Analiza matematyczna 2, WNE, 2018/2019 ćwiczenia 18.

Analiza matematyczna 2, WNE, 2018/2019 ćwiczenia 18.

30 kwietnia 2019

Zadania

1. Podaj przykład funkcji dwóch zmiennych posiadającej dokładnie dwa maksima i żadnych innych ekstre- mów.

2. Udowodnij, że funkcja 2(1 − e^2y+ x²)³− 3(1 − e^2y+ x²)²− 24x²e^2y ma dokładnie jeden punkt krytyczny, w którym jest lokalne maksimum, ale funkcja nie jest ograniczona ani z dołu, ani z góry.

3. Pokaż, że nie istnieje funkcja f (x, y) klasy C²taka, że ^∂f_∂x(x, y) = 6xy²oraz ^∂f_∂x(x, y) = 8x²y.

4. Sprawdź, czy następujące funkcje spełniają równanie Laplace’a

∂f²

∂x² +∂f²

∂y² = 0.

a) f (x, y) =p

x²+ y², b) f (x, y) = ln(p

x²+ y²), c) f (x, y) = e^−xsin y.

5. Znajdź i sklasyfikuj wszystkie punkty krytyczne a) f (x, y) = e^xy− 2xy,

b) f (x, y, z) = x²+ y²+ z²− xy + x + 2z.

Praca domowa

Grupa 8:00

Znajdź i sklasyfikuj wszystkie punkty krytyczne funkcji f (x, y) = (2x²+ y²)e^−x2−y2.

Grupa 9:45

Znajdź i sklasyfikuj wszystkie punkty krytyczne funkcji f (x, y) = (x²+ 2y²)e^−x2−y2.

1