Nieliniowe równania ewolucyjne i solitony
7.5 Inne układy solitonowe
7.5 Inne układy solitonowe.
W pełnym okresie myślano, Ŝe metodę OPR, rozwiniętą przez GGKM moŜna stosować tylko do równania KdV. Jednak na przestrzeni ostatnich lat znaleziono znaczna ilość innych, fizycznie waŜnych nieliniowych równań ewolucyjnych mających rozwiązania solitonowe i zgodnych z ramami metody OPR. W przypadku tych równań, zagadnienie kwantowe juŜ nie zawiera równania Schrödingera niezaleŜnego od czasu i naleŜy rozwiązywać inne, analogiczne zagadnienie na wartości własne. W tym pod rozdziale wprowadzimy jedynie kilka równań oraz pewne ich proste rozwiązania, opiszemy równieŜ, krótko procedurę OPR. Pełniejszy wykład przedstawionych problemów moŜna znaleźć w cytowanej literaturze.
7.5.a Zmodyfikowane równanie KdV.
Wcześniej juŜ wspominaliśmy o zmodyfikowanym równaniu KdV ( mKdV ) :
vt + 6v2vx + vxxx = 0 (7.5.1)
W pierwszym kroku będziemy poszukiwali rozwiązania tego równania w postaci fali biegnącej :
v(x, t) = f(z) (7.5.2)
gdzie : z = x – ct.
Bezpośrednie podstawienie (7.5.2) do (7.5.1) oraz dwa kolejne całkowania dają następująca kwadraturę :
z – z0 =
∫
df / sqrt( cf2 - f 4 + qf + e) (7.5.3)gdzie : q, e – stałe całkowania.
Ogólne rozwiązanie dla tego przypadku moŜe być znalezione z wykorzystaniem funkcji eliptycznych Jakobiego, jeśli jednak wybrać wartości brzegowe w taki sposób aby f, f ’ → 0 przy z →±∞ , to kwadratura sprowadza się do postaci :
z – z0 =
∫
df / f sqrt( c - f 2 ) (7.5.4)WyraŜenie to łatwo jest scałkować w wyniku czego otrzymamy rozwiązanie w postaci fali odosobnionej :
f(z) = √c / ch [ √c ( z – z0 ) ] (7.5.5)
ZauwaŜmy ,Ŝe rozwiązanie to zawiera funkcję 1/ ch w odróŜnieniu od 1/ ch2 dla przypadku analogicznego rozwiązania (7.5.12) dla równania KdV.
Drugie, proste rozwiązanie moŜemy otrzymać z pomocą przekształcenie podobieństwa. Wykorzystując omówienie tej metody z podrozdziału 7.2, łatwo jest pokazać, Ŝe równanie (7.5.1) jest inwariantne względem przekształcenia x → kx, t → k3 t, u → k-1 u. To podpowiada zmianę zmiennych postaci :
W wyniku czego otrzymujemy rrz o specjalnej postaci, znane jest ono jako równanie Painleve’a drugiego rodzaju.
7.5.b Równanie sinus Gordona ( sin-Gordona )
Bardzo waŜnym nieliniowym rrc jest równanie sin-Gordona :
utt - uxx + sin(u) = 0 (7.5.9)
Równanie to pojawiające się w róŜnorodnych zagadnieniach geometrii róŜniczkowej, jego liczne sposoby rozwiązania były znane jeszcze w XIX wieku. W późniejszych latach znalazło ono zastosowanie w relatywistycznej teorii pola.
Równanie (7.5.9) wygodnie jest rozwiązywać w zmiennych :
ξ = ½ (x - t) , η = ½ (x + t) (7.5.10)
w których zapisuje się ono następująco :
uξη = sin(u) (7.5.11) Periodyczność funkcji sin(u) prowadzi do szeregu ciekawych własności. JeŜeli równanie (7.5.9) linearyzować ( tj.
rozłoŜyć go w szereg z dokładnością do członów pierwszego rzędu ) w otoczeniu rozwiązania ψ = 0, to otrzymamy wyraŜenie :
utt - uxx + u = 0 (7.5.12) dla którego, jak łatwo pokazać, zaleŜność dyspersyjna ma postać :
ω = sqrt( k2 + 1) (7.5.13)
Jest ona rzeczywista dla wszystkich rzeczywistych k i tym samym ψ = 0 jest punktem stabilnym równowagi.
