5.1 Równanie Lenara.
W niniejszym paragrafie dowiedziemy, że układ :
x1• = x2 – x13 + x1 , x2• = - x1 (5.1)
posiada jeden stabilny cykl graniczny. Zaprezentowaną metodę można zastosować również dla układu o postaci :
x1• = x2 – G(x1) , x2• = - h(x1) (5.2)
gdzie : funkcja G(x1) zachowuje się jak parabola kubiczna x13 + x1 ,a funkcja h(x1) jest nieparzysta. ( zobacz twierdzenie 5.1.2 ). Takie układy odpowiadają równaniom drugiego rzędu o postaci :
x•• + g(x) x• + h(x) = 0 , g(x) = dG(x)/dx (5.3)
które nazywają się równaniami Lenara. Przykładowo, równanie van der Pola :
x•• + ε( x2 – 1) x• + x = 0 , ε > 0 (5.4)
posiada charakterystykę kubiczną G(x1) = ε ( 1/3x13 – x1 ).
Stąd wynika, że posiada on jeden, jedyny stabilny cykl graniczny dla dowolnego ε > 0.
Twierdzenie 5.1.1 Portret fazowy układu :
x1• = x2 – x13 + x1 , x2• = − x1 (5.5)
posiada jeden stabilny cykl graniczny, okrążający niestabilne ognisko.
Dowód. Dowód podzielimy na dwie części.
a) Rozpatrzmy trajektorię przechodzącą przez punkt x0 znajdujący się na dodatniej półosi x2 ( punkt ten na rysunku 5.1 oznaczono literą P ). W punkcie P x1• > 0 , a x2• = 0 i trajektoria φt(x0)
( przez φt oznaczamy potok fazowy układu (5.5) ) przy t > 0 przechodzi na półpłaszczyznę x1> 0.
Rys. 5.1 Przedstawiono izokliny x1• = 0 , x2• = 0, dx2/dx1= 1, jak również trajektorie, przechodzące przez punkty P i S*, dla których OS* = OS.
Przy x1> 0 mamy x2• < 0 tak, że trajektoria obniża się do pewnego punktu Q ( = φtQ(x0 ) ) na izoklinie o kierunku x1• = 0. Kiedy t staje się większe niż tQ trajektoria wchodzi do obszaru, gdzie x1•< 0 i x2• < 0 , a zatem obowiązkowo przecina ona krzywą na której dx2/dx1 = 1, w pewnym punkcie R( = φtQ(x0 ) ). Przy t > tR trajektoria wychodzi do obszaru, gdzie x2 < x13 – 2x1( tj. dx2/dx1 < 1 ). Dlatego prosta o nachyleniu 1, przechodząca przez punkt R, leży
poniżej tej trajektorii. W obszarze, gdzie x2 < x13 – 2x1, obie pochodne x1• i x2• są ujemne, tak, że trajektoria wychodząca z punktu P, powinna przeciąć ujemną półoś x2 w pewnym punkcie S.
Zauważmy, że układ (5.5) nie zmieni się przy odbiciu względem początku współrzędnych : ( x1, x2 ) → ( -x1 , x2 ).
To znaczy, że trajektoria przechodząca przez punkt S, jest symetryczna względem początku układu współrzędnych trajektorii, przechodzącej przez punkt S* na osi x2 takim, że OS* = OS ( zobacz rysunek 5.1 )
Możemy zatem wnioskować, że trajektoria, przechodząca przez punkt P, tworzy spirale, zakręcającą się wokół początku współrzędnych zgodnie z kierunkiem obrotu wskazówki zegara i przecina ona nieskończoną ilość razy oś x2 jeśli tylko punkt S* nie pokrywa się z P ( wtedy to trajektoria jest zamknięta ).
b) Druga część dowodu polega na tym, aby wykazać istnienie jednej i tylko jednej zamkniętej trajektorii, która jest właśnie stabilnym cyklem granicznym.
Niech A – będzie pewnym punktem na dodatniej półosi x2. Niech A’ – będzie pierwszym punktem w którym trajektoria wychodząca z A ponownie przecina dodatnią pół oś x2. Niech OA’ = a’ , wprowadzimy funkcje f : R+ → R , zakładając f(a) = a’ – a Zauważmy, że trajektoria przechodząca przez punkt A, będzie zamknięta ( periodyczna ) wtedy i tylko wtedy, kiedy f(a) = 0 tj. kiedy A = A’. Odwzorowanie f określa zmianę odległości radialnej r do początku współrzędnych w jednym pełnym obrotem.
