LIGA MATEMATYCZNA im. Zdzisªawa Matuskiego LISTOPAD 2016 SZKOŠA PONADGIMNAZJALNA

LIGA MATEMATYCZNA im. Zdzisªawa Matuskiego

LISTOPAD 2016

SZKOŠA PONADGIMNAZJALNA

ZADANIE 1.

Wewn¡trz trójk¡ta równobocznego ABC znajduje si¦ punkt O. Prosta przechodz¡ca przez punkt O i ±rodek ci¦»ko±ci G tego trójk¡ta (punkt przeci¦cia si¦ ±rodkowych) przecina jego boki lub ich przedªu»enia odpowiednio w punktach D, E i F . Wyka», »e

|DO|

|DG| + |EO|

|EG| + |F O|

|F G| = 3.

ZADANIE 2.

Rozwi¡» równanie

x(x + 1) + (x + 1)(x + 2) + (x + 2)(x + 3) + . . . + (x + 14)(x + 15) = 2016x + 2017 w zbiorze liczb caªkowitych.

ZADANIE 3.

Czy wierzchoªki o±miok¡ta foremnego mo»na tak ponumerowa¢ liczbami 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, aby dla dowolnych trzech kolejnych wierzchoªków suma ich numerów byªa wi¦ksza od 13?

ZADANIE 4.

W liczbie naturalnej, która byªa co najmniej dwucyfrowa, wykre±lono ostatni¡ cyfr¦. Otrzy- mana liczba jest n razy mniejsza od poprzedniej. Wyznacz najmniejsz¡ i najwi¦ksz¡ mo»liw¡

warto±¢ liczby n.

ZADANIE 5.

Rozwi¡» ukªad równa«



 

 

 



 

 

 



x

+ 2 = 2x + y

y

+ 2 = 2y + z

z

+ 2 = 2z + t

t

+ 2 = 2t + u

u

+ 2 = 2u + x.