Bardziej wiarygodne wydaje się rozwiązanie paradoksu łysego, jeśli je oprzeć na tak zwanej teorii nadwartościowania (theory of supervaluation) 75

Zwolennicy tego podejścia nie negują intuicyjnie poprawnego założenia, że między niewątpliwymi desygnatami nazwy nieostrej a jej niewątpliwymi niedesygnatami rozciąga się swoista „szara strefa”. Konieczność odrzucenia twierdzenia: Jeśli człowiek mierzący x cm jest wysoki, to również człowiek mierzący x — 1 cm jest wysoki, uzasadniają oni w inny sposób — pokazując, że niektóre ze zdań powstających z tego schematu nie mają wartości logicz-nej, nie są ani prawdziwe, ani fałszywe.

Zgodnie z teorią nadwartościowania, „szara strefa” w odniesieniu do nazw nieostrych istnieje, a znajdujące się w niej obiekty możemy traktować w sposób dowolny — dopuszczalne jest zarówno zaliczenie ich do grona desygnatów danego pojęcia, jak i do jego niedesygnatów. Mówiąc inaczej, gdy chcemy doprecyzować nieostre pojęcie, to, zdaniem zwolenników oma-wianego podejścia, mamy prawo wyznaczać linię graniczną między jego de-sygnatami a niedede-sygnatami w dowolnym miejscu „obszaru nieostrości”⁷⁶. Ktoś, na przykład, próbując za pomocą definicji regulującej wyostrzyć ter-min człowiek wysoki, może zadecydować, że terter-min ten będzie oznaczać człowieka o wzroście przekraczającym 175 cm. Równie dobrze jednak ktoś inny może ustalić, że nazwę tę będzie odnosił do każdego osobnika mierzą-cego powyżej 178 cm, a ktoś jeszcze inny — do człowieka mająmierzą-cego ponad

74 R.M. Sainsbur y: Paradoxes…, s. 32.

75 Ibidem, s. 33—39.

76 J. Odrową ż -Sy pniewska: Zagadnienie nieostrości…, s. 20; por. podrozdział 4.4.2.

179

4.4. Paradoks łysego i jemu podobne

182 cm wzrostu. Każde z tych rozwiązań (podobnie zresztą jak wiele in-nych) jest tu uprawnione w równym stopniu.

Stanowisko takie prowadzi do wniosku, że zdania, które stwierdzają, że jakikolwiek obiekt należący do „szarej strefy” nazwy nieostrej jest desygna-tem tej nazwy lub że nie jest on jej desygnadesygna-tem, nie mają ustalonej warto-ści logicznej. Za prawdziwe w myśl theory of supervaluation uznać możemy bowiem takie i tylko takie zdania, które pozostają prawdziwe przy każdym możliwym „wyostrzeniu” obecnego w nich nieostrego terminu. Wartość lo-giczną fałszu przypisać możemy z kolei takim i tylko takim zdaniom, które pozostają fałszywe przy każdym doprecyzowaniu tego terminu. Pozostałe zdania określić musimy jako ani prawdziwe, ani fałszywe⁷⁷. Tak więc, zgod-nie z omawianą teorią prawdziwe jest na przykład zdazgod-nie Człowiek mierzący 205 cm jest wysoki, natomiast fałszywe — Człowiek mierzący 140 cm jest wy-soki. Zdanie Człowiek mający 178 cm wzrostu jest wysoki nie ma natomiast wartości logicznej, ponieważ stałoby się ono prawdziwe, gdybyśmy linię od-dzielającą osoby wysokie od niewysokich ustanowili w jednym miejscu (na przykład przy wzroście 176 cm), a fałszywe, gdybyśmy wykreślili ją gdzie indziej (na przykład przy 180 cm). Uogólniając: ani prawdziwe, ani fałszy-we w myśl theory of supervaluation będą wszystkie zdania postaci Człowiek mający x cm wzrostu jest wysoki, w których za x podstawimy taką wartość, że termin człowiek mający x cm znajdzie się w obszarze nieostrości nazwy człowiek wysoki.

