Kryteria pojawiania się globalnego chaosu

Do tej pory przy omawianiu chaosu interesowaliśmy się jego lokalnymi własnościami, kierując uwagę na zachowanie chaotyczne oddzielnych trajektorii, jak równieŜ na sposobach ich identyfikacji oraz ilościowego opisu ich zachowania.

Nie mniej waŜne jest znalezienie sposobów pozwalających ocenić kiedy – w zaleŜności od energii lub jakiegoś innego nieliniowego parametru – cała grupa trajektorii będzie przejawiać zachowania chaotyczne. Taka sytuację będziemy nazywali „globalnym” chaosem (* autor wykorzystuje termin „widespread chaos” – przypis redaktora *)

NaleŜy jednak od razu powiedzieć, Ŝe we wszystkich opisanych metodach pojęcie „globalny” jest w pewnym stopniu subiektywne i nie zawsze moŜemy przypisać mu ścisłą liczbową miarę. W związku z tym ocena chwili pojawienia się globalnego chaosu jest niezwykle waŜna. Przykładowo przy opisie reakcji rozkładu, monomolekularnych ocena taka moŜe być wykorzystana dla sprawdzenia słuszności teorii statystycznej w porównaniu z teorią dynamiczną. W innych sytuacjach ocena w jakiej chwili pojawia się globalny chaos moŜe słuŜyć jako wskaźnik, kiedy naleŜy przejść do opisu w ujęciu procedur dyfuzyjnych. W tym podrozdziale krótko opiszemy dwie takie metody. Pierwsza z nich to metoda

„przejścia rezonansowego” (?) Chirikova [22] – pozwala ona dać grubą analityczną ocenę chwili pojawienia się globalnego chaosu. Metoda druga opracowana przez Greene‘go [24] pozwala przepowiedzieć rozruszanie oddzielnych torusów. Dokładniejsze omówienie tych oraz innych metod moŜna znaleźć np. w [6, 26]

4.6.a Metoda przejścia rezonansowego (pokrywania rezonansowego).

Aby zrozumieć metodę Chirikova, w pierwszej kolejności musimy wyjaśnić co rozumiemy pod pojęciem „rezonansu”.

Rozpatrzmy pewien całkowalny hamiltonian H0 o n-stopniach swobody, zaburzany przez inny hamiltonian H1 :

H( I, θθθθ) = H0 (I) + εH1 ( I, θθθθ) (4.6.1)

gdzie : I, θθθθ - n-składnikowe wektory zmiennych kąt-działanie.

Przedstawmy H1 w postaci szeregu Fouriera względem zmiennej kątowej :

H( I, θθθθ) = H0 (I) + ε

ΣΣΣΣ

_{Hm (I ) e}^imθθθθ (4.6.2)

m

gdzie : Hm (I ) – współczynniki Fouriera oraz m = ( m1 , ... , mn ).

Równania dla zmiennych nie zaburzonych mają oczywiście postać :

Ij = Ij (0) (4.6.3) θj = ωj( I) t + θj (0) (4.6.3) gdzie : ωj = ∂H0 /∂Ij , Ij (0) i θj (0) - wartości początkowe.

Rozpatrzymy teraz sytuację kiedy H0 jest zaburzone tylko w jednym członie sumy Fouriera :

H( I, θθθθ) = H0 (I) + ε Hm (I ) eimθθθθ (4.6.4) W tym przypadku zmienne zaburzone spełniają równania ruchu postaci :

I•j = - iε mj Hm (I ) eimθθθθ (4.6.5a) θ•j = ωj (I ) + ε H’jm (I ) eimθθθθ (4.6.5b) gdzie : ’j oznacza róŜniczkowanie po Ij .

