Modele nieliniowe

Rys. 4.13 Wykres funkcji G(ω) dla różnych wartości k : a) k = k0 , gdzie ω02 < 2k02 , b) k = k1 , gdzie ω02 > 2k02 , maksimum jest osiągane przy ω = ωR1 < ω0 ; c) k = k2 < k1 ,maksimum jest osiągane przy ω = ωR2 przy czym ωR1 < ωR2 < ω0 . Należy zwrócić uwagę na zaostrzenie piku i jego przesuniecie na prawo przy zmniejszeniu k.

Mówimy, że w układzie pojawia się rezonans lub, że układ rezonuje w odpowiedzi na zaburzenie zewnętrzne ; ωR nazywamy częstością rezonansową.

Zjawisko rezonansu posiada wiele zastosowań, zwłaszcza w elektronice, gdzie często wykorzystuje się urządzenia oparte na zjawisku rezonansu (* klasycznym przykładem jest obwód rezonansowy w odbiorniku radiowym *). Taką idee zilustrujemy na przykładzie obwodu RLC, pokazanym na rysunku 4.12 dla E(t) = E0 cos(ωt).

Widzieliśmy już we wzorach (4.20) i (4.56), ze w tym przypadku :

ω02 = 1/LC , 2k = R/L (4.71)

h(t) = [ 0 ] (4.71)

[ (E0 /LC )cos(ωt) ]

Prąd odpowiadający stacjonarnej składowej rozwiązania jest równy CxS2(t), tj. :

j( t) = - CωG(ω) sin[ ωt – η(ω)] = j0 cos{ ωt + [ ½ π – η(ω)] } (4.72)

Jego amplituda jest równa :

j0 = CωG(ω) = E0ω / { L [[ ω2 – (1/LC) ]2 + (R/L)2ω2 ]1/2 = E0 / { R2 + [ ωL – ( 1/ωC) ]2 }1/2 (4.73) Stosunek Z = E0/ j0 nazywa się impedancją danego obwodu. Dla obwodu RLC :

Z = { R2 + [ ωL – ( 1/ωC) ]2 }1/2 (4.74) W tym przypadku częstość rezonansowa określona jest poprzez zależność :

ωR L – 1/ ωR C = 0 lub ωR2 = 1/LC (4.75)

Przy takiej częstości impedancja łańcucha jest minimalna i przyjmuje wartość R, a dla częstości bliskich do

rezonansowych impedancja jest mała jeśli małe jest R. Dla innych częstości impedancja wzrasta w miarę oddalania się od częstości ωR , a amplitudy odpowiednich prądów zmniejszają się. W takim przypadku mówimy, że układ jest selektywny.

Jeśli np. przewodność C zmienia się, to możemy zmieniać również częstość rezonansową. Dlatego też można stroić układ otrzymując silną odpowiedź na działanie sygnału o wcześniej ustalonej częstości.

4.3 Modele nieliniowe.

Mimo dużego obszaru w jakim mogą być stosowane proste modele liniowe, mają one również swoje ograniczenia.

Przykładowo, jakościowe zachowanie modelu liniowego na płaszczyźnie powinno odnosić się do ograniczonej ilości ich typów. Modele liniowe mogą mieć tylko jeden izolowany punkt stały; jeśli w nich pojawiają się nie tłumione drgania, to

są one tylko drganiami harmonicznymi ( tj. trygonometrycznymi ), takie drgania możliwe są tylko wokół położenia punktu równowagi w początku współrzędnych płaszczyzny fazowej. Jeśli zachowanie jakościowe modelowanego układu fizycznego nie spełnia takich ograniczeń, to dla niego model liniowy nie jest słuszny.

W niniejszym paragrafie rozpatrzymy pewne zagadnienia z obszaru dynamiki populacji oraz teorii obwodów elektrycznych dla których konieczne jest zastosowanie modeli nieliniowych.

4.3.1 Konkurujace gatunki.

Dwa podobne gatunki zwierząt konkurują ze sobą na pewnym terytorium o ograniczonych zapasach żywności.

