Twierdzenie 3.9.1 Jeśli zamknięty ograniczony obszar D jest zbiorem dodatnio inwariantnym, nie zawierającym punktów stałych, to w D istnieje cykl graniczny
4.4 Drgania relaksacyjne
4.4.1 Oscylator van Der Pola.
Rozpatrzmy zmodyfikowany układ RLC pokazany na rysunku 4.24. Załóżmy, że „czarna skrzynka” B stanowi element obwodu ( może być ona połączeniem kilku elementów elektronicznych ), o charakterystyce napięciowo-prądowej przedstawionej na rysunku 4.25a.
Rys. 4.24 zmodyfikowany Rys. 4.25 a) charakterystyka napięciowo-prądowa dla „czarnej skrzynki” B układ RLC. z rysunku 4.24. Z pomocą wielkości wprowadzonych na rysunku b) możemy zapisać równanie tej krzywej : vB = f(jB ) = jB( 1/3 jB2 – 1 )
Taką czarną skrzynkę nazywa się ogólnie nieliniowym oporem o kubicznej charakterystyce napięciowo-prądowej :
vB = f(jB ) = jB( 1/3 jB2 – 1 ) (4.96)
Niech vL , vB i – vC będą różnicami potencjałów na odpowiednich elementach obwodu z rysunku 4.24 mierzonymi w kierunku przepływu prądu j. Równania dynamiczne danego obwodu mają postać :
L (dj/dt) = vC – f(j ) ; C (dvC/dt) = - j (4.97)
Zastosowaliśmy tutaj napięciowe prawo Kirchhoffa wykluczając vL. Teraz dokonamy zamiany L-1t → t , x1= j , x2 = vC, L/C = η otrzymując :
x1• = x2 – f(x1) , x2• = - ηx1 (4.98)
Układ (4.98) posiada punkt stały przy x1= x2 = 0 i izokliny pokazane na rysunku 4.26.
Rys. 4.26 Izokliny dla układu (4.98) : x1• = 0 na krzywej Rys. 4.27 Portret fazowy dla układu (4.98) przy η → 0.
x2 = f(x1) , x2• = 0 na osi x2. Skierowanie pola Wszystkie trajektorie szybko wychodzą na cykl graniczny wektorowego na zewnątrz tych izoklin pokazano dla ABCD.
małych η ( po lewej stronie rysunku )
Załóżmy teraz, że η jest na tyle małe ( co oznacza, że L jest małe w porównaniu z C ), że we wszystkich punktach płaszczyzny, oprócz bezpośredniego otoczenia izokliny x1• = 0 możemy zaniedbać wielkość x2• w porównaniu z x1•. To oznacza, że pole wektorowe ( x2 – f(x1) , - ηx1 )T ma prawie horyzontalny kierunek, oprócz bezpośredniego otoczenia krzywej :
x2 = f(x1) = ½ x13 – x1 (4.99) Stąd wynika, że portret fazowy powinien być taki jak pokazano na rysunku 4.27. Jak łatwo zauważyć wszystkie warunki początkowe generują trajektorie, które przy pierwszej nadarzającej się okoliczności wychodzą na cykl graniczny ABCD.
W punktach, dalekich od paraboli sześciennej (4.99), x1• jest względnie duże, tak, że punkt fazowy szybko przechodzi do bliskiego otoczenia tej krzywej, a następnie wolno przemieszcza się wzdłuż krzywej. Szybki ruch na odcinkach AB , CD i wolny na odcinkach BC, DA generuje nietłumione drgania wielkości x1(t) „prawie nieciągłej” postaci ( zobacz rys.
4.28 ). Drgania o takiej postaci nazywamy drganiami relaksacyjnymi.
Rys. 4.28 Drgania relaksacyjne dla trajektorii, wychodzącej z punktu F rys. 4.27. Odcinki oznaczone CD i AB są prawie pionowe , opisują one szybki ruch między odpowiednimi punktami płaszczyzny fazowej.
Układ (4.98) posiada cykl graniczny nie tylko przy η → 0. Przykładowo, przy η = 1 układ ten stanowi przypadek szczególny równania Van der Pola :
x•• + ε( x2 – 1 )x• + x = 0 , ε > 0 (4.100)
o ε =1.