JeŜeli ograniczymy się do pierwszego rzędu wielkości po ε, równania (4.6.5) mogą być scałkowane przez podstawienie niezaburzonego rozwiązania (4.6.3), w tym przypadku (4.6.5a) daje :

Ij ≅ Ij (0) – [ ( εmj Hm( I(0) ) ei(mθθθθ)t + iδ ) / mθθθθ ] (4.6.6) gdzie : δ – współczynnik fazowy.

Jest zrozumiałe, Ŝe takie przybliŜenie jest naruszone przy m θθθθ (I ) ≤ ε. To jest właśnie rezonans i czytelnik zapewne widzi, Ŝe w istocie pokrywa się on z efektem wywołanym przez „mały mianownik”, omawianym z rozdziale 3.

Właściwie z rezonansem spotkaliśmy się juŜ w rozdziale 1 w przypadku pobudzanego oscylatora liniowego (1.6.4), mianownik rozwiązania którego był proporcjonalny do : ω2 - Ω2 (1.6.5), gdzie : ω – częstość własna, Ω - częstość siły wymuszającej. W przypadku jednego członu zaburzonego ( równanie (4.6.4) ) rezonans taki nie stanowi problemu i moŜe być wyeliminowany za pomocą odpowiedniego przekształcenia kanonicznego, w sposób opisany poniŜej.

W rzeczywistości układ (4.6.4) pozostaje całkowicie całkowalnym, poniewaŜ moŜemy zbudować nową całkę ruchu o postaci :

F = m^ I (4.6.7) gdzie : m^ - jest wektorem ortogonalnym do wektora m ( tj. m m^ = 0). Łatwo to sprawdzić obliczając nawias Poissona dla F i H :

n n

[ F, H ] =

ΣΣΣΣ

^{[ (∂H/∂}_{Ij )(}^∂F/∂θ_{j ) - (}^∂H/∂θ_{j )(}^∂F/∂Ij ) ] = - iε

ΣΣΣΣ

m^j mj Hm eimθθθθ = 0 (4.6.8) j=1 j=1

Zatem, izolowane rezonanse mimo iŜ mogą powodować znaczne zaburzenie torusów, połoŜonych w ich okolicach, nie wprowadzają do układu Ŝadnego chaosu. Jednak jednoczesna obecność dwóch lub więcej rezonansów powoduje , Ŝe układ staje się niecałkowalny. Oprócz tego, jeŜeli rezonanse rozłoŜone są dostatecznie blisko jeden od drugiego, moŜe pojawić się globalny chaos.

Metodę rezonansów pięknie zilustrowali Walker i Ford [27]. Wybrali oni całkowalny hamiltonian : H0 ( I1, I2 ) = I1 + I2 – I2

Wpływ kaŜdego z tych rezonansów oddzielnie jak równieŜ razem przedstawiono na rysunku 4.26.

Przy niskich wartościach energii dwa obszary rezonansowe są lekko rozdzielone. Wraz ze wzrostem energii układu, obszary te pokrywają się i powstają „makroskopowe obszary niestabilności”. Pot tym pojęciem Walker i Ford rozumią łatwo rozpoznawalne na przekroju Poincarego rozproszone punkty. Rozmiar takiego obszaru rośnie ze wzrostem energii.

Struktura komplikuje się bardziej kiedy pojawiają się „wtórne” obszary rezonansowe w miarę zbliŜania się dwóch obszarów podstawowych. Autorzy za pomocą obliczeń numerycznych spróbowali wskazać wartość energii, przy której następuje pierwsze przejście rezonansowe tj. próbowali wskazać ( skutecznie) kiedy pojawia się globalny ruch

chaotyczny.

Przykład ten pozwala stwierdzić, Ŝe przejście rezonansowe odgrywa kluczową rolę w pojawianiu się globalnego chaosu.

