Regularyzacja i niektóre modele ekonomiczne

Idea, że równania dynamiczne z ograniczeniem można niekiedy regularyzować ( zobacz punkt 4.4 ), przyciągła uwagę uczonych, zajmujących się budową modeli matematycznych. W niniejszym paragrafie opiszemy szereg interesujących modeli cyklu ekonomiki kapitalistycznej, zaproponowanych przez Goodwina ( 1951 ).

Na początku przedstawimy tzw. model gruby zawierający ograniczenia i możliwości przeskoków. Na jego podstawie omówimy istotnie nieliniowy charakter danego zagadnienia. W miarę jak będziemy wprowadzali uściślenia będą wprowadzane mechanizmy, prowadzące do regularyzacji. Jako główny wynik dla końcowego modelu otrzymamy równanie typu Rayleigha ( zobacz ćwiczenie 28 ). Sam proces uściślania modelu będzie pouczający z punktu widzenia modelowania matematycznego, przy czym najbardziej interesującym będzie, w jaki sposób pojawi się charakterystyka z

„składaniem”.

Rozpatrzymy teraz modele ekonomiczne, przy czym będą nas interesowały fluktuacje, odpowiadające wzrostom i spadkom. Rozpoczniemy od tego, że wprowadzimy interesujące nas zmienne i określimy podstawowe zależności występujące między nimi.

Przyjmiemy, że w dowolnej chwili t ekonomika dysponuje podstawowym kapitałem K, jego wielkość zmienia się z prędkością K^• , równą stosunkowi inwestycji do zużycia w danym okresie. Źródłem dochodu ekonomicznego jest różnica przychodów Y i wydatków C. Wielkości te związane są ze sobą poprzez zależności :

C = αY + β (5.18)

Y = C + K^• (5.19)

Gdzie : α, β – stałe rzeczywiste, takie, że α < 1, β < C.

Z równania (5.18) widać, ze między Y a C istnieje zależność liniowa. Równanie (5.19) pokazuje, ze cała produkcja albo jest zużywana, albo idzie na rozszerzenie dochodu.

Dalej, zakładamy, że kapitałem podstawowy K, zarządzamy tak, aby podtrzymywać go na poziomie proporcjonalnym do wielkości przychodów. Jeśli R jest wymaganym poziomem kapitału podstawowego w chwili t , to :

R = γY (5.20)

γ ∈ R a) Model 1.

Teraz przedstawimy model objaśniające jak w układzie ekonomicznym mogą pojawiać się cykle. Z równań (5.18) i (5.19) wynika, że :

Y = ( β + K^• ) / ( 1 – a ) (5.21)

Z zależności (5.21) widać, ze periodyczne zachowanie wielkości Y ( lub K ) może pojawiać się jako następstwo drgań K^• Takie drgania pojawiają się jako dążenie do równowagi miedzy K i R ( wymagany poziom kapitału podstawowego ) Załóżmy, że prowadzona jest ekstremalna polityka kapitalizacyjna :

K^• = { k1 > 0 , K < R (5.22) { 0 , K = R

{ - k2 < 0 , K > R gdzie : k1 i k2 nie zależą od t.

Odpowiada to maksymalnemu poziomowi kapitalizacji, jeśli kapitał podstawowy jest mniejszy niż poziom wymagany i zerowym nakładom, jeśli ten poziom został przekroczony. Przy tym kapitał podstawowy amortyzowany jest z prędkością k2. Zazwyczaj możemy zakładać, ze przy maksymalnym poziomie kapitalizacji prędkość z jaką mogą budować się nowe inwestycje ( zakłady produkcyjne ), jest większa niż prędkość ich amortyzacji lub starzenia , tj. :

k1 > k2 (5.23) a Y pozostaje stałe, tak jak to pokazano na rysunku 5.4.

Rys. 5.4 Drgania wielkości K i Y zachodzące w czasie Rys. 5.5 Przedstawienie stanu ekonomiki na płaszczyźnie dla polityki kapitalizacyjnej postaci „stój – idź”. Fazowej. Skoki przedstawiono za pomocą linii przerywanych.

Ma to miejsce do tej pory, póki nie osiągnięta zostaje równość K = R1. Wtedy R przyjmuje wartość R0 ponieważ teraz

K = R ; odpowiednio K = R1 > R = R0 i wielkość R natychmiastowo staje się równą R2. Innymi słowy K^•, faktycznie natychmiast zmienia się od wielkości k1 do -k2 , a R od R1 do R2. W tej samej chwili na podstawie wzoru (5.21) szybko spada dochód. Teraz K zmniejsza się do wielkości R2. Analogiczne rozważania pokazują, że R staje się przy tym równe R1, ponieważ K = R2 < R = R1 i wielkość K^• znów staje się równa k1. Kapitał podstawowy K ponownie wzrasta do R1 i cykl się zamyka. Zatem, obie wielkości K i Y wykonują drgania, tak jak to pokazano na rysunku 5.4

Można podkreślić związek tego modelu z „przeskokowym” modelem zaprezentowanym w punkcie 4.4, przedstawiając zmiany rozpatrywanych wielkości na płaszczyźnie K, K^• ( zobacz rysunek 5.5 ).