Równanie to ma postać ogólną
:
x•• + g(x)x• + h(x) = 0 (4.101)
która jest równoważna układowi :
x1• = x2 –
∫
g(x1) dx1 , x2• = - h(x1) (4.102)( zobacz ćwiczenie 27, rozdział 1 )
Równania postaci (4.101) niekiedy nazywają się równaniami Lenara ( zobacz punkt 5.1 ), a współrzędne x1, x2 występujące w (4.102) określają płaszczyznę Lenara. Przedstawienie Lenara dla równania Van der Pola ma postać :
x1• = x2 – ε ( ½ x13 – x1 ) , x2• = - x1 (4.103)
co pokrywa się z (4.98) przy ε = η = 1.
Równanie Van der Pola można rozpatrywać jako pewne uogólnienie oscylatora harmonicznego (4.2). Różnica polega na tym, że posiada ono teraz nieliniowy współczynnik tłumienia ε( x2 – 1 ) w miejsce współczynnika 2k równania (4.2).
Oscylator Van der Pola posiada jeden stabilny cykl graniczny dla wszystkich wartości ε. Kiedy ε → ∞, cykl graniczny przyjmuje postać, pokazaną na rysunku 4.27 i pojawiają się drgania relaksacyjne ( zobacz ćwiczenie 28 ).
Przy ε → cykl graniczny zbliża się do okręgu o promieniu 2 ( zobacz ćwiczenie 27 ). Przy zwiększaniu ε od zera do nieskończoności cykl graniczny gładko deformuje się z jednego skrajnego położenia w drugie ( zobacz rysunek 4.29 )
Rys. 4.29 Cykl graniczny oscylatora Van Der Pola na płaszczyźnie Lenara : ε = 1
4.4.2 Przeskoki i regularyzacja.
Jeśli podstawimy L = 0 w równaniach obwodu elektrycznego (4.97), to rr :
L (dj/dt) = vC – f(j ) (4.104)
Zamieni się na równanie algebraiczne :
vC = f(j ) (4.105)
Wtedy układ dwóch równań dynamicznych (4.97) o ( j, vC ) ∈ R2 zamienia się na jedno równanie dynamiczne :
C (dvC/dt) = CvC• = - j (4.106)
Określonym na { ( j, vC ) | vC = f(j ) }.
Geometrycznie równanie (4.106) oznacza, że ruch punktu ( j, vC ) zachodzi tylko na krzywej (4.105) na płaszczyźnie j, vC. Z równania (4.106) wynika, że :
vC• </> 0 dla j >/< 0 (4.107)
i stany obwodu powinny następować jedne za drugimi tak jak pokazuje to rysunek 4.30.
Rys. 4.30 Równanie (4.107) oznacza, że vC wzrasta przy j < 0 i zmniejsza się przy j > 0. Zatem, od dowolnego punktu początkowego vC = f( j ) stan obwodu następuje albo ku punktowi A, albo do punktu C.
Z dowolnego punktu początkowego, leżącego na krzywej vC = f(j ), stan obwodu przechodzi ku jednemu z dwóch punktów : A lub C. Punkty te nie są punktami stałymi, ponieważ w nich vC• = - j/C ≠ 0, jednakże są one punktami odosobnionymi w tym sensie, że pochodna w tych punktach :
dj/ dt = - j ( C(df/dj ) )-1 (4.108)
nie jest określona, ponieważ df/dj jest równa zero. Jeśli nie przeanalizowalibyśmy równania (4.97) w punkcie 4.4.1, to trudno byłoby nam teraz odgadnąć co dzieje się z punktem fazowym po osiągnięciu położeń A i C.
Jednak teraz możemy z pewnością założyć, że wielkość j zmienia się w sposób nieciągły i następuje natychmiastowy
„przeskok” do punktu, odpowiednio B i D ,a przy tym wielkość vC pozostaje stała. Zatem, następują drgania relaksacyjne wielkości j(t), ale teraz zmienia się ona w nieciągły sposób.
Jeśli układ równań dynamicznych z więzami jest granicznym przypadkiem pewnego układu bez więzów, to nazywa się on regularyzacją układu z więzami. Zatem, (4.97) jest regularyzacją układu (4.106).
Niekiedy równania dynamiczne z ograniczeniami i założenia o możliwości „przeskoków” pewnych zmiennych są zawarte już w sformułowaniu danego zagadnienia. Poniżej zilustrujemy ten fakt na przykładzie obwodu elektrycznego zawierającego lampkę neonową.
