/∂pi) ] + ∂f/∂t = i=1 i=1= [ H, f ] + ∂f/∂t (2.2.24) gdzie : [ H, f ] – nawias Poissona funkcji H i f.
Istnieje ścisły związek między nawiasem Poissona w mechanice klasycznej i komutatorami w mechanice kwantowej.
Nawias Poissona moŜna zapisać dla dowolnej pary zmiennych dynamicznych np. : n
[ g, f ] =
ΣΣΣΣ
[ (∂g/∂pi ) (∂f/∂qi ) – (∂g/∂qi)(∂f/∂pi) ] (2.2.25) i=1Jeśli zmienna dynamiczna nie zaleŜy od czasu w sposób jawny ( tj. f = f(p,q )) a jej nawias Poissona z H jest równy zeru, to jak wynika z (2.2.24) f –jest stałą ruchu. Jest oczywiste, Ŝe energia układów nie zaleŜnych od czasu ( H = E )
przedstawia sobą stałą ruchu, poniewaŜ nawias Poissona dla funkcji H z samą sobą jest równy zeru (* tj. [ H, H ] = 0 – przypis własny )
Z definicji nawiasu Poissona (2.2.25) moŜemy wyprowadzić cały szereg ich własności. Dla trzech zadanych funkcji Ostatnia z nich , posiadająca charakterystyczną strukturę cykliczną, znana jest jako „toŜsamość Jakobiego”.
Własności (2.2.26) świadczą o tym ,Ŝe nawias Poissona odpowiada strukturze którą nazywamy „algebrą Liego”.
Nic nie zabrania nam wybrać róŜne funkcje f, g, h w charakterze zmiennych kanonicznych, prowadzi to do zaleŜnością postaci :
[ qi , qj ] = 0 ; [ pi , pj ] = 0 ; [ pi , qj ] = δij (2.2.27) które przypominają zaleŜności otrzymywane w mechanice kwantowej ( np. zaleŜności [ pi , qj ] = 0 odpowiada tam [ p^i , q^j ] = -ih δij / 2π ). Jeśli f i g – są stałymi ruchu, to z twierdzenia Poissona wynika, Ŝe ich nawias równieŜ jest stałą ruchu tj. [ f, g ] = const. Wynika to w oczywisty sposób z toŜsamości Jakobiego (2.2.26d)
[ f , [ g , H ] ] + [ g , [ H, f ] ] + [ H, [ f, g ] ] = 0.
PoniewaŜ dwa pierwsze nawiasy są równe zeru ( na mocy tego, Ŝe f i g są stałymi ruchu ), automatycznie otrzymujemy wymagany wynik [ H, [ f, g ] ] = 0, potwierdzający to, Ŝe [ f, g ] równieŜ jest stałą ruchu. W praktyce jednak twierdzenie Poissona nie zawsze jest metoda konstruktywną ( z punktu widzenia budowania nowych całek ruchu ), wynika to z fakty, Ŝe nawias [f, g ] moŜe okazać się liczbą stała ( np. by równy zeru ) lub moŜe być pewną funkcją całek ruchu f i g.
W rozdziale 1 zauwaŜyliśmy ,Ŝe w ogólnym przypadku dla całkowitego „scałkowania” układu n równań pierwszego rzędu wymagamy n-1 całek ( do których zaliczamy zarówno nietrywialne „całki ruchu” jak i trywialne „stałe
całkowania” ). Czy to oznacza, Ŝe dla rozwiązania układu 2n równań opisujących układ hamiltonowski wymagamy 2n-1 całek ? Na szczęście okazuje się, Ŝe dzięki osobliwej strukturze symplektycznej równań, o której juŜ wspominałem wcześniej, potrzeba tylko n całek ruchu. Dla zrozumienia istoty tego waŜnego faktu powinniśmy najpierw rozpatrzyć tak zwane „przekształcenia kanoniczne”. Przedstawiają one takie przekształcenia zmiennych, które nie naruszają struktury hamiltonowskiej układu.