Możliwe są różne wyjścia z walki gatunków : a) gatunek 1 przeżywa, a gatunek 2 wymiera.

b) gatunek 2 przeżywa, a gatunek 1 wymiera.

c) oba gatunki współistnieją ze sobą.

d) oba gatunki wymierają.

Każde z takich rozwiązań odpowiada pewnemu położeniu równowagi dla populacji x1i x2 dwóch rozpatrywanych gatunków. Dlatego rr, modelujące dynamikę populacji x1i x2 powinny mieć cztery izolowane punkty osobliwe.

Rozpatrzmy następujące nieliniowe równania dynamiczne :

x1^• = ( a – bx1 – σx2 )x1 , x2^• = ( c – νx1 – dx2 )x2 (4.76)

gdzie : a, b, c, d, σ, ν > 0.

Zauważmy, że przyrost osobników x1^•/ x1 = a – bx1 – σx2 składa się z trzech składowych : szybkości rozmnażania izolowanej populacji a, członu odpowiadającego konkurencji wewnątrzgatunkowej – bx1 , członu odpowiadającego konkurencji między gatunkowej – σx2. Analogicznie interpretujemy człony c, – dx2 , − νx1 w równaniu dla x2^•/ x2 Warunek konieczny dla możliwości przeżycia obu gatunków polega na tym, że powinien istnieć punkt stały równań (4.76), którego obie współrzędne są dodatnie. Taki punkt stały dla równań (4.76) istnieje wtedy i tylko wtedy, kiedy równania liniowe :

bx1+ σx2 = a , νx1+ dx2 = c (4.77)

posiadają rozwiązanie o współrzędnych dodatnich. Będziemy zakładali, że układ (4.77) posiada jednoznaczne rozwiązanie w pierwszej ćwiartce płaszczyzny x1, x2. W takim przypadku punkt stały posiada współrzędne :

( ( ad – σc )/ ( bd – νσ ) , ( bc – aν )/ ( bd – νσ ) ) (4.78)

przy czym ,albo :

bd < νσ , ad < σc i bc < aν (4.79)

albo :

bd > νσ , ad > σc i bc > aν (4.80)

Geometryczny sens tych nierówności zilustrowano na rysunku 4.14.

Rys. 4.14 Geometryczny sens warunków (4.79) a) i (4.80) b). Punkty stałe układu (4.76) zaznaczono kropką.

Teraz rozpatrzymy charakter zmian wielkości x1i x2 przy warunkach (4.79), w ćwiczeniu 16 przedstawiono pewne inne możliwości.

Rozpoczniemy od tego, że dokonamy linearyzacji danego układu we wszystkich czterech punktach stałych. Każdy ze zlinearyzowanych układów oznaczymy y^• = Wy , gdzie y – współrzędne lokalne w otoczeniu odpowiedniego punktu stałego. Poniżej dla każdego z punktów stałych ukazano jego macierz W :

Wszystkie punkty stałe są proste , a ich postać określona jest poprzez wartości własne odpowiednich macierzy W.

Dla (4.81) są to liczby a > 0 i c > 0i zgodnie z twierdzeniem o linearyzacji początek współrzędnych jest niestabilnym węzłem. Wartości własne W z (4.82) również łatwo określić ponieważ macierz W jest macierzą trójkątną i obie wartości własne są ujemne ( zobacz (4.79) ).

Powyższe jest również słuszne dla W z (4.83) i w każdym z tych przypadków twierdzenie o linearyzacji pozwala

wnioskować, że punkty te są stabilne lub są to zdegenerowane węzły ( zauważmy, że możliwe są równości a - σc/d = - c lub c – νa /b = - a ). I na koniec, punkt stały (4.84) jest siodłem, ponieważ :

det W = ( σc – ad ) ( aν – bc )/ ( bd – νσ ) < 0 (4.85) ( zgodnie z warunkami (4.79) ) i wartości własne W powinny posiadać przeciwne znaki ( zobacz rys. 2.7 ).

Teraz jest jasne, że współ istnienie gatunków jest nadzwyczaj mało prawdopodobne , ponieważ przy t → ∞ do sidła wchodzą tylko dwie separatysy. Punkty stałe ( 0, c/d ) i ( a/b , 0) są stabilne i odpowiadają wymarciu gatunków 1 i 2.