Lampka neonowa jest to rurka szklana wypełniona gazem ( neonem ) i wyposażona w dwie elektrody. Kiedy różnica potencjałów między elektrodami zaczyna wzrastać od zera, prąd nie przepływa aż do chwili, kiedy różnica potencjałów nie osiągnie pewnej wartości progowej v1 , po osiągnięciu różnicy napięcia v1 neonówka momentalnie zaczyna przewodzić ( następuje jonizacja gazu ) , a prąd skokowo osiąga pewną określoną wartość. Po tym prąd wzrasta prawie liniowo wraz ze wzrostem napięcia. Na rysunku 4.31 przedstawiono charakterystykę napięciowo prądową neonówki, wyszczególniono na niej obszary 0 → A → B → E.
Jeśli w dalszej kolejności będziemy zmniejszali różnicę potencjałów od wartości jaką osiągnęliśmy w punkcie E, to neonówka nie przestaje być przewodnikiem nawet po osiągnięciu napięcia v1. Prąd zaczyna się zmniejszać w miarę obniżania różnicy potencjału, aż do osiągnięcia wartości v2 ( < v1 ), wtedy prąd szybko spada do zera. Ta
charakterystyka odpowiada drodze E → B → C → D na rysunku 4.31.
Jeśli napięcia znów wzrasta, to zachowanie neonówki powtarza się.
Rys. 4.31 Idealizowana charakterystyka napięciowo- prądowa neonówki. Zauważmy analogię między tym przypadkiem i kubiczną charakterystyką – obie krzywe są niemonotoniczne.
Niektóre doświadczenia fizyczne świadczą o możliwości przechodzenia po odcinku CA, oznaczonej na rys. 4.31 punktami. Możliwość ta jednak nie realizuje się w przypadku płynnego podwyższania i obniżania napięcia, które opisaliśmy powyżej i dalej nie będziemy zajmowali się tym zagadnieniem. Jednakże powinno to pomóc podkreślić niemonotoniczny charakter charakterystyki napięciowo- prądowej.
Przykład 4.4.1 Pokazać, że obwód pokazany na rysunku 4.32 może być modelowany przez równania dynamiczne z ograniczeniami dla napięcia vC na kondensatorze.
Załóżmy, że między węzłami 2 i 3 obwodu znajduje się nieduża indukcyjność L. Jaki wpływ będzie to miało ona równania dynamiczne ?
Rozwiązanie. Niech v12 = vN , v13 = vC , v34 = vR , wtedy wykorzystując oznaczenia z rysunku 4.32 możemy napisać :
vR + vC = € = jR + vC (4.109)
vC = vN = f(i ) (4.110)
gdzie : f(i ) – charakterystyka napięciowo- prądowa lampki neonowej.
Oprócz tego :
CvC• = j – i (4.111) Zachowanie obwodu określone jest przez równanie :
CvC• = [ ( € – vC )R ] – i , gdzie vC = f(i ) (4.112) Co daje nam równanie dynamiczne z ograniczeniem.
Rys. 4.32 Schemat obwodu z lampką neonową.
Jeśli między węzłami 2 i 3 umieścimy indukcyjność, to w miejsce (4.110) otrzymamy :
vL = vC – vN (4.113) gdzie : vL = v23 .
Wtedy ograniczenie vC = f(i ) zamieniamy na nowe równanie dynamiczne :
L (di/dt) = vC − f(i ) (4.114) To równanie razem z rr (4.112) tworzy układ, nie mający już ograniczeń; jest on regularyzacją dla (4.112).
W przykładzie 4.4.1 przeskoki są wprowadzane w dynamikę przez odpowiednią charakterystykę napięciowo- prądową neonówki. Załóżmy, że w chwili początkowej napięcie vC = 0; bateria € ładuje kondensator C poprzez opór R. Napięcie na neonówce vN jest równe vC. Prąd i, przepływający przez neonówkę jest równy zeru aż do chwili póki
vN = vC = v1 ( 0 → D → A na rys. 4.31 ). Wtedy neonówka rozpoczyna przewodzenie , tj. następuje skok wielkości i.
Jeśli opór R jest wystarczająco duży, to droga prądu poprzez neonówkę, jest drogą najmniejszego oporu i kondensator rozładowuje się poprzez neonówkę. To oznacza, że napięcie vC spada, ale neonówka przewodzi aż vN = vC = v2 , kiedy to prąd i skokowo spada do zera. ( B → C → D na rys. 4.31 ). Wtedy bateria ponownie zaczyna ładować kondensator.
Skoki pojawiają się dlatego, że powinno być spełnione ograniczenie vC = f(i ).
Wprowadzenie niedużej indukcyjności zmienia ten obraz. Równania dynamiczne działają na całej płaszczyźnie fazowej i, vC skoki są wygładzane , ABCD ( na rys. 4.3.1 ) jest cyklem granicznym.