x1• = x12 , x2• = 2x22 – x1x2 (5.53)
z pomocą funkcji :
V( x1, x2 ) = αx13 + βx12x2 + γx1x22 + δx23 (5.54)
Przy odpowiednim wyborze stałych α, β, γ, δ.
Rozwiązanie. Dowolna funkcja V wzdłuż trajektorii układu (5.53) jest równa :
V• ( x1, x2 ) = 3αx14 + βx13x2 + ( 2β – γ )x12 x22 + ( 4γ – 3δ )x1x23 + 6δx24 (5.55) x1istnieją punkty dla których V > 0. Z tego, zgodnie z twierdzeniem 5.4.3, wynika że początek współrzędnych jest niestabilnym punktem stałym danego układu.
5.4.2 Model zachowania konfliktowego zwierząt.
Załóżmy, że chcemy zbudować model rytualnych konfliktów, które pojawiają się pośród osobników jednego gatunków np. przy konkurencji o samice, samce, terytorium lub o dominacje w stadzie.
Konflikty pojawiają się wtedy, kiedy zwierzęta spotykają się ze sobą, będziemy przy tym zakładali, że przy tym możliwe są trzy typy zachowań :
a) demonstracja b) bójka c) ucieczka
Załóżmy, że osobniki populacji, którą modelujemy, reagują na konfrontacje na ograniczoną liczbę sposobów.
Niech każdy osobnik działa według jednej z możliwych strategii, zapisanych w poniższej tablicy : Numer i Strategia Pierwotna taktyka Taktyka, jeśli przeciwnik rozpocznie bójkę 1 jastrząb bójka bójka
2 gołąb demonstracja ucieczka 3 agresywny tchórz bójka ucieczka
Osobnik stosujący strategię i względem przeciwnika stosującego strategię j, otrzymuje „wygraną” aij.
Przyjmujemy, że wygrana ta wpływa na możliwości reprodukcji osobnika ( czym większa wygrana tym więcej potomstwa pozostawi dany osobnik ).
Załóżmy, że stosowane są tylko czyste strategie, tj. każdy osobnik zawsze należy do jednego tego samego typu i stosuje jedną i tę samą strategie, oraz że potomstwo naśladuje strategię rodzica. Wtedy nasz model może opisywać ewolucje wszystkich trzech typów populacji.
Niech xi – będzie ilością osobników w populacji, stosujących i-tą strategię. Wtedy : 3
ΣΣΣΣ xi = 1 (5.58)
i=1 oraz
xi ≥ 0 , i = 1, 2, 3 (5.59)
Nagroda dla osobników stosujących strategię i przeciw wszystkim pozostałym osobnikom danej populacji, ma postać :
ΣΣΣΣ aij xi = ( Ax )i (5.60)
i
gdzie : A – macierz wypłat.
Średnia wygrana osobnika populacji wynosi :
ΣΣΣΣ xi ( Ax )i = xTAx (5.61)
Dlatego “dogodność” stosowania i-tej strategii jest równa :
( Ax )i − xTAx (5.62)
Prędkość rozmnażania na osobnika danej populacji dla grupy, stosującej i-tą strategie, przyjmuje się jako proporcjonalną do wielkości :
xi• = xi( (Ax )i − xTAx ) (5.63)
i = 1, 2, 3
Równania te mają sens tylko dla tych punktów przestrzeni R3, które spełniają warunki (5.58) i (5.59) tj. dla obszaru
∆ z rysunku 5.18.
Rys. 5.18 Dynamika modelu, opisującego zachowanie konfliktowe osobników ( równanie (5.63)).
x1, x2 , x3 zmienia się tylko w obszarze 3
∆ = { x1, x2 , x3 | ΣΣΣΣ xi = 1 , xi ≥ 0 , i = 1, 2, 3 } i=1
Jest to płaska trójkątna „powierzchnia możliwych wartości”.
