4. Współczesne modalne dowody ontologiczne
4.4 Gödel
4.4.1 Dowód Gödla i jego modyfikacje
W notatkach z rękopisu Gödla zawarte są następujące rozważania:
„P(φ) φ jest pozytywna (lub φP).
Aksjomat 1. P(φ).P(ψ) P(φ.ψ).[1]
Aksjomat 2. P(φ) P(~ φ).[2]
Definicja 1. G(x) ≡ (φ)[P(φ) φ(x)] (Bóg)
Definicja 2. φ Ess. x ≡ (ψ)[ψ(x) N(y)[φ(y) ψ(y)]]. (Istota x-a)[3]
p N q = N(p q). Konieczność Aksjomat 3. P(φ) NP(φ)
~P(φ) N~P(φ)
ponieważ wynika to z natury własności.
Twierdzenie. G(x) G Ess. x.
Definicja. E(x) ≡ (φ)[φ Ess x N(x) φ(x)]. (konieczne istnienie) Aksjomat 4. P(E).
Twierdzenie. G(x) N(y)G(y), zatem (x)G(x) N(y)G(y);
zatem M(x)G(x) MN(y)G(y). (M = możliwość) M(x)G(x) N(y)G(y)
M(x)G(x) znaczy, że system wszystkich własności pozytywnych jest kompatybilny. Jest to prawdą z powodu:
Aksjomat 5. P(φ).φ N ψ : P(ψ), co implikuje x = x jest pozytywne x x jest negatywne.
Jednakże gdyby system S własności pozytywnych był niekompatybilny, oznaczałoby to, że suma własności s (która jest pozytywna) byłaby x x.
Pozytywna znaczy pozytywna w sensie moralno estetycznym (niezależnie od przypadkowej struktury świata). Tylko wtedy aksjomaty [są] prawdziwe. Może to również znaczyć czystą «atrybucję»[4] jako przeciwieństwo «braku» (lub zawierania braku). Taka interpretacja [umożliwia] prostszy dowód.
Jeśli φ [jest] pozytywna to nie zachodzi: (x)N~ φ(x). W przeciwnym razie: φ(x) N x x; zatem x x [jest] pozytywna, więc x = x [jest] negatywna, wbrew Aksjomatowi 5 lub istnieniu własności pozytywnych.
[1] I dla dowolnej liczby składników.
[2] Rozłączne lub.
[3] Dowolne dwie istoty x-a są z konieczności równoważne.
108
[4] Tzn. alternatywna postać normalna w terminach własności elementarnych zawiera element bez negacji.” (Gödel 1995b, s. 403-404)
Dowód w wersji podanej przez Scotta wygląda następująco (Sobel 1987, s. 257-258):
P(φ) := φ jest własnością pozytywną
φ oznacza własność będącą negacją własności φ, gdzie x [( φ)(x) φ(x)]
Def. 1. G(x) φ [P(φ) φ(x)]
(przedmiot jest Bogiem (God-like being), gdy posiada wszystkie własności pozytywne) Def. 2. φ Ess. x [φ(x) x {ψ(x) □y [φ(y) ψ(y)]}]
(własność jest istotą danego przedmiotu, gdy jest jego własnością i z jej posiadania wynikają wszystkie inne własności tego przedmiotu)
Def. 3. NE(x) φ [φ Ess. x □x φ(x)]
(przedmiot istnieje koniecznie, gdy jego istota jest z konieczności egzemplifikowana) Aks. 1. P( φ) P(φ)
(własność jest pozytywna zawsze i tylko wtedy, gdy jej negacja nie jest własnością pozytywną)
Aks. 2. {P(φ) □x [φ(x) ψ(x)]} P(ψ)
(własności pozytywne pociągają za sobą52 tylko własności pozytywne) Aks. 3. P(G)
(bycie Bogiem jest własnością pozytywną) Aks. 4. P(φ) □P(φ)
(własności pozytywne są pozytywne z konieczności) Aks. 5. P(NE)
(konieczne istnienie jest własnością pozytywną) Twierdzenie 1. P(φ) x φ(x)
Wniosek 1. x G(x)
Twierdzenie 2. G(x) G Ess. x Twierdzenie 3. □x G(x)
Dowody tych twierdzeń można ująć następująco:53
52 Własność φ pociąga za sobą własność ψ, gdy □x [φ(x) ψ(x)].
53 Dowody te stanowią modyfikację dowodów podanych przez Sobela.
109 Twierdzenie 1. P(φ) x φ(x)
Dowód.