Początek współrzędnych jest niestabilnym węzłem, tak że możliwość wymierania obu gatunków jest wykluczona, ponieważ wszystkie trajektorie oddalają się od punktu (0, 0). Zakładając, że wszystkie położenia początkowe w pierwszym kwadracie są równo prawdopodobne, widzimy, że najbardziej prawdopodobnym wyjściem jest wymieranie jednego z gatunków. Otrzymany przez nas wynik jest zgodny z „zasadą konkurencyjnego wyparcia gatunkowego”, zgodnie z którą w takich sytuacjach walki międzygatunkowej , jeden z gatunków wymiera.

Dalsze szczegóły ewolucji tych dwóch gatunków możemy otrzymać, rysując portret fazowy rozpatrywanego modelu.

Zauważmy, że proste występujące w równaniu (4.77) są to izokliny o kierunku, odpowiednio x1^• = 0 i x2^• = 0.

Skierowanie pola wektorowego ( ( a – bx1 – σx2 )x1 , ( c – νx1– dx2 )x2 ) można otrzymać badając znaki x1^• i x2^• tak jak to pokazuje rysunek 4.15.

Rys. 4.15 Pokazano znaki, które wielkości x1^•,x2^• Rys. 4.16 Portret fazowy układu dla konkurujących gatunków zadanych przez równania (4.76), w pierwszym (4.76) dla przypadku bd < νσ , ad < σc , bc < aν

Kwadracie. Oznaczenia są następujące :

└

^oznacza, że x1^•,x2^• > 0

┌

^oznacza, że x1^•> 0 ,x2^• < 0

┘

odpowiada x1^•< 0 , x2^• > 0

└

^oznacza, że x1^•,x2^• < 0

Takie informacje razem z wnioskami o charakterze punktów stałych są wystarczające na to, aby zbudować portret fazowy, który to pokazano na rysunku 4.16. Różne szczegóły, jak np. do jakiej osi są styczne trajektorie, wychodzące z początku współrzędnych, zależne są od konkretnych wartości własnych. Przykładowo, na rys. 4.16 założono, że c < a i dlatego trajektorie na rysunku są styczne do osi x2. Jeśli chodzi o analogiczne detale – zobacz ćwiczenie 15.

4.3.2 Równanie Volterry-Lotkki.

Duże drgania, które mogą pojawiać się przy rozpatrywaniu autonomicznych równań liniowych na płaszczyźnie mają postać :

x1(t ) = R1 cos( βt + θ1 ) , x2(t ) = R2 cos( βt + θ2 ) (4.86)

odpowiadają im zamknięte eliptyczne trajektorie na portrecie fazowym. Krzywe zadane przez równania (4.86), są silnie symetryczne i chociaż zmiana parametrów Ri i θi ( i = 1, 2 ) dopuszcza zmianę amplitudy oraz przesuniecie położenia początkowego punktu, forma trajektorii pozostaje niezmieniona.

W dynamice populacji istnieje dużo parametrów, dla których zmiana liczebność populacji w czasie przyjmuje charakter oscylacyjny. Jednakże takie drgania różnią się znacząco od drgań harmonicznych i na to, aby je zamodelować konieczne są równania nieliniowe. Jednym z najbardziej znanych przykładów równań opisujących dynamikę współzależnych populacji jest równanie Volterry-Lotki.

Rozpatrzmy model, zawierający dwa gatunki, jeden gatunek to drapieżnik, drugi to jego ofiara. Niech x1 i x2 – będą populacjami, odpowiednio ofiar i drapieżców. Załóżmy, że między osobnikami jednego gatunku nie występują konflikty.

