LIGA MATEMATYCZNA im. Zdzisªawa Matuskiego STYCZE‹ 2013 SZKOŠA PONADGIMNAZJALNA

LIGA MATEMATYCZNA im. Zdzisªawa Matuskiego

STYCZE‹ 2013

SZKOŠA PONADGIMNAZJALNA

ZADANIE 1.

Dwa okr¦gi s¡ styczne zewn¦trznie. Punkt A le»y na jednym z okr¦gów i nale»y do wspólnej stycznej, natomiast AB jest ±rednic¡ okr¦gu. Z punktu B prowadzimy styczn¡ do drugiego okr¦gu w punkcie M. Wyka», »e AB = BM.

ZADANIE 2.

Na dªugim pasku papieru wypisano kolejno obok siebie 2010 wybranych liczb naturalnych.

Liczby s¡ dobrane w taki sposób, »e iloczyn ka»dych siedmiu s¡siednich jest równy 2010. Jaka jest najmniejsza mo»liwa warto±¢ sumy tych 2010 liczb? Jaka jest najwi¦ksza mo»liwa warto±¢

tej sumy?

ZADANIE 3.

Czy istniej¡ takie liczby caªkowite a, b, »e a

+ b oraz a + b

s¡ kolejnymi liczbami caªkowitymi?

ZADANIE 4.

Danych jest 111 dodatnich liczb caªkowitych. Wyka», »e spo±ród nich mo»na wybra¢ 11 liczb, których suma jest podzielna przez 11.

ZADANIE 5.

Rozwi¡» ukªad równa«



 



 



(x + y)(x + y + z) = 72

(y + z)(x + y + z) = 120

(z + x)(x + y + z) = 96.