1. P(φ) (założenie)
2. x φ(x) (założenie nie wprost) 3. □x φ(x) (prawa de Morgana: (2)) 4. x φ(x) (opuszczanie □: (3))
5. φ(x) (opuszczanie : (4))
6. φ(x) [φ(x) ≢(x)] (prawo rachunku zdań, gdzie ≢(x) df x x) 7. φ(x) ≢(x) (odrywanie: (5), (6))
8. x [φ(x) ≢(x)] (dołączanie : (7)) 9. □x [φ(x) ≢(x)] (dołączanie □: (8)) 10. P(φ) □x [φ(x) ≢(x)] (dołączanie : (1), (9))
11. [P(φ) □x [φ(x) ≢(x)]] P(≢) (podstawienie aksjomatu 2)
12. P(≢) (odrywanie: (10), (11))
13. □x [φ(x) ≡(x)] (tautologia KRP, gdzie ≡(x) df x = x) 14. P(φ) □x [φ(x) ≡(x)] (dołączanie : 1, 15)
15. [P(φ) □x [φ(x) ≡(x)]] P(≡) (podstawienie aksjomatu 2)
16. P(≡) (odrywanie: (14), (15))
17. P( ≡) P(≡) (podstawienie aksjomatu 1) 18. P(≡) P( ≡) (z (17))
19. P( ≡) (z (17), (18))
20. ( ≡) = ≢ (bo □x [( ≡)(x) ≢(x)])
21. P(≢) (z (19) i (20))
Sprzeczność ((12), (21))
Wniosek 1. x G(x) Dowód.
1. P(G) x G(x) (podstawienie twierdzenia 1)
2. P(G) (aksjomat 3)
3. x G(x) (odrywanie: (1), (2))
Twierdzenie 2. G(x) G Ess. x Dowód.
Załóżmy, że G(x). Chcemy wykazać, że G Ess. x, czyli że G(x) ψ {ψ(x) □x [G(x) ψ(x)]}. Ponieważ G(x) jest założone, więc wystarczy wykazać, że ψ {ψ(x) □x [G(x) ψ(x)]}. Niech ψ* będzie dowolną ustaloną własnością. Załóżmy, że
1. ψ*(x)
110
Będziemy chcieli wykazać, że □x [G(x) ψ*(x)]. Zauważmy, że 2. P(ψ*)
(bo gdyby P(ψ*), to z aksjomatu 1 mielibyśmy P( ψ*); skoro G(x), to x ma wszystkie własności pozytywne, a więc ( ψ*)(x), ale stąd wynika, że ψ*(x), co jest sprzeczne z (1)).
Dalsze rozumowanie przebiega następująco:
3. P(ψ*) □P(ψ*) (podstawienie aksjomatu 4)
4. □P(ψ*) (odrywanie: (2), (3))
5. G(x) φ [P(φ) φ(x)]} (definicja 1) 6. G(x) [P(ψ*) ψ*(x)] (z (5))
7. G(x) [P(ψ*) ψ*(x)] (opuszczanie : (6)) 8. P(ψ*) [G(x) ψ*(x)] (komutacja: (7))
9. P(ψ*) x [G(x) ψ*(x)] (dołączanie w następniku: (8)) 10. □{P(ψ*) x [G(x) ψ*(x)]} (dołączanie □: (9))
11. □P(ψ*) □x [G(x) ψ*(x)]} (z (10) na mocy prawa □(α β) (□α □β)) 12. □x [G(x) ψ*(x)] (odrywanie: (4), (11))
Wobec dowolności ψ*, wykazaliśmy, że ψ {ψ(x) □x [G(x) ψ(x)]}, co kończy dowód twierdzenia.
Twierdzenie 3. □x G(x) Dowód.