MoŜe budzić pewne zdziwienie, Ŝe jeśli opuścimy przestrzenną zaleŜność w (7.5.9) otrzymamy równanie wahadła : utt + sin(u) = 0. Z drugiej strony , jeŜeli (7.5.9) rozłoŜyć w szereg względem rozwiązania u = π :
utt - uxx - u = 0 (7.5.14) to zaleŜność dyspersyjna będzie miała postać :
ω = sqrt( k2 - 1) (7.5.15) Świadczy to o tym, Ŝe rozwiązanie u = π jest niestabilne przy 0 < k < 1. Taki wynik jest zgodny z własnościami
zagadnienia przestrzennie-niezaleŜnego.
Rozwiązując zagadnienie fali biegnącej ( tj. zakładając : u(x, t) = f(z) ), po pierwszym całkowaniu dochodzimy do kwadratury :
z – z0 = sqrt( c2 - 1)
∫
df / sqrt[ 2 ( q – 2sin2 (1/2f) ) ] (7.5.16) gdzie : q – pierwsza stała całkowania.W przypadku szczególnym q = 0 i (7.5.16) łatwo jest obliczyć, w wyniku czego otrzymujemy :
z – z0 = ± sqrt( 1 - c2 ) ln [ ± tg (1/4 f) ] (7.5.17) i odpowiednio :
f(z) = ± arctg { exp[ ± (z – z0 ) / (1 - c2 ) ] } (7.5.18) Rozwiązanie to moŜe mieć róŜną postać w zaleŜności od wyboru znaków. JeŜeli oba znaki są dodatnie , f(z) wzrasta od lewej do prawej – od zera do wartości 2π (rys. 7.3). Takie rozwiązanie nazywamy „kinkiem”. Rozwiązanie, w którym amplituda zmniejsza się od 2π do zera, nazywamy „antykinkiem”. ChociaŜ na pierwszy rzut oka rozwiązania te wydają się bardzo róŜnić od rozwiązań solitonowych, ich pochodne mają formę charakterystyczną : 1/ ch :
ux(x, t) = f ‘ (z) = [ 2 / sqrt( 1 - c2 )] ch[ (z – z0 ) / (1 - c2 ) ] (7.5.19)
Rys. 7.3 a) Kink f(z) = 4arctg( ez ) b) Antykink f(z) 4arctg( -ez )
Kinki i antykinki zachowują się przy „zderzeniu” tak samo jak solitony : po zderzeniu „wyłaniają” się ponownie jedyna zmiana polega na przesunięciu fazy. Rozwiązanie dwukinkowe, posiadające takie własności otrzymano za pomocą zwyczajnej metody rozdzielania zmiennych przez Perring’a i Skyrme’a [20].
( Praca ta poprzedzała analizy przeprowadzone przez Kruskala i innych, jednak w swoim czasie nie doceniono znaczenia otrzymanych wyników ). Rozwiązanie ( szczegóły zobacz [3] ) ma postać :
u(x, t) = 4 arctg { c sh[ x / sqrt( 1 - c2 ) ] / ch[ c t / sqrt( 1 - c2 ) ] } (7.5.20) W granicach t → ± ∞ otrzymujemy :
lim u(x, t) = 4 arctg {exp [ (x + ct – δ ) / sqrt( 1 - c2 ) ] – exp[ - ( x – ct + δ) / sqrt( 1 - c2 ) ] } (7.5.21) t → - ∞
lim u(x, t) = 4 arctg { - exp [ -(x + ct + δ ) / sqrt( 1 - c2 ) ] + exp[ ( x – ct - δ) / sqrt( 1 - c2 ) ] } (7.5.22) t → + ∞
gdzie : δ = sqrt( 1 - c2 ) ln( 1/c)
Zachowanie tego rozwiązania schematycznie pokazano na rys. 7.4
Drugie szczególne rozwiązanie równania sin-Gordona moŜna otrzymać z pomocą przekształcenia automodelowego.