Niech przyrost osobniczy x1^•/x1 dla ofiar będzie a – bx2 ; a, b > 0, gdzie a – prędkość rozmnażania ofiar w przypadku braku drapieżników, człon –bx2 uwzględnia stratę osobników w wyniku działania drapieżników. Populacja drapieżników zmniejsza się w wyniku braku odpowiedniej ilości ofiar, x2^•/ x2 = - c , c > 0 przy x1 = 0, przy x1 > 0 mamy

x2^•/ x2 = - c + dx1 , d > 0. Zatem, zadany układ ma postać :

x1^• = ( a – bx2 )x1 , x2^• = ( -c + dx1 )x2 (4.87)

gdzie : a, b, c , d > 0

Jest to właśnie równanie Volterry-Lotki. Układ (4.87) posiada dwa punkty stałe ( 0, 0) i ( c/d , a/b ). Pierwszy z tych punktów to siodło, dla którego osie x1 i x2 są separatysami, przy czym oś x2 jest stabilna. Układ zlinearyzowany w nietrywialnym punkcie stałym ( c/d , a/b ) posiada centrum, a zatem twierdzenie o linearyzacji nie daje możliwości określenia charakteru tego punktu dla wejściowego układu.

Układ (4.87) posiada całkę pierwszą :

f( x1, x2 ) = x1c e-dx1x2a e-bx2 = g( x1) h(x2 ) (4.88)

( zobacz przykład 3.7.3 )

Funkcje g( x1) i h(x2 ) mają tę samą postać- obie one są dodatnie na pół osi ( 0, ∞ ) i posiadają na niej jedno maksimum.

Typowe wykresy tych funkcji przedstawiono na rysunku 4.17.

Rys. 4.17 Wykres funkcji g(x) i h(x) dla a = 4, Rys. 4.18 Portret fazowy dla układu Volterry-Lotki : b = 2,5 , c = 2 , d = 1. Maksimum osiągane jest x1^• = ( a – bx2 )x1 , x2^• = ( -c + dx1 )x2 przy odpowiednio x = c/d i x = a/b dla a = 4, b = 2,5 , c = 2 , d = 1

Funkcje g(x1) i h(x2) przyjmują wartości maksymalne przy odpowiednio x1= c/d i x2 = a/b, a zatem funkcja f(x1, x2) Przyjmuje wartość maksymalną g(c/d) h(a/b) w punkcie ( x1, x2 ) = ( c/d, a/b ). Zatem poziomice funkcji f(x1, x2) są krzywymi zamkniętymi, otaczającymi punkt ( c/d, a/b ). Trajektorie układu (4.87) pokrywają się z tymi poziomicami i punkt ( c/d , a/b ) jest centrum.

Funkcje g(x1) i h(x2) nie są symetryczne względem swoich wartości maksymalnych, a zatem zamknięte trajektorie nie są elipsami. Obie te funkcje mają krótkie odcinki wzrostu i stosunkowo długie odcinki opadania ( zobacz rysunek 4.17), a to znaczy, że trajektorie mają formę pokazaną na rysunku 4.18. Nie eliptyczna forma trajektorii tego nieliniowego centrum odzwierciedla niecharmoniczny charakter drgań liczebność populacji ( zobacz rys. 4.19 )

Rys. 4.19 Drgania funkcji x1 i x2 otrzymane z portretu fazowego z rys. 4.18

4.3.3 Model Hollinga-Tannera.

Chociaż nietłumione nieharmoniczne drgania spotykane są dla układów nieliniowych o centrum na portretach fazowych, nie jest wiadome czy takie drgania są stabilne względem zaburzenia parametrów danego modelu. W punkcie 4.1 widzieliśmy, że dla oscylatora harmonicznego centrum może być zaburzone nawet przez słabe oddziaływanie, przy tym przekształca się ono w ognisko, to samo można powiedzieć o drganiach prostego wahadła ( zobacz ćwiczenie 25 ) Analogiczna sytuacja ma miejsce w przypadku równań Volterry-Lotki (4.87) – załóżmy, że modyfikujemy je w taki sposób aby uwzględnić konkurencje wewnątrz gatunkową. Na portrecie fazowym zmienionego w ten sposób układu centrum już nie wystąpi, a drgania populacji zanikają. Sposobność do łatwego zaburzenia jest w ogólności

charakterystyczną cechą centrum, mówimy, że są one strukturalnie niestabilne.