Wraz z początkiem pokrywania się podstawowych obszarów rezonansowych do procesu włączają się równieŜ rezonanse wyŜszego rzędu, co pozwala wiarygodnie przekonać się , Ŝe w dostatecznie duŜych obszarach przestrzeni fazowej , torusy ( w większości ) zostają rozruszane i , Ŝe pojawiający się chaos jest w istocie „globalny”, co wynika z tego, Ŝe trajektorie mają moŜliwość przemieszczania się w obszary , które wcześniej były rozdzielone nierezonansowymi torusami.

Rys. 4.26 Przekroje Poincarego rezonansowego hamiltonianu (4.6.10) : a) w obecności tylko rezonansu 2 : 2 ( β = 0) b) w obecności rezonansu 2 : 3 ( α = 0 ) c) w obecności obu rezonansów ( α = β = 0.02 ) dla E = 0.18 obszary rezonansowe są znacznie rozdzielone d) dwa obszary rezonansowe pokrywają się dla E = 0.2905, rozproszone przypadkowo punkty obrazują trajektorię rozpoczynające się w obszarze pokrywania rezonansów [27]

Metoda pozwalająca w przybliŜeniu przewidywać początek pokrywania się rezonansów została przedstawiona przez Chirikova [22]. Najlepsze wyniki tej metody otrzymujemy w przypadku pobudzanych jednowymiarowych oscylatorów.

Model takiego oscylatora okazuje się nadzwyczaj uŜyteczny przy opracowywaniu akceleratorów, jak równieŜ przy badaniu związków molekularnych oraz atomów w polach sił o róŜnej naturze.

Rozpatrzmy jednowymiarowy nieliniowy oscylator ( przykładowo : H0= ½ ( p2 + ½ q4 ) ), pobudzany zewnętrzną siłą okresową ( przykładowo : V = q cos(Φ) ), Φ = Ωt + Φ0 – faza siły. PoniewaŜ układ jest jednowymiarowy moŜna go rozwiązać korzystając ze zmiennych kat-działanie ( I, θ) ; moŜemy równieŜ pole zewnętrzne ( w rozsądnych granicach) przedstawić w postaci szeregu Fouriera względem zmiennych ( I, θ) :

H = H0 (I) + ε

ΣΣΣΣ

Vmn (I ) exp [ i ( mθ + nΦ ] (4.6.11) m,n

Wiemy, Ŝe w przypadku układu liniowego równość częstości Ω z częstością własna oscylatora ω, prowadzi do tego , Ŝe ruch będzie miał charakter „niestabilny”. W układzie nieliniowym w obszarze Ω = ω równieŜ otrzymamy rezonans.

Jednak, jak to było pokazane w rozdziale 1, wraz ze wzrostem amplitudy zmienia się, zaleŜna od energii częstość, w wyniku czego układ wychodzi z rezonansu. W rozpatrywanym przypadku częstość oscylatora określona jest zwykłym równanie postaci : ω(I) = ∂H0/∂I i rezonans istnieje przy takich wartościach I = Ir , dla których :

ω(Ir ) / Ω = k/ s (4.6.12) W tym przypadku odpowiadająca mu faza ( oraz jej harmoniki ) sθ = kΦ zmienia się wolno w porównaniu z innymi członami szeregu (4.6.11). PoniewaŜ H0 jest nieliniowe, powinny istnieć inne rezonanse przy innych wartościach Ir , i ogólnie mówiąc zbiór rezonansów powinien być gęsty.

Dla uproszczenia rozpoczniemy od rozpatrzenia izolowanego rezonansu (4.6.12) i przeanalizujemy zachowanie hamiltonianu w obszarze tego rezonansu. W tym celu spróbujemy sprowadzić (4.6.11) do prostszej postaci, z której moŜna było by ocenić „szerokość rezonansu”.

Przywołując badane w rozdziale 2 przekształcenia kanoniczne, wprowadzimy funkcję tworzącą :

F = F(J, θ, Φ ) = ( sθ - kΦ) J + θIr (4.6.13) gdzie : J – nowy pęd, a człon θIr zapewnia , jak zobaczymy dalej, odpowiednie przesunięcie początku odliczania nowej zmiennej działania J.