1. G(x) φ [P(φ) φ(x)] (definicja 1) 2. G(x) [P(NE) NE(x)] (z (1))
3. G(x) [P(NE) NE(x)] (opuszczanie : (2))
4. P(NE) (aksjomat 5)
5. G(x) NE(x) (z (3) i (4) na mocy KRZ)54 6. G(x) G Ess. x (twierdzenie 2)
7. G(x) [NE(x) G Ess. x] (z (5) i (6) na mocy KRZ)55 8. NE(x) φ [φ Ess. x □x φ(x)] (definicja 3)
9. NE(x) [G Ess. x □x G(x)] (z (8))
10. NE(x) [G Ess. x □x G(x)] (opuszczanie : (9)) 11. [NE(x) G Ess. x] □x G(x) (importacja: (10))
12. G(x) □x G(x) (przechodniość : (7), (11)) 13. x [G(x) □x G(x)] (dołączanie : (12))
14. x G(x) □x G(x) (włączanie : (13)) 15. □[x G(x) □x G(x)] (dołączanie □: (14))
54 {[α (β γ)] β} (α γ)
55 [(α β) (α γ)] [α (β γ)]
111
16. x G(x) □x G(x) (z (15) na mocy prawa □(α β) (α β)) 17. □x G(x) □x G(x) (aksjomat modalny S5)
18. x G(x) □x G(x) (przechodniość : (16), (17))
19. x G(x) (wniosek 1)
20. □x G(x) (odrywanie: (18), (19))
Jak widać, aksjomaty w wersji Scotta pokrywają się z aksjomatami podanymi przez Gödla, z dwoma różnicami. Po pierwsze, aksjomat 3 Gödla zostaje osłabiony do aksjomatu 4. Po drugie, aksjomat 1 Gödla zostaje zastąpiony aksjomatem 3. Zastąpienie takie wydaje się jednak być zupełnie zgodne z intencjami Gödla, skoro w przypisie do tego aksjomatu napisał on, że pozostaje on prawdziwy przy dowolnej ilości składników.
Na uwagę zasługuje fakt, że kroki 1-14 w dowodzie twierdzenia 3 stanowią dowód tezy, że jeśli Bóg istnieje, to istnieje koniecznie, która np. u Hartshorne’a (zob. rozdz. 4.2) jest przyjęta jako aksjomat („zasada Anzelma”). Należy jednak zwrócić uwagę, że Hartshorne (podobnie jak Malcolm) nie przyjmuje tej tezy bez powodu, lecz argumentuje na jej rzecz, choć w sposób niesformalizowany. To, że teza ta jest dowodliwa w systemie Gödla nie jest niczym zaskakującym, skoro Gödel explicite zakłada w definicjach i aksjomatach, że konieczne istnienie jest własnością pozytywną i że Bóg posiada wszystkie własności pozytywne, a więc w szczególności konieczne istnienie. Upodabnia to dowód Gödla do dowodu Descartesa. Z drugiej strony, pojęcie „istoty”, jakim posługuje się Gödel, nie odpowiada kartezjańskiej „prawdziwej i niezmiennej naturze”, lecz leibnizjańskiemu zupełnemu pojęciu indywidualnemu (Sobel 1987, s. 259), czyli temu, co zawiera w sobie wszystkie (a nie tylko rodzajowe) cechy danego przedmiotu.
Dowód Gödla, który wraz z publikacją Sobela oficjalnie znalazł się w obiegu naukowym, wzbudził duże zainteresowanie logików i filozofów. Pojawiło się bardzo wiele propozycji modyfikacji tego rozumowania (jego definicji, aksjomatów i założeń logicznych), mających na celu jego uproszczenie i uczynienie bardziej intuicyjnym (np. Anderson 1990, Hájek 2002), jak również usunięcie kolapsu modalnego, tzn. niekoniecznie pożądanej konsekwencji, że wszystkie prawdy są konieczne, którą wykazał Sobel (Sobel 1987, s. 253).