Macierz wypłat możemy otrzymać zadając „punkty” w wyniku każdego wydarzenia, np. zwycięstwo = 6, porażka = 0, uraz = - 10, strata czasu = - 1. Te konkretne wartości, które zadano tutaj, nie są istotne – ważny jest ich znak oraz porządek wielkości absolutnych. Jeśli „jastrząb” spotyka się z „gołębiem” lub „agresywnym tchórzem”, to uciekając mamy a12 = a13 = 6. Jeśli spotykają się dwa „jastrzębie”, to będą one walczyły do póki, aż jeden z nich nie zostanie ranny. Oba „jastrzębie” wygrywają z równym prawdopodobieństwem i wygrana jest równa a11= ½( 6 – 10 ).
Jeśli „gołąb” spotyka się z „jastrzębiem” lub z „agresywnym tchórzem”, to przegrywa on i dlatego a21 = a23 = 0, ale dwa „gołębie” odgrywają swoją wzajemną demonstracje, do póki jeden z nich się nie zmęczy, tak że
a22 = 1/6 ( 6 + 0 ) – 1 = 2. Na zakończenie „agresywne tchórze” przegrywają z „jastrzębiami” ( a31 = 0 ), ale wygrywają z „gołębiami” ( a32 = 6 ) i mają 50% szansy wygrania z osobnikiem stosującym tę samą taktykę.
[ a33 = ½ ( 6 + 0 ) = 3 ]. Zatem macierz A ma postać : [ - 2 6 6 ]
A = [ 0 2 0 ] (5.64)
[ 0 6 3 ]
Użytecznie jest również zauważyć, że wartość strategii nie zmienia się, jeśli do dowolnej kolumny macierzy A dodamy pewną wartość stałą. Z pomocą takiego przekształcenia macierz A można uprościć, sprawiając, że jej elementy diagonalne będą równe zeru. Równania dynamiczne (5.63) przy takim przekształceniu nie zmieniają się. Dlatego możemy przyjąć :
[ 0 4 3 ]
A = [ 2 0 -3 ] (5.65)
[ 2 4 0 ]
W istocie równania dynamiczne (5.63) są tylko częścią modelu przedstawionego przez Zeemana (1979).
W pracy Zeemana można znaleźć dokładne przedstawienie tego modelu i jego dynamiki.
Naszym celem będzie zwrócić uwagę czytelnika na modele takiego rodzaju i jednocześnie zilustrować podejście Lapunowa do określonych obszarów teorii stabilności.
Przykład 5.4.5 Pokazać, że równania dynamiczne (5.63), gdzie macierz A zadana jest wzorem (5.65), mają punkt stały ( x1, x2 , x3 ) = ( 3/5, 0 , 2/5 ). Zastosować funkcje „typu Lapunowa” :
V(x ) = x13/5 x32/5 (5.66)
I dowieść, ze ten punkt stały jest asymptotycznie stabilny, a obszar stabilności ma postać :
∆°{ ( x1, x2 , x3 ) | x1+ x2 + x3 = 1 ; x1, x2 , x3 > 0 }
Znaleźć pozostałe punkty stałe (5.63), określić ich charakter i narysować portret fazowy na ∆.
Co będzie z populacją, składającą się wyłącznie z „jastrzębi” i „gołębi”, jeśli pojawi się mutant – „agresywny tchórz” ?
Rozwiązanie. Aby sprawdzić czy punkt x = ( 3/5 , 0 , 2/5 ) jest punktem stałym dla układu (5.63) należy zauważyć, że xTAx = 5 (3/5) (2/5) = 6/5. Dla i = 1 i i = 3 ( Ax )i = 6/5 i odpowiednio x1• = x3• = 0, a dla i = 2 x2• = 0, ponieważ x2 = 0.
Pokażemy teraz, że punkt ( 3/5 , 0, 2/5 ) jest asymptotycznie stabilny na ∆°, a dokonamy tego za pomocą rozważań
„typu Lapunowa”.
