Analiza matematyczna 2, WNE, 2018/2019 ćwiczenia 21.

Analiza matematyczna 2, WNE, 2018/2019 ćwiczenia 21.

14 maja 2019

Zadania

1. Sprawdzić twierdzenie o funkcji uwikłanej na przykładzie układu równań

(x + y1y₂²= 0 x + y₁= 0 , oraz punktów (−1, 1, 1) oraz (0, 0, 1).

2. Rozważ funkcję F : R² → R² zadane wzorem F (x, y) = (e^xcos y, e^xsin y). Sprawdź czy to przekształcenie jest różnowartościowe. Czy dla dowolnych ustalonych (x, y) istnieje δ > 0 ta- ka, że na B((x, y), δ) istnieje przekształcenie G odwrotne do F ? Jeśli tak, oblicz G⁰.

3. Niech F (x, y, z) = x²/4 + y²/9 + z²− 1. Sprawdź, czy istnieją r₁, r₂oraz funkcja h : B((2, 0), r₁) → R takie, że F (x, y, z) = 0 dla (x, y) ∈ B((2, 0), r¹) oraz z ∈ (−r2, r2) wtedy i tylko wtedy, gdy z = h(x, y). Jeśli istnieje, wyznacz h⁰(x, y).

4. Niech F : R³→ R² oraz

F (x, y, z) = (x²+ 2y²+ 3z²− 6, x + y + z) Niech M = {(x, y, z) ∈ R³: F (x, y, z) = (0, 0)}.

Udowodnij, że w każdym punkcie zbioru M ist- nieje takie otoczenie, w którym dwie ze zmien- nych (x, y, z) można wyznaczyć jako funkcję trze- ciej.

5. Rozważmy równanie 3x + e^x= y + e^y.

a) pokaż, że istnieje dokładnie jedna funkcja f (x), że f (0) = 0 oraz y = f (x) jest rozwiąza- niem równania dla x ∈ I, gdzie I jest pewnym przedziałem zawierającym 0.

b) pokaż, że można dobrać I w taki sposób, żeby f było dyfeomorfizmem.

c) oblicz (f⁻¹)⁰ w punkcie y = 0.

6. Pokaż, że równania

F₁(x, y, t) = 3x²y + t²x − ty²− 2 = 0 oraz

F2(x, y, t) = tx²+ xy²− 2t²y = 0 definiują x i y jako funkcje t, takie że x(1) = y(1) = 1, zakładając, że t jest wystarczająco bliskie 1. Oblicz kierunek stycznej do krzywej {(x(t), y(t), t) : t ∈ R} w punkcie t = 1.

Praca domowa

Grupa 8:00

Korzystając z twierdzenia o funkcji odwrotnej sprawdź, czy istnieje funkcja H : R²→ R²taka, że jeśli (x, y, z, t) jest bliskie (1, 0, π/2, 1) to

(sin xy + cos zt = 0 x − y + z − t − π/2 = 0

wtedy i tylko wtedy, gdy H(x, y) = (z, t). Jeśli taka funkcja istnieje, to znajdź H⁰(0, 1).

Grupa 9:45

Korzystając z twierdzenia o funkcji odwrotnej sprawdź, czy istnieje funkcja H : R²→ R²taka, że jeśli (x, y, z, t) jest bliskie (π/2, 1, 1, 0) to

(cos xy + sin zt = 0 x − y + z − t − π/2 = 0

wtedy i tylko wtedy, gdy H(x, y) = (z, t). Jeśli taka funkcja istnieje, to znajdź H⁰(π/2, 1).

1