ZauwaŜmy, Ŝe (7.5.11) jest inwariantne względem przekształcenia : ξ → kξ , η → η/k. Podstawienie u(ξ, η) = f(z) , gdzie z = ξη daje :
zf ‘’ + f ‘ sin(f) (7.5.24)
Następna zmiana zmiennej g = eif prowadzi do :
g‘’ – [ ( g’ )2 / g ] + [ (2g’ - g2 + 1) / 2z ] = 0 (7.5.25) i przedstawia przypadek szczególny równania Penlev’a pierwszego rodzaju.
Rys. 7.4 Ewolucja rozwiązania Perring’a i Skyrme’a (7.5.20) przy : a) t < 0 , b) t =0 , c) t > 0 7.5.c Nieliniowe równanie Schrödingera.
Inne waŜne nieliniowe rrc to, nieliniowe równanie Schrödingera :
iut = uxx + 2u |u|2 (7.5.26) gdzie : u – amplituda praktycznie monochromatycznych, kolejno następujących fal.
ZauwaŜmy, Ŝe jest to równanie zespolone. Zatem |u|2 przedstawia sobą ( rzeczywistą ) amplitudę obwiedni fal, która równieŜ ma postać 1 / ch2.
7.5.d Ogólny schemat OPR*.
Jak juŜ mówiliśmy na początku tego podrozdziału, OPR dla omówionych wcześniej równań róŜni się od OPR dla równania KdV. Odpowiednie schematy były opracowane przez Zacharowa i Szabata [21] oraz przez Ablowitz’a i współpracowników [19]. W danym przypadku odpowiednie zagadnienie na wartości własne przedstawia
dwuparametryczny układ równań :
Określenie dokładnej postaci funkcji A, B i C dla konkretnych równań, wprowadzonych w tym rozdziale nie jest, ogólnie mówiąc jedyna trudnością. Opuszczamy jednak te problemy, odsyłając do [1].
W przypadku równania sin-Gordona, kładąc q = - r = -ux / 2 , dochodzimy do zagadnienia rozpraszania :
[ v1 ] = [ - iζ -½ux ] [ v1 ] (7.5.29)
[ v2 ] [ ½ux iζ ] [ v2 ]
i
[ v1 ] = [ i cos(u)/4ζ i sin(u) / 4ζ ] [ v1 ] (7.5.30)
[ v2 ]t [ i sin(u)/4ζ - i cos(u) / 4ζ ] [ v2 ]
Łatwo jest sprawdzić, Ŝe równania te przedstawiają sobą parę Laxa dla równania sin-Gordona, poniewaŜ „warunek całkowalności” :
[ v2 ] = [ v1 ] (7.5.31)
[ v2 ]xt [ v2 ]tx
będzie spełniony tylko przy warunku , Ŝe 1) ζ t = 0 ( tj. deformacja jest izospektralna ) 2) uxt = sin(u) W przypadku nieliniowego równania Schrödingera zagadnienie rozpraszania przedstawia sobą parę równań :
[ v1 ] = [ 2iζ u ] [ v1 ] (7.5.32)
Okazuje się, Ŝe równanie ze znakiem minus po prawej stronie nie moŜe prowadzić do rozwiązań solitonowych, odpowiedni jest tylko znak plus.
W tym przypadku rozwiązania solitonowe występują przy dowolnym wyborze znaku. Dla takiego układu znaleziono równanie typu Gelfanda-Lewitana-Marczenki, jednak jego rozwiązanie okazało się nadzwyczaj nietrywialne.
Do tego podstawowe zagadnienie na wartości własne (7.5.27) moŜe mieć ( w odróŜnieniu od równania Schrödingera (7.4.2) ) rozwiązania, odpowiadające parą sprzęŜonych zespolenie wartości własnych. Takie rozwiązania solitonowe maja charakter oscylacyjny i otrzymały nazwę „brizerów” lub ”bionów”.