LIGA MATEMATYCZNA im. Zdzisªawa Matuskiego FINAŠ 10 kwietnia 2013 SZKOŠA PONADGIMNAZJALNA

LIGA MATEMATYCZNA im. Zdzisªawa Matuskiego

FINAŠ

10 kwietnia 2013

SZKOŠA PONADGIMNAZJALNA

ZADANIE 1.

Iloczyn 22 liczb caªkowitych jest równy 1. Czy suma tych liczb mo»e by¢ równa 0?

ZADANIE 2.

Rozwi¡» ukªad równa«



 



 



ab + a + b = 80 bc + b + c = 80 ca + c + a = 80.

ZADANIE 3.

Liczby rzeczywiste a, b speªniaj¡ równo±¢ 2a

a + b + b

a − b = 2 . Wyznacz wszystkie warto±ci jakie mo»e przyjmowa¢ uªamek 3a − b

a + 5b . ZADANIE 4.

Wyznacz wszystkie takie pary liczb naturalnych x, y, »e wyra»enie (x − y) − ( √ x − √

y) jest liczb¡ pierwsz¡.

ZADANIE 5.

Na pªaszczy¹nie danych jest pi¦¢ punktów kratowych (s¡ to punkty o wspóªrz¦dnych b¦d¡cych liczbami caªkowitymi). Uzasadnij, »e ±rodek jednego z odcinków ª¡cz¡cych te punkty te» jest punktem kratowym.

ZADANIE 6.

Dane s¡ dwa okr¦gi styczne zewn¦trznie w punkcie K. Odlegªo±ci K od punktów styczno±ci okr¦gów ze wspóln¡ styczn¡ s¡ równe 6 i 8. Wyznacz promienie okr¦gów.

ZADANIE 7.

Wyznacz wszystkie funkcje f : R → R speªniaj¡ce warunki

• f (2) = 2

• f (xy) = x

f (y) + yf (x)

dla ka»dych liczb rzeczywistych x, y.