Jeśli przez r oznaczymy odległość radialną do początku współrzędnych na płaszczyźnie x1, x2, to rr• = x1x1• + x2x2• i dla układu (5.1) mamy :
rr• = x12 ( 1 – x12 ) (5.6)
Niech :
t1 t1
∆ (P0, P1 ) =
∫
rr• dt =∫
x12 ( 1 – x12 )dt (5.7)t0 t0
Wtedy wartość ∆ (P0, P1 ) będzie proporcjonalna do zmiany wielkości r2(t ) dla trajektorii x(t) ={x1(t) , x2(t ) } między punktem P0, odpowiadającym t = t0 i punktem P1, odpowiadającemu t = t1
Niech x(t ) , x*(t) – będą rozwiązaniami, które odpowiadają trajektorii przechodzącej przez punkty A i A1, gdzie OA < OA1 ( zobacz rysunek 5.2 )
Rys. 5.2 Trajektorie, przechodzące przez punkty A i A1 umiejscowione na dodatniej pół osi x2 i punkty ich przecięcia z prostą x1 = 1.
Załóżmy, że te trajektorie przecinają ujemna pól oś x2 w punktach odpowiednio D i D1. Pokażemy teraz, że :
∆ (A1 , D1 ) < ∆ ( A, D ) (5.8)
Krzywe całkowe rozbijają się na trzy odcinki ( zobacz rysunek 5.2 ) : a) AB i A1B1
Przyrost ma w tym przypadku postać : x1=1 1
∆ (A , B ) =
∫
(x1(t) )2 [ 1 – (x1(t) )2 ] dt =∫
[ x12 ( 1 – x12 )/ ( x2 – x13 + x1)] dx1 (5.9) x1 =0 0dokonano tutaj zamiany : dx1 /dt = x2 – x13 + x1.
Analogicznie : 1
∆ (A1 , B1 ) =
∫
[ x12 ( 1 – x12 )/ ( x*2 – x13 + x1)] dx1 (5.10) 0Dla x1 ∈ [ 0, 1 ] mamy x*2 > x2 > x13 − x1, gdzie (x1, x2 ) i ( x1, x*2 ) – punkty odpowiednio na krzywych AB i A1B1 zatem :
∆ (A1, B1 ) < ∆ ( A, B ) (5.11)
b) BC i B1C1
Na odcinkach BC i B1C1 wielkość x2 można przyjąć jako zmienną niezależną i założyć, następujące równania : x1= x1( x2 ) i x1 = x*1(x2 ) ( zobacz rysunek 5.3 )
Rys. 5.3 Odcinki BC i B1C1 dwóch krzywych całkowych, przechodzących przez punkty A i A1.
Wykorzystując oznaczenia z rysunku 5.3 możemy zapisać : x2=c b
∆ ( B, C ) =
∫
(x1(x2 ) )2 [ 1 – (x1(x2 ) )2 ] dt =∫
x1(x2) [ (x1(x2 )2 – 1] dx2 (5.12) x2=b cponieważ x2• = -x1.
Przyrost ∆( B1, C1 ) zadany jest przez takie samo wyrażenie, jak (5.12), ale z funkcją x1•(x2 ) w miejsce x1(x2 ), a odcinek całkowania jest równy [ c1, b1].
Dla dowolnego ustalonego x2 ∈ [c, b] mamy x1•(x2 ) > x1( x2 ) ≥ 1, tak że :
x1•(x2 ) [ ( x*1 (x2 )2 – 1 ] ≥ x1(x2 ) [ ( x1 (x2 )2 – 1 ] ≥ 0 (5.13)
,a ponieważ po prawej stronie równości (5.12) stoi znak minus, mamy :
∆( B1, C1 ) < ∆( B, C ) (5.14)
c) CD i C1D1
Z podobnych rozważań, jakie prowadziliśmy w przypadku a), znajdujemy :
∆( C1, D1 ) < ∆( C, D ) (5.15)
Składając wszystkie trzy otrzymane powyżej nierówności, otrzymujemy :
∆( A1, D1 ) < ∆( A, D ) (5.16)
Z własności symetrii równania Lenara (5.5) można wnioskować, że w obszarze x1< 0 przyrost radialny dla
„zewnętrznych” krzywych jest mniejszy, niż dla krzywych „wewnętrznych”. Zatem, jeśli A’ i A’1 – są punktami powrotu na dodatnią oś x2 trajektorii, przechodzących przez punkty A i A1 , to :
∆( A1, A’1 ) < ∆( A, A’ )
Stąd wynika, że f – jest funkcją zmniejszającą się, tj. jeśli 0 < a < a1 , to f(a1) < f(a). Funkcja f posiada również następujące własności :
1. Początek współrzędnych jest dla układu (5.5) niestabilnym ogniskiem ( zgodnie z twierdzeniem o linearyzacji), tak że f(a) jest dodatnia dla małych a, kiedy punkt A jest bliski do początku współrzędnych.