Ta funkcja tworząca prowadzi nas do zaleŜności :

I = ∂F/∂θ = sJ + Ir (4.6.14) Ψ = ∂F/∂J = sθ - kΦ (4.6.15) gdzie : Ψ - nowa „rezonansowa” faza, stowarzyszona z nowym pędem J.

Przyda się nam równieŜ pochodna F po czasie :

∂F/∂t = - kΩJ (4.6.16) Kanoniczne przekształcenie hamiltonianu do nowych zmiennych daje :

H = H0 (I) + ε

ΣΣΣΣ

Vmn (I ) exp { (i/s) [ mΨ + ( km + ns)Φ ] } - kΩJ (4.6.17) m,n

Przekształcony hamiltonian ma praktycznie taka sama postać jak hamiltonian wejściowy (4.6.11). Jednak w wyniku przekształcenia obserwujemy jak gdyby obracający się układ, w którym prędkość zmiany nowej fazy określa powolne odchylenia od rezonansu. ChociaŜ nierówność Ψ• << Φ• nie obowiązkowo jest słuszna, załoŜymy, Ŝe jest ona spełniona w otoczeniu rezonansu i odpowiednio , jednemu pełnemu cyklowi po Ψ odpowiada wiele cykli po Φ.

Średnio wkład tych szybko oscylujących członów jest równy zeru, co prowadzi nas do następnego kroku tego rozumowania, polega on na uśrednieniu hamiltonianu względem szybkich zmiennych fazowych :

2π

( przeszliśmy tutaj do liczb rzeczywistych, zakładając V-s,k = Vs, -k oraz V00 = 0, włączyliśmy równieŜ składnik 2 do współczynników Fouriera Vps,- pk ).

Do tej pory rozpatrywaliśmy wszystkie harmoniczne, jednak od tego momentu załoŜymy, Ŝe :

Vps,- pk << Vs,- k przy p = 2, 3 ... (4.6.20) Przy takich załoŜeniach (4.6.19) sprowadza się do :

H- = H0 (J) + ε Vs,- k cos(Ψ) - kΩJ (4.6.21) Kolejny krok będzie polegał na tym Ŝe w obszarze rezonansu (4.6.12) Ψ << φ , rozłoŜymy (4.6.21) w otoczeniu I = Ir w szereg, ograniczając się do członów drugiego rzędu ( przy tym zakładamy, Ŝe współczynniki Vs,- k (J) są wolno zmienna funkcją I ). Zatem, otrzymujemy :

H- = H0 (Ir ) + sJ(∂H0/∂I)Ir =I + (s2J2 /2) (∂2H0/∂I2 )Ir =I + εVs,- k (Ir ) cos(Ψ) - kΩJ (4.6.22) PoniewaŜ (∂H0/∂I)Ir =I = ω (Ir ), warunek rezonansu (4.6.12) prowadzi do znacznego uproszczenia w wyniku znikania członów liniowych względem J. Opuszczając stały człon H0 (Ir ) pozostanie hamiltonian „rezonansowy” :

Hr = (J2/ 2M) εVs,- k cos(Ψ) (4.6.23) gdzie “masa” M określona jest zaleŜnością :

M-1 = s2 (∂2H0/∂I2 )Ir =I (4.6.24)

Hamiltonian „rezonansowy” (4.6.23) względem formy jest zgodny z hamiltonianem wahadła, separatysa którego ( zobacz rys. 4.27 ) określona jest równaniem :

Wielkość (∆ Ir ) przedstawia sobą „półobszar” rezonansowy, który moŜe być równieŜ wyraŜony przez częstość :

(∆ ωr ) = (∂ω/∂I)(∆ Ir ) = ( 1/ s2M) 2s sqrt( εMVs,- k ) = ½ sqrt( εVs,- k / M ) (4.6.28) ZauwaŜmy, Ŝe poniewaŜ M-1 = s2 (∂ω/∂I ), zaleŜność „półobszaru” rezonansowego od wartości samego rezonansu zawiera się tylko we współczynnikach Fouriera : Vs,- k . Z (4.6.27) i (4.6.28) widać, Ŝe pobudzenie rezonansowe ma rząd O(ε1/2 ).