W konsekwencji tego, co powiedzieliśmy, również nie wszystkie zda-nia oparte na schemacie: Jeśli człowiek mający x cm jest wysoki, to również człowiek mający x — 1 cm jest wysoki, są prawdziwe — niektóre z nich nie mają wartości logicznej. Zgodnie z klasyczną logiką zdanie mające postać implikacji Jeśli p, to q jest fałszywe, gdy jego pierwszy człon p (tak zwany poprzednik implikacji) jest prawdziwy, natomiast drugi człon q (następnik implikacji) — fałszywy. Jeśli ustalimy linię graniczną, oddzielającą ludzi wysokich od niebędących wysokimi, dokładnie w miejscu x, to poprzed-nik naszej implikacji (człowiek mający x cm jest wysoki) będzie prawdziwy, natomiast jej następnik (człowiek mający x — 1 cm jest wysoki) — fałszy-wy. W konsekwencji całe zdanie będzie fałszywe. Przy innym ustanowieniu linii granicznej rozważana implikacja będzie jednak prawdziwa, ponieważ oba jej człony będą jednocześnie prawdziwe lub oba jednocześnie fałszywe.

Zilustrujmy to konkretnym przykładem i rozważmy zdanie Z: Jeśli czło-wiek mający 178 cm jest wysoki, to również człoczło-wiek mający 177 jest wysoki.

Gdybyśmy za pomocą definicji regulującej ustalili, że Przez człowieka wyso-kiego rozumieć będziemy człowieka mierzącego 178 cm lub wyższego,

wów-77 R.M. Sainsbur y: Paradoxes…, s. 35; J. Odrową ż -Sy pniewska: Zagadnienie nieostrości…, s. 21.

czas poprzednik zdania Z (człowiek mający 178 cm jest wysoki) będzie praw-dziwy, a jego następnik (człowiek mający 177 cm jest wysoki) — fałszywy.

W konsekwencji całe Z będzie fałszywe. Gdybyśmy natomiast „wyostrzyli”

nazwę człowiek wysoki w taki sposób, że za wysokich uznalibyśmy wszyst-kich ludzi mierzących powyżej 175 cm, wówczas zarówno poprzednik, jak i następnik Z pozostałyby prawdziwe, co sprawiłoby, że prawdziwe byłoby również samo Z. Ponieważ, jak widzimy, zdanie Z nie ma określonej warto-ści logicznej, nie można go w pełni zaakceptować. Podobnie, na mocy teorii nadwartościowania, należy odrzucić wiele innych implikacji wchodzących w skład podargumentów schematu PW.

3. Trzecia z przedstawionych przez R.M. Sainsbury’ego koncepcji roz-wiązania paradoksu łysego wydaje się najbliższa duchowi logiki nieformal-nej. Zwolennicy tego podejścia — które określić możemy mianem teorii stopniowalności prawdy (degree of truth theory) — nie tylko kwestionują prawdziwość przesłanek obecnych w rozumowaniu, na jakim opiera się roz-ważany przez nas paradoks, lecz także podają w wątpliwość poprawność samego wnioskowania⁷⁸.

Zgodnie z degree of truth theory, prawdziwość zdań może być stopnio-walna. Przykładowo, na pytanie: Czy osoba mierząca 178 cm jest wysoka?, można odpowiedzieć: Jest to do pewnego stopnia prawda, albo: Jest w tym jakaś część prawdy⁷⁹. Wartość logiczna zdania: Osoba mierząca 178 cm jest wysoka, mieściłaby się więc gdzieś pomiędzy 1 (całkowita prawda) a 0 (kom-pletny fałsz). Można z dużym prawdopodobieństwem orzec, że wartość ta powinna być bliższa 1 niż 0 (jest ono bardziej prawdziwe niż fałszywe); jed-nocześnie z całkowitą pewnością można stwierdzić, że wartość ta musi być wyższa od wartości zdania Osoba mierząca 176 cm jest wysoka i niższa od wartości zdania Osoba mierząca 182 cm jest wysoka. Jeślibyśmy, przykła-dowo, pierwszemu z tych trzech zdań przypisali wartość 0,7, to drugiemu moglibyśmy przyznać 0,65, a trzeciemu — 0,8. Ogólnie, za w pełni praw-dziwe (wartość 1) należy uznać w ramach degeree of truth theory wszystkie te zdania oparte na schemacie Osoba mierząca x jest wysoka, w których za x wstawiona jest wartość sprawiająca, że desygnat nazwy osoba mierząca x jest również ponad wszelką wątpliwość desygnatem nazwy osoba wysoka.

Całkowicie fałszywe (wartość 0) z kolei są wszystkie te zdania oparte na analizowanym schemacie, w których x odpowiada takiej wartości, że desy-gnat nazwy osoba mierząca x na pewno nie jest desydesy-gnatem terminu osoba wysoka. Wartości ułamkowe mają natomiast takie zdania o formie Osoba x jest wysoka, w których wartość x opisuje wzrost mieszczący się w „obszarze nieostrości” terminu osoba wysoka.