Rozwija się również – często bardzo wyrafinowane – formalne badania nad teoriami, w których dowód Gödla jest formułowany (np. Szatkowski 2005). Można jednak odnieść wrażenie, że o ile ostatecznym celem takich badań jest obrona dowodu Gödla jako argumentu na istnienie teistycznego Boga, o tyle w badaniach tych zaniedbuje się filozoficzną stronę tego dowodu, nie troszcząc się zbytnio o wyjaśnienie podstawowej trudności wiążącej się z filozoficzną interpretacją pojęcia „własności pozytywnej” oraz z zagadnieniem adekwatności i prawomocności interpretowania pojęcia podmiotu wszystkich własności pozytywnych przez pojęcie Boga jako istoty wszechmocnej, wszechwiedzącej, nieskończenie dobrej itd. Na brak religijnej wartości rozumowania Gödla zwracał uwagę już Sobel mówiąc, że G-byt nie może
112
posiadać żadnej cechy tradycyjnie przypisywanej Bogu, ponieważ G-byt posiada wszystkie swoje cechy z konieczności, zaś każda z cech Boga, np. świadomość, wydaje się przygodna, w świetle modalnej intuicji, że istnieją światy możliwe pozbawione wszelkiej świadomości (Sobel 1987, s. 249-250). Podobnie, Petr Hájek przyznaje, że znaczenie proponowanych przez siebie formalnych poprawek dowodu Gödla dla teologii i religii pozostaje „bardzo ograniczone” (Hájek 2002, s. 163). Jednym z argumentów na rzecz tezy, że dowód Gödla (lub jego modyfikacje) nie może być traktowany jako argument na istnienie Boga, jest zastosowanie do tego dowodu argumentu z przeładowania, do czego teraz przejdziemy.
4.4.2 Argument z przeładowania
Niezależnie od tego, czy rozważamy dowód Gödla, czy którąkolwiek z jego modyfikacji, podstawowe znaczenie ma fakt, że mamy do czynienia z dowodem przeprowadzonym w teorii formalnej, zawierającej niezinterpretowany termin „P”, którego znaczenie jest określone wyłącznie przez podane w teorii aksjomaty. Aksjomaty te są sformułowane z myślą o ich zamierzonej interpretacji jako formuł charakteryzujących pojęcie „moralno-estetycznej doskonałości”, jednakże aksjomatom tym można, być może, nadać jakieś zupełnie inne interpretacje. Interpretacje aksjomatów mogą być dowolne, byle tylko były adekwatne.
Według słynnego powiedzenia Davida Hilberta, aksjomaty geometrii mogą równie dobrze dotyczyć stołów i krzeseł, byle tylko aksjomaty te, po podstawieniu w miejsce terminów pierwotnych słów „stół” czy „krzesło”, były zdaniami prawdziwymi. W przypadku dowodu Gödla trudno mówić (z uwagi na kontrowersje filozoficzne) o prawdziwości danej interpretacji aksjomatów, można jednak przynajmniej mówić o interpretacjach, które są równie wiarygodne jak ich zamierzona interpretacja teistyczna.
Interpretacja, o którą chodzi, to taka interpretacja, przy której G-bytem jest Zły Bóg.
Wówczas pojęcie P-własności można zinterpretować następująco: „własność, której posiadanie jest koniecznym elementem i warunkiem maksymalnego, moralnego i estetycznego, zła”. Można by tu użyć terminu „własność negatywna”, to jednak sugerowałoby, że własności pozytywne i negatywne są swoim przeciwieństwem, a tak nie jest: własność koniecznego istnienia, NE, jest w równej mierze „pozytywna”, jak i
„negatywna”: jest ona zarówno warunkiem maksymalnego dobra, jak i maksymalnego zła.
Należałoby więc powiedzieć, że jest ona, ściśle biorąc, neutralna (zob. rozdz. 5.1). Jeśli jednak będziemy rozumieli „negatywność” po prostu jako synonim dla „konieczny element maksymalnie złego bytu”, to można powiedzieć, że konieczne istnienie jest własnością negatywną. Rzecz jasna, nie należy również przyjmować, że interpretowanie P-własności jako własności negatywnych stanowi jawną sprzeczność, ponieważ P-własność to całkowicie obojętny termin pierwotny teorii, zaś „pozytywność” to jedynie jego zamierzona interpretacja, która logicznie jest równie uprawniona jak „negatywność” czy cokolwiek innego.