Drugą możliwością, przy której w układach nieliniowych pojawiają się nie zanikające drgania, jest obecność cykli granicznych na portretach fazowych takich układów ( zobacz punkt 3.8 ). Cykle graniczne są strukturalnie stabilne, a zatem reprezentują sobą bardziej „stałą” cechę charakterystyczną portretu fazowego danego układu – nie mają one tendencji zanikania przy względnie małych zaburzeniach modelu. Modele nie czułe na małe zaburzenia ich parametrów nazywają się grubymi. Ponieważ większość modeli stanowi idealizacje w których uwagę skoncentrowano tylko na podstawowych zmiennych oraz zależnościach między nimi występujących, to taka postać wrażliwości jest nadzwyczaj ważna.

Układ drapieżnik-ofiara dla dwóch gatunków jest oczywiście właśnie taką idealizacja, a model Volterry-Lotki nie jest gruby. Dlatego też pojawia się zagadnienie czy układ (4.87) odzwierciedla odpowiedni mechanizm drgań liczebności populacji. Model w którym pojawiają się strukturalnie stabilne drgania liczebności populacji dla układu drapieżnik-ofiara jest to model Hollinga-Tannera. Równanie dynamiczne takiego modelu ma postać :

x1^• = r ( 1 – x1K-1 )x1 – wx1x2 ( D + x1 )-1 (4.89)

x2^• = s ( 1 – Jx2x1-1 )x2 (4.89) gdzie : r, s, K, D , J > 0.

Prędkość wzrostu populacji ofiar x1^• jest różnicą dwóch członów :

a) r ( 1 – x1K-1 )x1 – zadającego prędkość rozmnażania ofiar w przypadku braku drapieżników. Człon ten zawiera czynnik odpowiedzialny z konkurencje między gatunkową przy warunkach ograniczonych zasobów

( zobacz punkt 1.2.2 )

b) wx1x2 ( D + x1 )-1 – opisujący wpływ drapieżników.

Aby wyjaśnić postać członu b), należy zrozumieć wpływ drapieżników z użyciem pojęcia „współczynnika drapieżności”.

Jest to liczba ofiar jaką zdobywa jeden drapieżnik w jednostce czasu. W równaniach (4.87) taki współczynnik jest równy bx1. To oznacza, że ilość ofiar, upolowanych przez drapieżnika w jednostce czasu, rośnie nieograniczenie wraz ze wzrostem populacji ofiar. Bardziej rozsądnym wydaje się jednak założenie, że istnieje granica górna współczynnika drapieżności , tj. że drapieżnik zaprzestaje polować, kiedy się naje. Taki fakt uwzględnia się w odpowiedniej postaci członu b), w którym współczynnik drapieżności jest równy wx1( D + x1 )-1 ( zobacz rysunek 4.20)

Rys. 4.20 Wykres drapieżności dla modelu Hollinga-Tannera. Nachylenie w punkcie x1= 0 jest dane przez stosunek w/D w – stałą nasycenia drapieżnika. ( -c + dx1 )x2

Prędkość wzrostu populacji drapieżników x1^• jest taka jak w (4.89), przy założeniu, że ofiary są wystarczająco rzadkie.

Przypuśćmy, że liczba ofiar, koniecznych dla podtrzymania życia jednego drapieżnika jest równa J. Zatem, populacja z x1ofiar może utrzymywać nie więcej niż x1/J drapieżników. Powinniśmy zbudować model w taki sposób, aby liczba drapieżników nie przewyższała wartości krytycznej stosunku x1/J, a to osiągamy przy :

x2^• = x2[ s – ( sJ/x1)x2 ]

Właśnie to równanie zadane jest w układzie (4.89). Izokliny kierunków x1^• = 0 i x2^• = 0 dla równań (4.89) pokazano na rysunkach 4.21.

Rys. 4.21 Izokliny dla układu (4.89) : x1^• = 0 na x2 = rw-1 ( 1 – x1K-1 )( D + x1) , krzywa ta ma maksimum przy x1= ½ ( K – D ) ; x2 = 0 na x1= J-1x1. Przecięcie tych krzywych może zachodzić : a) przy x1> ½ ( K – D ) lub b) przy x1< ½ ( K – D )

Jak widać ze szkicu, istnieje punkt stały o wartościach dodatnich x1 i x2, oznaczymy go ( x1, x2 ) = ( x*1 , x*2 ).