78 R.M. Sainsbur y: Paradoxes…, s. 40—46.

79 Ibidem, s. 40.

181

4.4. Paradoks łysego i jemu podobne

Zobaczmy teraz, jak zgodnie z omawianą teorią należy oceniać wartość logiczną zdań mających postać implikacji, w sytuacji gdy ich człony nie są ani w pełni prawdziwe, ani w pełni fałszywe. W kontekście tego, co powie-dzieliśmy dotąd, w takiej sytuacji poprzednik implikacji o formie F: Jeśli człowiek mający x cm jest wysoki, to również człowiek mający x — 1 cm jest wysoki, musi się cechować wyższym stopniem prawdziwości niż jej następ-nik. Gdy poruszamy się w obszarze nieostrości, wówczas zdanie Człowiek mający x cm jest wysoki jest na pewno bliższe prawdy niż zdanie Człowiek mający x — 1 cm jest wysoki. Jak pisze R.M. Sainsbury, można dyskutować o szczegółach, jednakże nie ulega wątpliwości, że wartość logiczna zdań o formie F musi być mniejsza od 1⁸⁰. Wniosek taki można wyciągnąć, po-wołując się na analogię do oceny wartości logicznej implikacji w klasycz-nej dwuwartościowej logice. Zgodnie z prawami logiki, implikacja, której poprzednik jest prawdziwy, a następnik fałszywy, jest fałszywa. Podobnie, w degree theory nie może być w pełni prawdziwa implikacja, której poprzed-nik jest „prawdziwszy” od następpoprzed-nika.

Stwierdzenie, że przynajmniej niektóre przesłanki rozumowania, na którym opiera się paradoks łysego, nie mogą być prawdziwe, nie kończy jednak sprawy. Nie wyjaśnia to bowiem jeszcze do końca tego, jak prze-słanki, których stopień prawdziwości jest jednak mimo wszystko dość wy-soki, doprowadzają ostatecznie do całkowicie fałszywej konkluzji. Jedna z dróg do wyjaśnienia tego zjawiska może, zdaniem R.M. Sainsbury’ego, wieść przez stwierdzenie, że przesłanki takiego rozumowania nie stanowią dobrego uzasadnienia konkluzji. Wiąże się to wprawdzie z podważeniem prawomocności niezawodnej z punktu widzenia klasycznej logiki reguły wnioskowania modus ponens, jednak w ramach degree of truth theory jest to jak najbardziej możliwe. Jak bowiem zauważa R.M. Sainsbury, konkluzja argumentu o formie Jeśli p, to q. p. Zatem: q może mieć niekiedy niższy sto-pień prawdziwości niż każda z jego przesłanek⁸¹. Jako przykład rozpatrzmy następujące wnioskowanie:

P1: Jeśli człowiek mierzący 186 cm jest wysoki, to człowiek mierzący 185 cm jest wysoki.

P2: Człowiek mierzący 186 cm jest wysoki.

K: Zatem człowiek mierzący 185 cm jest wysoki.

Załóżmy, że stopień prawdziwości poprzednika P1 (czyli zdania Czło-wiek mierzący 186 cm jest wysoki) szacujemy na 0,96, natomiast następni-ka (Człowiek mierzący 185 cm jest wysoki) — na niewiele mniej, czyli 0,95.

80 Ibidem, s. 41.

81 Ibidem, s. 42.

Prawdziwość całej przesłanki P1 należy na pewno ocenić wysoko, powiedz-my na 0,99. Gdy jednak dodapowiedz-my teraz do niej P2, której przypisaliśpowiedz-my stopień prawdziwości 0,96, wówczas na mocy modus ponens wyciągniemy z nich konkluzję, która ma (również wcześniej przypisaną) wartość logicz-ną 0,95. Jest to więc mniej, niż wynosił stopień prawdziwości którejkolwiek z przesłanek. Jak zauważa R.M. Sainsbury, gdy stosujmy regułę modus po-nens do zdań, którym przypisujemy różne stopnie prawdziwości (a nie tyl-ko 0 i 1, jak w klasycznej logice), może ona powodować „wyciek” prawdy („leakage” of truth). Wyciek ten może być niewielki w razie jednorazowego zastosowania reguły, jeśli jednak używamy jej wielokrotnie, tak jak się to dzieje na przykład w przypadku paradoksu łysego, to może on sprawić, że modus ponens stanie się zawodna⁸².

82 Ibidem.