Analiza matematyczna 2, WNE, 2018/2019 ćwiczenia 27.
6 czerwca 2019
1. a) Oblicz całkę
Z cos x 1 + sin2xdx.
b) Oblicz całkę niewłaściwą
Z ∞ 0
xe−xdx.
2. Niech f : R2→ R będzie zadane wzorem
f (x, y) = x3+ y3+ 6xy + 3.
Znajdź wszystkie punkty (x, y) ∈ R2 takie, że ∇f (x, y) = (0, 0) i określ czy są to lokalne maksima, lokalne minima lub punkty siodłowe.
3. Niech F : R3→ R będzie zdefiniowana wzorem
F (x, y, z) = x exp(z) − 2 + cos(yz).
a) Udowodnij, że istnieje otoczenie punktu (x, y) = (1, 1), w którym można zdefiniować funkcję z = z(x, y) klasy C1, taką, że z(1, 1) = 0 oraz F (x, y, z(x, y)) = 0. Oblicz ∂x∂z(1, 1) oraz ∂z∂y(1, 1).
b) Znajdź równanie przestrzeni stycznej do powierzchni
M = {(x, y, z) ∈ R3: F (x, y, z) = 0}
w punkcie (1, 1, 0).
4. Znajdź maksymalną i minimalną wartość funkcji f (x, y, z) = 2x − 4y + 2x przy ograniczeniach g1(x, y, z) = x2+ y2+ z2− 1 = 0,
g2(x, y, z) = x + y + z = 0.
5. Policzyć podwójne całki:
a)
Z Z
x2+y2¬1
sin(x2+ y2) dx dy,
b)
Z 1 0
Z 1 y
e−x2dx dy.
1
