x1• = - x2 + x1( x12 + x22 ) , x2• = x1+ x2( x12 + x22 ) (3.21) x2• = - x2 - x1( x12 + x22 ) , x2• = x1- x2( x12 + x22 ) (3.22) mają jedną i tą samą linearyzację w początku współrzędnych, ale ich portrety fazowe są jakościowo różne.
Rozwiązanie. Oba układy (3.21) i (3.22) są już przedstawione w postaci (3.2), ponieważ : lim [ x1( x12 + x22 )/ r ] = 0 , lim [ x2( x12 + x22 )/r ] = 0
r→0 r→0
Zatem, linearyzacja obu układów ma postać
:
x1• = - x2 , x2• = x1 (3.23)
układ ten ma centrum w punkcie x1= x2 = 0. Jednakże we współrzędnych biegunowych układ (3.21) przyjmuje postać :
r• = r3 , θ• = + 1 (3.24)
a układ (3.22) – postać :
r• = - r3 , θ• = + 1 (3.25)
Z równania (3.24) widać, że r• > 0 dla wszystkich r > 0 i że trajektorie (3.21) to spirale, rozkręcające się przy wzroście t.
Z drugiej strony (3.25) daje r• < 0 przy r > 0 i trajektorie układu (3.22) to spirale zakręcające się wokół początku współrzędnych przy wzroście t ( zobacz rys. 3.4 )
Rys. 3.4 Portrety fazowe dla układu : a) (3.21) , b) (3.22) , c) ich linearyzacja (3.23)
Zatem, punkt stały jest niestabilny dla (3.21) ,a dla (3.22) stabilny. ( Definicję stabilności i niestabilności podamy dalej ) Jednakże pola wektorowe zarówno tego jak i drugiego układu w dostatecznie małym otoczeniu początku współrzędnych z dowolną dokładnością mogą być przybliżone liniowym polem wektorowym (3.23).
Przykład 3.3.1 pokazuje, że ilościowa bliskość pola wektorowego Y i jego części liniowej nie gwarantuje jakościowej równoważności układu nieliniowego i jego linearyzacji. Twierdzenie o linearyzacji polega na tym, że centrum jest jedynym wyjątkiem. Inaczej mówiąc, jeśli wartości własne układu zlinearyzowanego mają część rzeczywistą różną od zera, to portrety fazowe układu nieliniowego i jego linearyzacji są jakościowo równoważne w otoczeniu punktu stałego.
Takie punkty stałe nazywamy hiperbolicznymi. Niektóre przykłady pokazuje rysunek 3.5
Zauważmy, że analogia między punktami stałymi układów nieliniowych i ich linearyzacją jest bardziej subtelna niż prosta jakościowa równoważność i nie sprowadza się do ostatecznej klasyfikacji punktów stałych na stabilne i
niestabilne, pokazane na rys. 2.11. Wewnątrz stabilnych i niestabilnych klas dla punktów stałych układów nieliniowych można również określić węzły, zdegenerowane węzły i ogniska w taki sposób, że jeśli punkt stały linearyzacji jest węzłem, zdegenerowanym węzłem lub ogniskiem, to taki sam charakter posiada punkt stały wejściowego układu nieliniowego.
Ta ogólna własność hiperbolicznych punktów stałych związana jest ze specjalną postacią ciągłego i wzajemnie jednoznacznego przekształcenia, wiążącego układ nieliniowy i jego linearyzację. Takie odwzorowanie powinno odzwierciedlać ilościową zależność między Y i jego częścią liniową w danym punkcie stałym. W dostatecznie małym otoczeniu punktu stałego powinno ono być w pewnym sensie bliskie odwzorowaniu tożsamościowemu. Własność ta wskazanego ciągłego i wzajemnie jednoznacznego odwzorowania pozwala wykorzystać pewną dodatkową informację o zlinearyzowanym układzie.
Separatysą nazywamy trajektorię, która wchodzi do punktu stałego ( lub wychodzi z niego ), będąc styczną do pewnego ustalonego kierunku. Z tej definicji wynika, że styczne do separatys układu zlinearyzowanego w pewnym punkcie stałym są styczne również do separatys układu nieliniowego.