Aby określić charakter tego punktu stałego, dogodnie jest w równaniach (4.89) zmienić skale zmiennych, dzieląc je odpowiednio przez x*1 : y1= x1/ x*1 , y2 = x2/ x*1 Wtedy otrzymamy równania :

y1^• = r ( 1 – y1k-1 )y1 – wy1y2 ( d + y1 )-1 (4.90)

y2^• = s ( 1 – Jy2y1-1 ) y2 (4.90)

gdzie : k = K/ x*1 ,d =D/ x*1

Oprócz tego, na płaszczyźnie y1, y2 punkt stały ma współrzędne :

( y*1 , y*2 ) = ( 1, rw-1 ( 1 – k-1 )( 1 + d ) ) = ( 1, J-1 ) (4.91)

Macierz współczynników układu zlinearyzowanego w punkcie ( y*1 , y*2 ) ma postać :

W = [ r ( – k-1 + w(rJ )-1 ( 1 + d )-2 ) – w( 1 + d )-1 ] (4.92) [ sJ-1 −s ]

Zauważmy, że :

det W = rs[ k-1 + wd(rJ )-1 ( 1 + d )-2 ] > 0 (4.93)

tak, że ( y*1 , y*2 ) nigdy nie może być siodłem. Jednakże podstawiając w(rJ )-1 z (4.91) otrzymujemy, że :

Tr W = r[ w(rJ )-1( 1 + d )-2 ) – k-1] – s = r ( k – d – 2 ) [ k( 1 + d )]-1 – s (4.94) , a to wyrażenie może być zarówno dodatnie jak i ujemne.

Niech φt – będzie operatorem ewolucji dla układu (4.90). Rozpatrzmy φt(k, 0+ ) przy t > 0. Jak pokazano na rysunku 4.22, taka trajektoria powinna obejść wokół punktu stałego i przeciąć izoklinę x1^• = 0 w punkcie A. Zbiór S zawarty między tą trajektorią i częścią izokliny x1^• = 0 między punktami A i ( k, 0 ), jest dodatnio inwariantny.

Rys. 4.22 Zbiory dodatnio inwariantne S, zawierające punkty stałe ( y*1 , y*2 ) i ograniczone trajektorie { φt(k, 0+ ) | t > 0 } oraz część izokliny x1^• = 0 : a) x*1 > ½ ( K – D ), b) x*1 < ½ ( K – D )

Jeśli Tr W > 0 , to ( y*1 , y*2 ) jest niestabilnym punktem stałym i z twierdzenia o linearyzacji wynika, że istnieje pewne otoczenie N punktu stałego, zawarte w S i takim, że S\N – jest zbiorem dodatnio inwariantnym. Jednakże w S\N nie ma punktów stałych i na mocy twierdzenia 3.9.1 w zbiorze tym powinna być zawarta zamknięta orbita. Zatem, jeśli zbiór parametrów ( r, s, k, d ) spełnia warunek :

s = [ r ( k –d – 2 )/k (1 + d )] (4.95)

to na portrecie fazowym układu (4.90) istnieje stabilny cykl graniczny ( zobacz rysunek 4.23 )

Rys. 4.23 Portret fazowy układu (4.90) przy r = (1, 0) , s = 0,2 , k = 7 , d = 1 ; widać stabilny cykl graniczny modelu Hollinga-Tannera

W ćwiczeniu 19 pokazano, ze może się to zdarzyć tylko wtedy, kiedy ( y*1 , y*2 ) leży po lewej maksimum na zerowej izoklinie x1^• = 0. Jest to portret fazowy, odpowiadający rysunkowi 4.22a, nie ma on cyklu granicznego, punkt

( y*1 , y*2 ) jest teraz prostym stabilnym ogniskiem.

W dokumencie Równania różniczkowe zwyczajne. Teoria jako (Stron 82-89)