Rys. 4.27 Płaszczyzna fazowa hamiltonianu wahadła (4.6.23), pokazano separatysę Jx .

WaŜne jest podkreślić, Ŝe wyprowadzenie hamiltonianu (4.6.23) związany jest z pewnymi uproszczeniami.

Człony nierezonansowe w H opuszczono kierując się tym ,Ŝe one szybko oscylują co powoduje, Ŝe przy uśrednieniu ich po całym cyklu ich wkład jest równy zero. ZałoŜenie Vs,- k << Vps,- pk pozwala odrzucić harmoniczne, oprócz tego opuściliśmy człony wyŜszych rzędów w rozkładzie Ir . Chirikov [22] załoŜył połączył te załoŜenia tworząc „warunek umiarkowanej nieliniowości” :

ε << α << 1/ε (4.6.29) gdzie : α = (I/ω)(∂ω/∂I).

Dalsze, szczegółowe omówienie tego problemu moŜna znaleźć w [22].

Hamiltonian (4.6.23) cały czas pozostaje jeszcze całkowalnym, poniewaŜ składa się on z jedynego izolowanego rezonansu. „Kryterium pokrywania rezonansów” Chirikova otrzymujemy w wyniku oceny szerokości drugiego ( podstawowego) rezonansu a zatem w wyniku uzyskania takiej wartości stałej ε, przy której oba rezonanse stykają się jeden z drugim tzn. szukamy takiego ε , Ŝe :

(∆ ωr )1 + (∆ ωr )2 = ∆Ω (4.6.30)

gdzie : (∆ ωr )1 i (∆ ωr )2 – szerokości dwóch rezonansów a ∆Ω - to odległość między tymi rezonansami.

Szerokość kaŜdego obszaru rezonansowego obliczamy niezaleŜnie, jeden od drugiego.

Jest chyba jasne, Ŝe wszystko co powiedziano jest przybliŜeniem i pozostaje mieć nadzieję, Ŝe „warunek umiarkowanej nieliniowości” (4.6.29) zapewnia to, Ŝe nie popełniamy duŜego błędu.

Chirikov [22] sprawdził swoją metodę dla szeregu prostych układów. Podstawowy interes przedstawia układ o hamiltonianie :

∞

H( I, θ, t) = ½ I2 + K

ΣΣΣΣ

^cos( θ - nt) (4.6.31) n=-∞

Z fizycznego punktu widzenia przedstawia on rotator ( o jednostkowej masie ) na który działa nieskończony szereg rezonansów lub, jeśli przedstawić (4.6.31) w równowaŜnej postaci :

∞

H( I, θ, t) = ½ I2 + 2π K cos( θ )

ΣΣΣΣ

δ(2πm – t) (4.6.32) n =-∞

wahadło pobudzane serią „szturchnieć” działających w chwilach t = 2πm.

Czytelnik moŜe upewnić się, Ŝe całkowanie równań Hamiltona daje w przypadku jednego okresu dokładnie odwzorowanie standardowe” (4.2.26), gdzie p ≡ I , q ≡ θ, k = K/(2π)2. KaŜdy człon w szeregu rezonansowym bezpośrednio daje hamiltoniany rezonansowe ( zobacz (4.6.23) ) :

H- (n) = ½ I2 + K cos ( Ψn ) (4.6.33)

gdzie : Ψn – wolno zmieniająca się faza ( θ - nt).