Rys. 3.5 Nieliniowe portrety fazowe i ich linearyzacja w początku współrzędnych :
a) układ nieliniowy x1• = sin(x1) , x2• = - sin(x2 ) ; b) układ zlinearyzowany dla układu a) : x1• = x1 , x2• = - x2 i jest to siodło. ; c) układ nieliniowy x1• = x1 – x23 , x2• = x2 + x13 , d) linearyzacja układu c) : x1• = x1 , x2• = x2 i jest to niestabilna gwiazda ; e) układ nieliniowy x1• = ½ ( x1 + x2 ) + x12 , x2• = ½ ( 3x2 – x1 ) , f) układ zlinearyzowany dla e) : x1• = ½ ( x1 + x2 ) , x2• = ½ ( 3x2 – x1).
Wszystkie te punkty stałe są hiperboliczne.
Przykład 3.3.2 Zastosować twierdzenie o linearyzacji i narysować portret fazowy układu :
x1• = x1+ 4x2 + ex1 – 1 , x2• = -x2 - x2ex1 (3.26)
w początku współrzędnych.
Rozwiązanie. Składowe pola wektorowego układu (3.26) są dwukrotnie różniczkowalne w sposób ciągły , a zatem możemy zastosować wzór (3.19). Otrzymujemy przy ( x1, x2 ) = ( 0, 0 ) :
A = [ ∂/∂x1( x1+ 4x2 + ex1 – 1 ) , ∂/∂x2 (x1+ 4x2 + ex1 – 1 ) ] (3.27) [ ∂/∂x1( -x2 - x2ex1 ) , ∂/∂x2( -x2 - x2ex1 ) ]
skąd jest jasne, że linearyzacja ma postać :
x1• = 2x1+ 4x2 , x2• = -2x2 (3.28)
Jest to prosty układ liniowy posiadający siodło w początku współrzędnych ( det A < 0 )
Skierowanie separatys zadane są przez wektory własne ( 1, 0 )T i ( 1, -1 )T macierzy A. Odpowiadają one wartością własnym +2, - 2. Ruch po separatysie pierwszego skierowania odbywa się od początku współrzędnych ( separatysa niestabilna ), a po separatysie drugiego skierowania – do początku ( separatysa stabilna ). Zatem niestabilne separatysy leżą na prostej x2 = 0, a stabilne – na prostej x2 = -x. ( zobacz rys. 3.6a)
Rys. 3.6 a) portret fazowy układu (3.26) ; b) jego linearyzacja (3.28). Zauważmy, ze oś x1 jest niestabilną separatysą dla obu układów, ponieważ dla układu (3.26) i dla układu (3.28) x1• = 0 przy x2 = 0. Jednakże stabilne separatysy układu (3.26) i (3.28) stykają się jedynie ze sobą w początku współrzędnych.
Dla układu (3.26) istnieje pewne otoczenie początku współrzędnych w którym nieliniowe separatysy mają postać pokazaną na rys. 3.6a. Wynika to z tego, że na prostej x2 = -x1 słuszne jest dx2/dx1 >< - 1 przy x1 >< 0.
Inne przykłady stykania się separatys układów nieliniowych i separatys ich linearyzacji można znaleźć na rys. 3.5.
Szczególnie interesujący jest węzeł gwieździsty ( rys. 3.5c,d ), dlatego, że zarówno dla układu liniowego jak i dla nieliniowego każda trajektoria jest separatysą tj. każda trajektoria układu nieliniowego przy zbliżaniu się do początku współrzędnych styka się z odpowiadającą jej trajektorią układu liniowego.
Nasze przykłady pokazują, że przy badaniu układów nieliniowych istotne są skierowania separatys odpowiadających linearyzacji. Dają one bowiem skierowania nieliniowych separatys w punkcie stałym. Takie skierowania nazywamy skierowaniami głównymi w danym punkcie stałym i są one standardowo ( tak jak w przykładzie 3.3.2 ) otrzymywane z przekształcenia liniowego, wiążącego układ zlinearyzowany z jego układem kanonicznym.
3.4 Nieproste punkty stałe.
Mówimy, że punkt stały układu nieliniowego jest nieprosty, jeśli odpowiadający mu zlinearyzowany układ jest nieprosty.
Przypomnijmy, że takie układy liniowe mają całą prostą, a niekiedy nawet i całą płaszczyznę punktów stałych. Człony nieliniowe g1 i g2 mogą istotnie zmienić takie zachowanie, zobacz np. rys. 3.7
Charakter lokalnego portretu fazowego określony jest teraz poprzez człony nieliniowe, dlatego też w odróżnieniu od prostych punktów stałych, rozpatrzonych w punkcie 3.3 istnieje nieskończenie wiele różnych typów lokalnych portretów fazowych. Niektóre przykłady pokazujące, że może to zachodzić nawet dla wielomianów o niewielkich stopniach względem zmiennych x1 i x2 pokazują rysunki 3.8 – 3.10. Linearyzacje wszystkich układów przedstawionych na tych rysunkach mają na swoich portretach fazowych w skrajnym przypadku jedną prostą, składającą się z punktów stałych.