2. Dla dużych a funkcja f(a) jest ujemna. Przy zwiększeniu a trajektoria, wychodząca z punktu A i idąca do punktu D, przemieszcza się w prawo na rysunku 5.2, ponieważ a = OA.
We wzorze (5.12) zarówno odcinek całkowania jak i funkcja podcałkowa wzrastają ściśle wraz ze wzrostem a.
Stąd wynika, że ∆(B, C) , a zatem i ∆(A, A’ ) dążą do −∞ przy a → ∞.
3. Funkcja f jest ciągła, ponieważ krzywe całkowe w sposób ciągły zależą od warunków początkowych na dowolnych skończonych odcinkach zmienności t.
Zatem istnieje wartość a0 ∈ R , taka że f(a0 ) = 0 , a to oznacza, że istnieje zamknięta trajektoria, przechodząca przez pewien punkt A0 na dodatniej pół osi x2, gdzie OA0 = a0. Oprócz tego, trajektorie z każdej strony dążą do zamkniętej trajektorii przy t → ∞, ponieważ f(a ) >< 0przy a <> a0.
Rozpatrzmy teraz uogólnione równanie Van der Pola (5.3). Założenia zrobione przy okazji wprowadzenia twierdzenia 5.1.2 względem funkcji G(x) i h(x) uogólniają podstawowe własności odpowiednich współczynników w (5.4). To pozwala twierdzić, ze istnieje cykl graniczny i, że możemy tego dowieść tymi samymi metodami, którymi dowiedliśmy twierdzenia 5.1.1.
Wtedy portret fazowy (5.17) zawiera jeden stabilny cykl graniczny, okrążający niestabilne ognisko w początku współrzędnych.
Jeśli spełnione są warunki twierdzenia 5.1.2, to równanie (5.3) nazywa się równaniem Lenara. Warunki te są wystarczające, ale nie konieczne na to, aby istniał cykl graniczny.
5.2 Regularyzacja i niektóre modele ekonomiczne.
Idea, że równania dynamiczne z ograniczeniem można niekiedy regularyzować ( zobacz punkt 4.4 ), przyciągła uwagę uczonych, zajmujących się budową modeli matematycznych. W niniejszym paragrafie opiszemy szereg interesujących modeli cyklu ekonomiki kapitalistycznej, zaproponowanych przez Goodwina ( 1951 ).
Na początku przedstawimy tzw. model gruby zawierający ograniczenia i możliwości przeskoków. Na jego podstawie omówimy istotnie nieliniowy charakter danego zagadnienia. W miarę jak będziemy wprowadzali uściślenia będą wprowadzane mechanizmy, prowadzące do regularyzacji. Jako główny wynik dla końcowego modelu otrzymamy równanie typu Rayleigha ( zobacz ćwiczenie 28 ). Sam proces uściślania modelu będzie pouczający z punktu widzenia modelowania matematycznego, przy czym najbardziej interesującym będzie, w jaki sposób pojawi się charakterystyka z
„składaniem”.
Rozpatrzymy teraz modele ekonomiczne, przy czym będą nas interesowały fluktuacje, odpowiadające wzrostom i spadkom. Rozpoczniemy od tego, że wprowadzimy interesujące nas zmienne i określimy podstawowe zależności występujące między nimi.
Przyjmiemy, że w dowolnej chwili t ekonomika dysponuje podstawowym kapitałem K, jego wielkość zmienia się z prędkością K• , równą stosunkowi inwestycji do zużycia w danym okresie. Źródłem dochodu ekonomicznego jest różnica przychodów Y i wydatków C. Wielkości te związane są ze sobą poprzez zależności :
C = αY + β (5.18)
Y = C + K• (5.19)
Gdzie : α, β – stałe rzeczywiste, takie, że α < 1, β < C.
Z równania (5.18) widać, ze między Y a C istnieje zależność liniowa. Równanie (5.19) pokazuje, ze cała produkcja albo jest zużywana, albo idzie na rozszerzenie dochodu.
Dalej, zakładamy, że kapitałem podstawowy K, zarządzamy tak, aby podtrzymywać go na poziomie proporcjonalnym do wielkości przychodów. Jeśli R jest wymaganym poziomem kapitału podstawowego w chwili t , to :
R = γY (5.20)
γ ∈ R a) Model 1.
Teraz przedstawimy model objaśniające jak w układzie ekonomicznym mogą pojawiać się cykle. Z równań (5.18) i (5.19) wynika, że :
Y = ( β + K• ) / ( 1 – a ) (5.21)
Z zależności (5.21) widać, ze periodyczne zachowanie wielkości Y ( lub K ) może pojawiać się jako następstwo drgań K• Takie drgania pojawiają się jako dążenie do równowagi miedzy K i R ( wymagany poziom kapitału podstawowego ) Załóżmy, że prowadzona jest ekstremalna polityka kapitalizacyjna :