Pół obszar rezonansowy moŜna otrzymać, wychodząc bezpośrednio z (4.6.28) :

(∆ ωr )n = 2sqrt( K) (4.6.34)

Rezonanse pojawiają się przy kaŜdej całkowitej wartości ω = I = Ir = n ( schematycznie pokazuje to rysunek 4.28 )

Rys. 4.28 Rezonanse na płaszczyźnie fazowej hamiltonianu (4.6.32) wahadła pobudzanego szturchnięciami.

Odległość między rezonansami równa jest jeden ( ∆Ω = I(n+1)r - I(n)

r = ( n +1) – n = 1 ), rezonanse te zaczynają się stykać przy :

(∆ ωr )n = ½ ∆Ω = ½ (4.6.35)

To pozwala przewidzieć wartość krytyczną parametru perturbacji K, przy której rozpoczyna się pokrywanie rezonansów, po uwzględnieniu :

(∆ ωr )n = 2sqrt(K) = ½ (4.6.36)

otrzymujemy :

Kkryt = 1/16 (4.6.37)

Analiza numeryczna, tego układu pokazuje, Ŝe globalny chaos wynika przy K ≅ 1/40 ; kryterium pokrywania rezonansowego daje zatem błąd prawie 2,5 krotny. Dalsze uściślenie np. uwzględnienie wyŜszych harmonik faz rezonansowych pozwala ulepszyć ocenę : K ≅ 1/30.

Metoda Chirikova stymulowała badaczy w wyniku czego pojawiły się jej udoskonalone wersje ( uwzględniające np.

wpływ „drugich” rezonansów ), pozwoliło to znacznie uściślić ocenę pojawienia się globalnego chaosu. Metoda ta stosowana jest równieŜ dla układów autonomicznych o większej liczbie stopni swobody ( „najściślejsze” wyniki metoda ta uzyskuje dla układu o jednym stopniu swobody w polu sił zewnętrznych ). Podstawowe idee w przypadku analizy układów o większej liczbie stopni swobody, zostają zachowane jednak analiza jest znacznie bardziej złoŜona.

Po dalsze informacje dotyczące tego tematu odsyłam czytelnika do innych publikacji.

4.6.b Metoda Green’ea.

Przejdziemy teraz do omówienia ( raczej krótkiego ) waŜnej metody , rozwiniętej przez Greene’a [24], metoda ta pozwala przewidzieć pojawienie się ruchu chaotycznego, opierając się na analizie stabilności zamkniętych trajektorii. U podstaw tej metody leŜy hipoteza o tym, Ŝe „rozmywanie” krzywej inwariantnej ( torusa) moŜe być związane z utratą stabilności sąsiednich zamkniętych trajektorii.

Aby przeanalizować ten temat dokładniej, rozpatrzmy słabo perturbowany układ całkowalny. Zgodnie z twierdzeniem KAM zostają zachowane inwariantne krzywe o „dostatecznie” niewymierną liczbą obrotów. Sąsiednie krzywe o liczbie wymiernej ( i bliskie liczbie wymiernej ) zostają rozruszane, w taki sposób jaki omówiliśmy to wcześniej ( twierdzenie Poincarego-Birkhoffa o punkcie stałym ), w jednakowej liczbie punktów stałych eliptycznych ( stabilnych) i

hiperbolicznych ( niestabilnych).

Metoda Greene’a oparta jest na obserwacji, Ŝe kiedy zaburzenie jest dostatecznie silne ( lub energia stanie się dostatecznie wielka ), punkty stałe stabilne zmieniają się w punkty stałe niestabilne ( hiperboliczne – z –odbiciem ).