113
Sprawdźmy więc, czy przy interpretacji „negatywnej” aksjomaty Gödla są akceptowalne. Oceniając te aksjomaty należy oczywiście pamiętać, że „negatywność” jest rozumiana tak, jak to wyżej zaznaczono.
1. Własność jest negatywna zawsze i tylko wtedy, gdy jej negacja nie jest własnością negatywną.
2. Własności negatywne pociągają za sobą tylko własności negatywne.
3. Bycie Złym Bogiem jest własnością negatywną.
4. Własności negatywne są negatywne z konieczności.
5. Konieczne istnienie jest własnością negatywną.
Jestem przekonany, że aksjomaty te w podanym brzmieniu wydają się akceptowalne, przynajmniej w takim sensie, że nie ma w nich niczego rażąco fałszywego. Nie jest oczywiste, czy można je bez żadnych oporów uznać za prawdziwe, ale dokładnie takie same wątpliwości pojawiłyby się w przypadku interpretowania P-własności jako atrybutów Boga.
Przykładowo, wszechmoc Boga, rozumiana jako cecha pozytywna, pociągałaby za sobą tylko cechy pozytywne (na mocy aksjomatu 2), ale z drugiej strony wszechmoc pociąga za sobą moc do czynienia zła, wobec czego moc Boga do czynienia zła należałoby uznać za cechę pozytywną (w sensie moralno-estetycznym), co jest w najlepszym wypadku nieintuicyjne, a w najgorszym – absurdalne. Tak czy inaczej, przy interpretacji malteistycznej aksjomaty te wydają się wiarygodne i prowadzą (na mocy takich samych przejść logicznych jak w dowodach przedstawionych powyżej) do wniosku o koniecznym istnieniu Złego Boga. Nie wydaje się, aby interpretacja teistyczna była pod tym względem znacząco bardziej wiarygodna. Podobnie jest w przypadku rozmaitych modyfikacji teorii Gödla. Nie mogąc omówić ich wszystkich i nie chcąc wchodzić zbyt głęboko w nieistotne szczegóły, weźmy pod uwagę modyfikacje C. Andersona i Hájeka. Anderson zastępuje aksjomat P( φ) P(φ) słabszym aksjomatem P(φ) P( φ), zaś Hájek zastępuje aksjomaty P( φ) P(φ) i {P(φ) □x [φ(x) ψ(x)]} P(ψ) jednym aksjomatem {P(φ) □x [φ(x) ψ(x)]}
P( ψ). Dokonują oni też pewnych modyfikacji definicji z dowodu Gödla (Hájek 2002, s. 155-156). Jest jednak jasne, że przy takich modyfikacjach aksjomaty, odczytane w terminach „własności negatywnych”, nadal są równie akceptowalne jak przy ich teistycznej interpretacji. Skoro tak, to interpretacje te są równie wiarygodne, co oznacza, że dowód ontologiczny Gödla (w swoich różnych wersjach) poddaje się argumentowi z przeładowania, nie stanowi on więc argumentu na rzecz teizmu. Podobnie jak w przypadku dowodów Leibniza należy zauważyć, że taka negatywna ocena nie wynika z samego faktu istnienia niezamierzonej interpretacji teorii, lecz z faktu, że owa niezamierzona interpretacja prowadzi do wniosków sprzecznych z intencjami leżącymi u podstaw formułowania tej teorii, mianowicie z próbą wykazania istnienia Boga.
114
Na gruncie podanych przez Gödla aksjomatów można udowodnić, że istnieje dokładnie jeden przedmiot posiadający wszystkie własności pozytywne (szczegóły dowodu pomijamy). Przyjmując, że zamierzoną interpretacją pojęcia przedmiotu posiadającego wszystkie własności pozytywne jest pojęcie Boga, można to sformułować w ten sposób, że na gruncie aksjomatyki Gödla można udowodnić, że istnieje tylko jeden Bóg. A skoro tak, to czy można powiedzieć, że w wyniku użycia argumentu z przeładowania ontologia ulega przepełnieniu poprzez włączenie do niej zarówno (dobrego) Boga, jak i Złego Boga?