Rysunki te pokazują stosunkowo proste nieliniowe pola wektorowe. Linie składające się z punktów stałych mogą pojawiać się również w układach nieliniowych i nie koniecznie muszą to być akurat linie proste i nie zawsze muszą się składać z nieprostych punktów stałych. Rozważmy bowiem przykład układu :
x1• = x1 – x22 , x2• = x2 ( x1 – x22 ) (3.29)
Punkty stałe (3.29) leżą na paraboli x22 = x1. W dowolnym punkcie ( k2 , k ) , k ∈ R linearyzacja ma postać : y• = Ay , gdzie :
A = [ 1 -2k ] (3.30) [ k -2k2 ]
Rys. 3.7 Portrety fazowe : a) dla układu x1• = x12 , x2• = x2 , b) dla linearyzacji tego układu w punkcie ( 0, 0) : x1• = 0 , x2• = x2 ; oś x1 składa się z punktów stałych.
Rys. 3.8 x1• = x1( x1+ 2x2 ), Rys. 3.9 x1• = x1( x1- 2x2 ), x2• = x2( 2x1- x2 ), x2• = x2 ( 2x1 + x2 ); linearyzacja : linearyzacja :
x1= 0 , x2• = 0 x1= 0 , x2• = 0
Rys. 3.10 x1• = -5x22 , x2• = x1+ x22 , Rys. 3.11 Portret fazowy dla układu x1• = x1- x22 , x2• = x2( x1 – x22 ) linearyzacja : x1= 0 , x2• = x1 nieproste punkty stałe leżą na paraboli x22 = x1.
Jest jasne, że det A = 0 dla wszystkich k, tak że punkty stałe są nieproste. Portret fazowy (3.29) pokazano na rys. 3.11.
Na mocy poczynionych uwag nie jest dziwne, że nie istnieje dokładna klasyfikacja nieprostych punktów stałych.
Jednakże przedstawione poniżej definicje stabilności
( stosowane zarówno do prostych jak i nieprostych punktów stałych ) pozwalają dać zgrubną klasyfikacje zachowania jakościowego.
3.5 Stabilno ść punktów stałych.
Można pokazać, że lokalny portret fazowy w otoczeniu dowolnego punktu stałego należy do jednego i tylko jednego z trzech poniższych typów :
asymptotycznie stabilnego, neutralnie stabilnego, niestabilnego.
Definicja 3.5.1 Punkt stały x0 układu x• = X(x ) nazywamy stabilnym, jeśli dla dowolnego otoczenia N punktu x0 istnieje pewne mniejsze otoczenie tego punktu N’ ⊆ N taka, że dowolna trajektoria, przechodząca przez N’ pozostaje w N przy wzroście t.
Definicja 3.5.2 Punkt stały x0 układu x• = X(x ) nazywamy asymptotycznie stabilnym, jeśli jest on stabilny i oprócz tego, istnieje otoczenie N punktu x0 takie, że dowolna trajektoria, przechodząca przez N, dążąca x0 przy t dążącym do nieskończoności.
Ten ostatni typ stabilności spotkaliśmy przy badaniu węzła, zdegenerowanego węzła i ogniska w punkcie 2.3.
Oczywiście definicje 3.5.2 można zastosować również do prostych nieliniowych punktów, rozpatrując odpowiednią linearyzację układu. Przykładowo, nieliniowy układ :
x1• = – x1+ x2 – x13 , x2• = – x1 – x2 + x23 (3.31)
posiada w początku współrzędnych asymptotycznie stabilny punkt stały. Wynika to z tego, że zlinearyzowany układ :
x1• = – x1+ x2 , x2• = – x1 – x2 (3.32)
posiada wartości własne – 1 ± i, tak więc początek współrzędnych jest stabilnym ogniskiem. Istnienie takiego otoczenia początku współrzędnych na płaszczyźnie fazowej układu (3.3.1), której wymaga się w definicji 3.5.1 wynika z
twierdzenia o linearyzacji.
Zauważmy, że dowolny asymptotycznie stabilny punkt stały jest stabilny, ale nie odwrotnie.