Takie przejście sygnalizuje „rozmywanie” krzywych inwariantnych, połoŜonych „blisko” zbioru punktów stałych, tracących stabilność. Powróćmy teraz do twierdzenia KAM, zadowalający sposób oceny bliskości połoŜenia zamkniętej

trajektorii w stosunku do danej krzywej inwariantnej , polega na tym , aby wyrazić liczbę obrotów tej krzywej w postaci ułamka łańcuchowego :

Gdzie : a0 , a1, a2, ... – liczby całkowite dodatnie

Kolejne uśrednienia takiego ułamka, przedstawiającego niewymierna liczbę obrotu, dają liczby obrotów zamkniętych trajektorii, bardzo „bliskich” do wybranej krzywej inwariantnej. Analizując stabilność takiego szeregu zamkniętych trajektorii w miarę jak „przybliŜają” się one do krzywej inwariantnej, Greene [24] był w stanie przewidzieć rozruszanie tej krzywej.

Omawiana metoda składa się z dwóch podstawowych etapów : 1) wydzielenia zamkniętej trajektorii

2) określania jej stabilności.

Dokładne omówienie punktu pierwszego wyprowadziłoby nas poza ramy niniejszej ksiąŜki. Wystarczy powiedzieć, Ŝe istnieje cały szereg dobrze opracowanych i efektywnych metod wydzielania zamkniętych trajektorii o dowolnej, wymaganej topologii ( liczbie obrotów ). Przypominam w szczególności metodę opisana przez Greene’a [24] oraz metodę przedstawioną przez Hellemana i Bountis’a [25]. Analizę stabilności przeprowadzimy na przykładzie, dokładnie opracowanego przez Greene’a, będzie to przykład „odwzorowania standardowego” ( na torusie jednostkowym ) : In+1 = In + ½ (k/π) sin ( 2π θn ) , mod I = 1 (4.6.39a) θn+1 = θn + In+1 , mod θ = 1 (4.6.39b) Parametr k moŜna rozpatrywać jako parametr perturbacyjny, przy k = 0 odwzorowanie będzie trywialne :

In+1 = In (4.6.40a) θn+1 = θn + In+1 (4.6.40b) Przy tym, jest ono „całkowalne”, co wynika z tego, Ŝe wszystkie trajektorie leŜą na prostej. Są one równieŜ krzywymi inwariantnymi odwzorowania nie zaburzonego. Patrząc na rys. 4.11, na którym przedstawiono odwzorowanie

standardowe obliczone dla k = 0.97, widać pewną ilość silnie nieregularnych trajektorii zapełniających znaczne obszary płaszczyzny fazowej, jak równieŜ typowa strukturę złoŜoną ze zmieniających się kolejno z punktów stałych,

hiperbolicznych i eliptycznych. ZauwaŜmy, Ŝe istnieją równieŜ krzywe inwariantne, rozdzielające przestrzeń fazową i tym samym niepozwalające trajektorią przemieszczać się po całej przestrzeni fazowej. Do chwili aŜ krzywe te nie zostaną rozruszane „chaos” nie będzie chaosem istotnie globalnym.

W celu określenia stabilności danej, zamkniętej trajektorii konieczne jest zbudowanie odwzorowania stycznego. To odpowiada linearyzacji odwzorowania kaŜdej iteracji. Definiując zmienne „przestrzeni stycznej” (δI, δθ) otrzymujemy odwzorowanie styczne : Dal trajektorii, zamykającej się po Q iteracjach tego odwzorowani, wartości własne λ± macierzy 2 × 2 :

Q

M (Q) =

Π Π Π Π

[ 1 -kcos( 2π θn ) ] (4.6.43) n=1 [ 1 1-kcos( 2π θn ) ]

zadają indeksy stabilności. Oznaczając elementy macierzy M (Q) przez M (Q)ij , otrzymamy je w jawnej postaci : λ± = ½ ( M (Q)11 + M (Q)

Wcześniej równieŜ pokazaliśmy, Ŝe w przypadku wartości własnych zespolonych trajektorie są stabilne, podczas gdy w przypadku wartości rzeczywistych są niestabilne. Greene [24] wprowadził wielkość, nazwaną „residuuą” , która określona jest w następujący sposób :

R = ¼ [ 2 – Tr ( M (Q) ) ] (4.6.46)

Gdzie : Tr – ślad macierzy.