Wydawałoby się raczej, że ontologia ta zawiera dokładnie jeden przedmiot będący Absolutem, a argument z przeładowania pokazuje, że dowód gödlowski sam w sobie jest niewystarczającym narzędziem do ustalenia, jakie dokładnie cechy – w szczególności cechy moralne – przysługują temu Absolutowi. W odróżnieniu od innych dowodów ontologicznych, w przypadku dowodu Gödla argument z przeładowania nie polega na uzasadnianiu istnienia Złego Boga jako bytu posiadającego prawie wszystkie własności pozytywne, lecz na uznaniu Złego Boga jako dopuszczalnej interpretacji pojęcia „byt posiadający wszystkie własności pozytywne”.56 W takiej sytuacji można się odwołać do pojęcia przeładowania logicznego, polegającego na nieakceptowalnym przepełnieniu zbioru twierdzeń, jakie można w danej teorii wysnuć. Przeładowanie takie polega tu na tym, że jeśli do zbioru (filozoficznych, nie czysto formalnych) wniosków z teorii Gödla będzie się chciało włączyć zdanie „istnieje (dobry) Bóg”, to z równym powodzeniem do wniosków tych można będzie włączyć zdanie
„istnieje Zły Bóg”. Stanowi to nie tylko psychologiczny rozdźwięk wewnątrz teorii, ale i jej wyraźną sprzeczność, ponieważ jest logicznie niemożliwe istnienie dwóch bytów koniecznych, wszechmocnych i dążących do wzajemnego unicestwienia. W przypadku dowodu ontologicznego Gödla wartość argumentów z przeładowania polega ostatecznie na pokazaniu, że interpretacja G-bytu jako teistycznego Boga jest, bez dodatkowego uzasadnienia, całkowicie bezpodstawna, skoro równie uprawniona jest interpretacja G-bytu jako Złego Boga. W takiej sytuacji zwolennik teistycznej interpretacji dowodu gödlowskiego byłby zmuszony do wykazania, że pojęcie Złego Boga z jakichś powodów nie może stanowić interpretacji pojęcia G-bytu, że przypisanie G-bytowi własności bycia złym prowadzi do sprzeczności (zob. rozdz. 5.2). Zważywszy jednak na fakt wielkiej niejasności pojęć moralnych i metafizycznych oraz filozoficzną „sterylność” garstki czysto formalnych pojęć i aksjomatów podanych przez Gödla, wydaje się mocno wątpliwe, by coś takiego mogło odnieść sukces. Co więcej, zwolennik teistycznej interpretacji dowodu Gödla musiałby również uzasadnić błędność wszystkich innych niezamierzonych interpretacji (np. takiej, przy której G-byt jest bezosobowym Absolutem w stylu Spinozy), a interpretacji takich jest
56 W przypadku innych niż gödlowskie dowodów ontologicznych również można uzasadnić tezę o jedyności, mianowicie „istnieje dokładnie jeden byt doskonały”, korzystając np. z leibnizjańskiego prawa identyczności nieodróżnialnych. To jednak nie zabezpiecza tych dowodów przed włączeniem do ontologii Złego Boga i quasi-Bogów, ponieważ nie są one pojęte jako byty doskonałe, więc twierdzenia o ich istnieniu nie są w żaden sposób niezgodne z tezą „istnieje dokładnie jeden byt doskonały”, która nie nakłada żadnych ograniczeń na ilość bytów innych niż doskonałe.
115
potencjalnie nieskończenie wiele. Jedyna nietrywialna własność, która bez wątpienia przysługuje G-bytowi, to konieczne istnienie. Wszystkie inne pozostają nieznane.
Oczywiście, można by aksjomatycznie wprowadzić zdania typu „P(φ)”, gdzie φ jest jakimś atrybutem Boga, np. nieskończoną dobrocią, jednakże z równym powodzeniem można by przyjąć zupełnie inne aksjomaty, w których orzeka się, że P-własnościami są atrybuty Złego Boga albo atrybuty Substancji Spinozy. Trudno więc powiedzieć nawet to, że dowód gödlowski, choć nie dowodzi istnienia Boga, to jednak przybliża nas do wiedzy o istnieniu Boga. G-byt może być właściwie czymkolwiek, np. odwiecznie istniejącym materialnym wszechświatem.