Ruch następuje na prostoliniowych odcinkach BC i DA, gdzie odpowiednio K^• = k1 i K^• = -k2. Skoki od A do B i od C do D odpowiadają nieciągłościom funkcji Y, pokazanym na rysunku 5.4

Ten pierwszy model bardzo ogólnie opisuje cykl ekonomiczny. W czasie okresów kapitalizacji dochody są wysokie , a ekonomika znajduje się w okresie koniunktury. Kiedy kapitalizacja nie występuje, spada poziom dochodów , a ekonomika znajduje się w stanie bessy.

Model ten posiada jednak szereg niedostatków. Przykładowo, skoki kapitalizacji i natychmiastowa rekcja na nie ze strony Y ( co wynika z wzoru (5.21) ) nie odpowiada rzeczywistości. Oprócz tego, z warunku k1 > k2 wynika, że okresy spadku znacznie przewyższają okresy podnoszenia, w rzeczywistości takie zachowanie w ekonomice nie jest

obserwowane.

W takim modelu nie występuje ogólny wzrost ekonomiki, ponieważ dochód, kapitał podstawowy itp. periodycznie przyjmują określone wartości.

Objętość książki nie pozwala dokładnie zastanowić się nad wszystkimi omówionymi zagadnieniami; naszym celem będzie jest nie ustanowienie odpowiedniości między kolejnym nowym modelem i poprzednimi rozważaniami.

W tym celu zastanowimy się dalej tylko nad dwoma punktami : a) wpływ kapitalizacji n wzrost dochodu.

b) skokowe zmiany w kapitalizacji.

b) Model 2

Uwzględniając uwagi poczynione w punkcie 1, należy zmienić równanie (5.21) w taki sposób, aby dla funkcji Y nie występowały przeskoki, nawet w tym przypadku, kiedy wielkość K^• będzie je posiadała.

Można tego dokonać, zamieniając (5.21) na :

Y = ( 1/ 1 – α ) ( β + K^• + - εY^• ) (5.25)

Gdzie : ε – pewna dodatnia stała.

Łatwo pokazać, ze nowy człon wprowadzony w (5.25) powoduje pewne wstrzymanie w reakcji funkcji Y na zmianę K^•. Zauważmy, że na mocy (5.25) :

εY^• + ( 1 – α )Y = β + k1 , K < R (5.26)

εY^• + ( 1 – α )Y = β + k2 , K > R (5.27)

Załóżmy teraz, że w chwili t = t1 bessa kończy się i następuje momentalne przejście od równania (5.27) do (5.26).

Wtedy rozwiązanie Y(t) w czasie następującego okresu hossy ma postać :

Y(t) = [ ( β + k1 )/ ( 1 – α )] { 1 – exp [ ( ( α – 1 )/ε ) ( t – t1)] } + Y(t1) exp [ ( ( α – 1 )/ε ) ( t – t1)] (5.28) Stąd wynika, że wielkość Y nie wzrasta natychmiastowo do wartości ( β – k1)/ ( 1 – α ), dąży ona natomiast do tej wartości przy t → ∞. Oczywiście z praktycznego punktu widzenia czas, który jest potrzebny po to, aby funkcja Y(t) z zadaną dokładnością stała się równa tej wielkości zależy całkowicie od parametru ε.

W analogiczny sposób równanie (5.27) wygładza skokowy spadek Y(t) ( zobacz rysunek 5.4 ) w końcu okresu hossy.

Osiągnowszy to, że dochód Y(t) reaguje na zmiany kapitalizacji z pewnym opóźnieniem możemy zająć się punktem 2 i zlikwidować nieciągłości w kapitalizacji.

Naszym celem będzie wygładzenie przejścia od K^• = k1 i K^• = -k2 ( i odwrotnie ), pojawiającego się w sytuacji, kiedy K staje się równe R.

Aby to osiągnąć, rozpatrzymy tę część kapitalizacji, która pojawia się wraz ze zmianą dochodu. Zmiany w kapitalizacji następują w związku z tym, że chcemy podtrzymywać kapitał podstawowy na określonym poziomie.

Zmiana wielkości Y powoduje zmianę R, co na swój sposób pociąga za sobą zmianę K.

Jest jasne, że jeśli udałoby się nam w sposób ciągły podtrzymywać K^• = γY^• , to byłoby słuszna zależność K = R.

Niestety, równość ta nie może być spełniona przy wszystkich wartościach t, ponieważ K^• posiada granicę górną k1i granicę dolna -k2.

Dlatego, założymy, że K^• = ψ(Y^• ), gdzie postać funkcji ψ(Y^• ) przedstawiono na rysunku 5.6.

