Analiza matematyczna 2, WNE, 2018/2019 ćwiczenia 22.
16 maja 2019
Zadania
1. Niech f : R → R będzie funkcją klasy C1 oraz dla pewnego 0 < k < 1 oraz każdego x ∈ R, |f0(x)| ¬ k.
Udowodnij, że y = x + f (x) jest dyfeomorfizmem.
2. Niech
E = {(x, y) ∈ R2: x2− 2xy + 2y2= 1}.
Używając mnożników Lagrange’a znajdź punkty E najbliższe i najdalsze od środka układu współrzędnych.
3. Używając mnożników Lagrange’a znajdź wszystkie punkty na elipsie x2+ 2y2 = 1, które są najbliższe i najdalsze względem prostej x + y = 2.
4. Znajdź supremum i infimum f (x, y, z) = x2− yz na sferze x2+ y2+ z2= 1.
5. Znajdź maksymalną wartość funkcji f (x, y, z) = x + y + z na sferze x2+ y2+ z2= a2. 6. Udowodnij nierówność pomiędzy średnimi arytmetyczną i kwadratową, czyli że
x + y + z
3 ¬
rx2+ y2+ z2
3 ,
dla x, y, z 0.
Praca domowa
Grupa 8:00
Znajdź maksymalną i minimalną wartość funkcji f (x, y) = x2− y2 na zbiorze {(x, y) ∈ R2: x2+ y2= 4}.
Grupa 9:45
Znajdź maksymalną i minimalną wartość funkcji f (x, y) = 4x2+ 9y2 na zbiorze {(x, y) ∈ R2: x2+ y2= 1}.
1