Poziomice funkcji V( x1, x2 , x3 ) są inwariantne względem przesunięcia na osi x2 i przecinają płaszczyznę x2 = 0 po hiperbolach. ( zobacz rysunek 5.19 )
Rys. 5.19 Poziomice funkcji V( x1, x2 , x3 ) = x13/5 x32/5 tworzone są poprzez przesunięcie równoległe hiperbol x3 = Cx1-3/5 ( C∈ R ) wzdłuż osi x2.
Trójkąt ∆ przecina te poziomice zgodnie z układem krzywych pokazanych na rysunku 5.20.
Rys. 5.20 Poziomice funkcji V = x13/5 x32/5 na ∆° Rys. 5.21 Portret fazowy układu (5.63) na ∆°;
otrzymywane są jako przecięcia poziomic V i ∆°. Macierz A zadana jest wzorem (5.65).
Funkcja V przyjmuje swoją jedyną największą wartość na ∆ w punkcie Q, tak że C3 > C2 > C1.
Na ∆ pochodna V wzdłuż trajektorii (5.63) określona jest jako :
V•(x ) = V(x ) [ (3x1• /5x1) + ( 2x3• /5x3 ) ] = V(x ) [ (3/5 , 0 , 2/5 ) Ax i − xTAx ] =
= V(x ) [ ( 1 – x1 – x3 ) ( 11/5 – x1 – x3 ) + 5( x1 – 3/5 )2 ] (5.67)
Odpowiednio do tego pochodna V•(x ) jest dodatnia na ∆° i V zwiększa się wzdłuż trajektorii do swojego maksimum w punkcie Q.
( Analogicznie jak w dowodzie twierdzenia 5.4.1 funkcja V zmniejsza się do swojego minimum )
Zatem, wszystkie trajektorie w ∆° przy wzroście t przybliżają się do punktu Q.
Stąd widać, że ∆° jest podzbiorem obszaru stabilności i nie może zawierać punktów stałych. Zatem wszystkie punkty stałe układu (5.63) powinny znajdować się na brzegu ∆.
Na HB ( x2 = 0 ) równania : x1• = 0, x3• = 0 przekształcają się odpowiednio w : x1( 3x3 – 5x1x3 ) = 0 , x3( 2x1 – 5x1x3 ) = 0
Zatem, oprócz Q istnieją punkty stałe : H = ( 1, 0, 0 ) i B = ( 0, 0, 1 ).
Analogicznie na BD (x1 = 0 ) i HD ( x3= 0 ) znajdują się punkty stałe D = ( 0, 1, 0 ) i P = ( 2/3, 1/3, 0 ) i innych punktów stałych na ∆ nie ma.
Zachowanie trajektorii na granicy obszarów możemy określić, jeśli zauważymy, że : a) na HB x1• > 0 przy x1 < 3/5 i x1• < 0 przy x1 > 3/5
b) na BD x3• > 0
c) na HD x2• > 0 przy x2 < 1/3 i x2• < 0 przy x2 > 1/3
Pozwoli to otrzymać portret fazowy, który to pokazano na rysunku 5.21.
Załóżmy, że w populacji składającej się z „jastrzębi” i „gołębi”, pojawia się mutant – „agresywny tchórz”.
Nowemu stanowi populacji odpowiada punkt fazowy w ∆°., bliski do prostej HD. Ponieważ wszystkie trajektorie w ∆°
dążą do punktu Q przy wzroście t, możemy wnioskować, że stan populacji dąży do x = ( 3/5, 0, 2/5 ) i, że „gołębie”
wymrą.
5.5 Bifurkacja w układach.
5.5.1 Kilka prostych przykładów.
Do równań dynamicznych oprócz zmiennych dynamicznych, często wchodzą również pewne parametry lub „stałe”.