Z (4.6.44) wynika, Ŝe przy 0 < R < 1 wartości własne są urojone a zatem trajektoria jest stabilna tj. punkty stałe są eliptyczne. Przy R < 0 lub R > 1 wartości własne są rzeczywiste i odpowiednio trajektoria jest niestabilna. Przy tym przypadkowi R < 0 odpowiadają punkty stałe hiperboliczne, a przypadkowi R > 1 – punkty stałe „hiperboliczne-z- odbiciem”. ( dla punktów stałych parabolicznych R = 0 ). MoŜna pokazać, Ŝe dla trajektorii „długości” Q residuuum jest proporcjonalne do kQ zarówno dla małych jak i duŜych k.

( przypomnijmy, Ŝe dla rozpatrywanego układu k – jest parametrem perturbacji )

Taka wykładnicza zaleŜność od Q moŜe być zmieniona przez wprowadzenie wielkości zwanej „średnim residduum” :

f = ( R/β)I/Q (4.6.47)

gdzie : β – pewna dowolna stała, zadawana praktycznie dowolnie.

Teraz moŜemy scharakteryzować stabilności kolejnych zamkniętych trajektorii, zbieŜnych do wybranej krzywej inwariantnej. KaŜda kolejna zamknięta trajektoria ( określona za pomocą uśrednionego ułamka okresowego, który słuŜy jako przedstawienie liczby obrotów wybranej krzywej ) charakteryzuje się większą wartością Q, co odpowiada

wzrostowi złoŜoności topologicznej tej trajektorii. Interesujące, Ŝe przy tym kolejne średnie residuua są zbieŜne do pewnej wielkości skończonej. Szybkość tej zbieŜności określić moŜemy wartością β, dla rozpatrywanego zagadnienia znaleziono optymalną wartość β =1/4. Dokładniejsze omówienie tego problemu, czytelnik moŜe znaleźć w oryginalnej pracy Greene’a [24].

Pokazano (empirycznie), Ŝe jeŜeli kolejne średnie residuua są zbieŜne do wielkości przewyŜszającej jedność ( przy załoŜeniu β = 1), to krzywa inwariantna, związana z danym zbiorem zamkniętych trajektorii zostaje rozruszana.

To kryterium pozwala znajdować dla dowolnej krzywej inwariantnej wartość parametru perturbacyjnego k, przy którym zostaje ona rozruszana. W przypadku rozpatrywanego układu metoda ta daje dosyć dobre wyniki.

Jako uzupełnienie tej metody Greene [24] przedstawił pewne niestandardowe uogólnienie swojej metody przydatne dla wskazania pojawienia się globalnego chaosu. Oparte jest ono na załoŜeniu, Ŝe im lepiej krzywa niewymierna moŜe być przybliŜona przez szereg liczb wymiernych tym mniejsze zaburzenie k, wymagane jest dla jej rozruszania. Naturalnie jest załoŜyć, Ŝe w ostatniej kolejności będzie rozruszana krzywa, której liczbę obrotów trudniej przedstawić za pomocą szeregu liczb wymiernych. Przedstawienie w postaci ułamka łańcuchowego dla liczby obrotów takiej krzywej

inwariantnej ma postać :

i przedstawia sobą „złoty podział”. Zatem, kiedy k jest dostatecznie wielkie do tego aby rozruszać krzywą inwariantną moŜna, z dostatecznym stopniem pewności uwaŜać, Ŝe wszystkie pozostałe krzywe w tym czasie zostały równieŜ rozruszane. Po rozruszaniu takich krzywych nic ich nie powstrzymuje trajektorię, które staja się nieregularne aby przemieszczać się po całej płaszczyźnie fazowej – zatem , pojawia się globalny chaos.

W dokumencie Chaos i całkowalność w dynamice nieliniowej M. Tabor (Stron 95-102)