Dla wystarczająco małych Y^• kapitalizacja może odpowiadać warunkowi K = γY.

Na koniec kapitalizacja osiąga swoją wartość maksymalną i kapitał podstawowy przestaje spełniać ten wymóg.

To oznacza, że K^• należy wziąć w postaci :

K^• = L + ψ(L^• ) (5.29)

Gdzie : ψ(L^• ) – kapitalizacja indukowana zmianą dochodu, L – wpływ poprzednich kapitalizacji.

Wtedy równanie (5.25) należy zamienić na :

Y = ( 1/ 1 – α ) [ β + L + ψ(L^• ) – εY ] (5.30)

Postać funkcji ψ(Y^• ) – εY^• przy ε < γ pokazano na rysunku 5.6. Widać z niego, że funkcja ta nie jest monotoniczna ( tj. posiada garby ) i jest podobna do paraboli kubicznej.

Rys. 5.6 Kapitalizacja ω(Y^• ) bliska poziomowi idealnemu γY^• dla wielkości Y^• bliskiej zeru, jednakże przy dużych

| Y^• | ograniczona jest ona przez wielkości k1 i – k2.

Pokazano również funkcję εY^• i ψ(Y^• ) – εY^•. Zauważmy niemonotoniczność ostatniej z tych funkcji.

Aby otrzymać wykres funkcji Y w zależności od Y^• powinniśmy podnieść funkcję ψ(Y^• ) – εY^• , przedstawioną na rysunku 5.6 do góry o wielkość β + L i podzielić przez 1 – α.

Jeśli wielkość β + L jest wystarczająco duża, to otrzymamy wykres, podobny do tego jaki ukazano na rysunku 5.7

Rys. 5.7 Przedstawienie modelu 2 na płaszczyźnie fazowej. Ruch zachodzi tylko po charakterystyce niemonotonicznej.

Przedstawiona krzywa wraz z założeniem o skokach opisuje całkowicie zachowanie modelu 2.

Punkty, odpowiadające wszystkim możliwym stanom modelu leżą na tej krzywej, a znak Y^• pokazuje czy wielkość Y wzrasta czy maleje. Zatem, ruch punktu określającej stan układu, powinien zachodzić w kierunku pokazanym przez strzałki.

Punkt ( β + L , 0 )jest zatem punktem niestabilnym danego układu.

Z punktów C, A analogicznie do rysunku 4.30 powinny następować przeskoki. Zakładając, że takie przeskoki następują z A do B oraz C do D, otrzymujemy drgania relaksacyjne dla wielkości Y.

c) Model 3.

Przechodząc do dwuwymiarowego układu z cyklem granicznym, możemy pozbyć się założenia o skokach. Odpowiedni układ można otrzymać, uwzględniając opóźnienie realnej kapitalizacji. To oznacza, że kapitalizacja indukowana w chwili t w rzeczywistości zależy nie od Y^•(t), a od Y^• ( t – θ ), gdzie θ – opóźnienie.

Zatem, zamieniamy (5.30) na :

εY^•(t ) + ( 1 – α )Y(t) − ψ (Y^• ( t – θ ) ) = β + L (5.31)

lub podstawiając τ = t – θ na :

εY^•(τ + θ ) + ( 1 – α )Y(τ + θ ) − ψ (Y^• (τ )) = β + L (5.32) Rozkładając lewą część powyższego równania względem potęg θ i zachowując jedynie człony pierwszego rzędu

względem θ, otrzymamy :

εθY^•(τ ) + [ ε + ( 1 – α )θ ] Y^• (τ ) − ψ (Y^• (τ )) + ( 1 – α )Y(τ ) = β + L (5.33) Jeśli założymy, że β + L jest stałe i wybierzemy y = Y – ( β + L ) / ( 1 – α ), to (5.33) można zapisać w jednorodnej postaci :

εθy^•• + [ ε + ( 1 – α )θ ] y^• − ψ (y^• ) + ( 1 – α )y = 0 Oprócz tego, Goodwin zakładał :

x = sqrt[ ( 1 – α ) /εθ ] y , t = sqrt[ ( 1 – α )/ εθ] τ χ(x^• ) = { [ ε + ( 1 – α )θ ] x^• − ψ(x^• )}/ sqrt[ ( 1 – α ) εθ ] otrzymując :

x^•• + χ(x^• ) + x = 0 (5.34)

Jeśli [ ε + ( 1 – α ) θ ] < γ, to funkcja χ(x^• ) jest podobna do paraboli kubicznej, a równanie (5.34) jest równaniem typu Rayleya i dla niego istnieje stabilny cykl graniczny. Na rysunku 5.8 pokazano portret fazowy równania (5.34)

Rys. 5.8 Portret fazowy dla równania (5.34) przy ε = 0,5 , θ = 1,0 , α = 0,6 , γ = 2,0 , k1 = 9,0 + 109 , k2 3,0 ^• 109.