Przykładowo :
a) prędkość rozmnażania na osobnika populacji a w równaniu opisującym wzrost populacji :
x• = ax (5.68)
b) częstość naturalna lub własna ω0 oraz stała tłumienia k w równaniu oscylatora harmonicznego : x•• + 2kx• + ω02x = 0
c) wielkość ε w równaniu Van der Pola : x•• + ε ( x2 – 1 )x• + x = 0
są to wszystko pewne określone parametry.
Mamy do czynienia z bifurkacją rr, jeśli zachowanie jakościowe jego portretu fazowego zmienia się przy zmianie takiego parametru ( lub parametrów ).
Przykładowo, dla równania (5.68) punkt x = 0 – jest atraktorem przy a < 0, a repelerem przy a > 0.
Kiedy a wzrasta, przechodząc przez wartość zerową, to rozwiązania przekształcają się ze zmniejszających się na zwiększające się funkcje zmiennej t.
Mówimy, że takie rr posiada punkt bifurkacji przy a = 0. analogicznie układ :
x1• = µx1 , x2• = - x2 (5.69)
gdzie µ ∈ R , doznaje bifurkacji przy µ = 0.
Pojawiają się wtedy jakościowo różne portrety fazowe przy µ < 0 , µ = 0 i µ > 0, tak jak to pokazano na rysunku 5.22.
Rys. 5.22 Portrety fazowe dla układu z parametrem : x1• = µx1 , x2• = - x2 ; a) µ < 0 , b) = 0 , c) µ > 0
Dla dowolnego µ < 0 portret fazowy jest stabilnym węzłem, dla µ = 0 – jest to portret fazowy nieprostego punktu stałego ( zobacz rysunek 2.6b) ; dla dowolnego µ > 0 portret fazowy to siodło.
Przykład 5.5.1 Znaleźć różne jakościowe typy portretów fazowych dla jednoparametrowego układu :
x1• = µx1− x2 – x1( x12 + x22 ) , x2• = x1+ µx2 – x2( x12 + x22 ) (5.70) przy zmianie µ od −∞ do + ∞.
Rozwiązanie. Układ (5.70) można uprościć, wprowadzając współrzędne biegunowe r, θ. Wtedy otrzymamy :
r• = r( µ − r2 ) , θ• = 1 (5.71)
Przy µ < 0 , r• = 0 przy r = 0, w przeciwnym wypadku r• < 0.
Zatem, wszystkie portrety fazowe są zakręcającymi się wokół początku współrzędnych spiralami.
Przy µ = 0, r• = − r3 ,tak że portret jest jakościowo taki sam. Spirale zakręcają się wokół początku z małą prędkością ( w układzie zlinearyzowanym przy µ = 0 mamy centrum ). Jednak przy µ > 0 początek współrzędnych jest już niestabilny, ponieważ r• > 0 przy 0 < r < √µ. Funkcje r(t ) ≡ √µ , θ(t ) = t stanowią rozwiązania układu (5.71), tak że okrąg r = √µ jest zamkniętą orbitą. Przy r > √µ , r• < 0 i odpowiednio, taka zamknięta orbita jest stabilnym cyklem granicznym, a trajektorie zakręcają się wokół niego z obu stron.
Różnorodne jakościowe typy portretów fazowych pokazano na rysunku 5.23. Na ich podstawie wnioskujemy, że układ (5.70) doznaje bifurkacji przy µ = 0.
Rys. 5.23 Portrety fazowe układu z parametrem (5.70) : a) µ < 0 , b) µ = 0 , c) µ > 0
Zauważmy, że wartości własne zlinearyzowanego układu (5.70) w początku współrzędnych są równe µ ± i i są one czysto urojone przy wartości krytycznej µ = 0 .
Przy µ > 0 układ (5.70) posiada cykl graniczny, który pojawia się z punktu stałego, który stopniowo zwiększa się rozmiarowo przy wzroście µ. Jest to przykład tzw. bifurkacji Hopfa.
W dalszej kolejności wskażemy warunki wystarczające dla pojawienia się takiego cyklu.
5.5.2 Bifurkacja Hopfa.