Układy nieliniowe na płaszczy źnie

W niniejszym rozdziale rozpatrujemy portrety fazowe układu x^• = X (x), x = S ⊆ R2 , gdzie X – nieliniowa funkcja różniczkowalna w sposób ciągły. W odróżnieniu od punktów 1.2 i 2.3 te portrety fazowe nie zawsze są określone poprzez charakter punktów stałych danego układu.

3.1 Zachowanie lokalne i globalne.

Definicja. 3.1.1 Otoczeniem N punktu x0 ∈ R2 nazywamy dowolny podzbiór R2 , zawierający okrąg { x | | x – x0 | < r } dla pewnego r.

Definicja 3.1.2 Część portretu fazowego układu, znajdującego się w otoczeniu N punktu x0 , nazywamy zanurzeniem portretu fazowego na N.

Definicje te są zilustrowane na rysunku 3.1 dla prostego układu liniowego. Przy badaniu układów nieliniowych spotykamy się często z ograniczeniem pełnych lub globalnych portretów fazowych na pewne otoczenie punktu x0, które to możemy wybrać dowolnie małe ( zobacz punkt 3.3 ). Takie ograniczenie będziemy nazywali lokalnym portretem fazowym w punkcie x0.

Rozpatrzmy ograniczenie prostego układu liniowego na pewne otoczenie N początku współrzędnych. Istnieje otoczenie N’ ⊆ N takie, że ograniczenie tego portretu fazowego na N’ jest jakościowo równoważne globalnemu portretowi fazowemu prostego układu liniowego. Innymi słowy, istnieje ciągła, wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość między N’

a R2 , odwzorowująca ograniczenie portretu fazowego na N’ na pełny portret fazowy. Wynik ten zilustrowano na rysunku 3.2. W charakterze otoczenia wzięto tam prostokąt { ( x1,x2 ) | a < x1 < b , c < x2 < d ; a, c < 0 ; b, d > 0 }.

Niech N’ – będzie wnętrzem trajektorii krytycznej T, na rys. 3.2b oznaczonej linią przerywaną. Każdą trajektorię na globalnym portrecie fazowym, przedstawioną na rys. 3.2a można przyporządkować pewnej trajektorii ograniczenia N’ i odwrotnie. Jeśli rozpatrzymy ograniczenie węzła stabilnego, pokazane na rys. 3.1b, to wynik nie zmieni się, ale w tym przypadku N = N’.

Rys. 3.1 a) – portret fazowy układu x1^• = - x1 , x2^• = - 2x2 ; b) ograniczenie a) na otoczenie początku współrzędnych N = { x , | | x | < a } , a > 0 ; c) ograniczenie a) na otoczenie N = { x | a < x1, c < x2 < d } , a, b, c, d < 0 pewnego punktu x0 , gdzie x^• ≠ 0. Na rysunku pokazano zakreskowany okrąg o środku w x0, leżący w tym otoczeniu.

Rys. 3.2 a) portret fazowy układu x1^• = 3x1+ 4x2 , x2^• = - 3x1 - 3x2 ; b) ograniczenie a) na otoczenie N = {x1, x2 ) | a < x1 < b , c < x2 < d; a, c < 0 , b, d > 0 }.

Trajektorię krytyczną T pokazano linią przerywaną.

c) ograniczenie na zakreskowane otoczenie N’ = { x | x wewnątrz T }. Ograniczenie to jest równoważne jakościowo a)

Właśnie taką jakościową równoważność portretu fazowego oraz jego ograniczenie mamy na myśli, kiedy mówimy, że portret fazowy prostego układu liniowego określony jest poprzez charakter punktu osobliwego. Innymi słowy lokalny portret fazowy w początku współrzędnych jest jakościowo równoważny globalnemu portretowi fazowemu układu.

Układy nieliniowe mogą posiadać więcej niż jeden punkt stały i często możemy dla każdego z nich zbudować lokalny portret fazowy. Jednakże, jak to pokazuje rys. 3.3 lokalne portrety fazowe nie zawsze określają globalny portret fazowy.

Na wspomnianym rysunku przedstawiono trzy jakościowo różne globalne portrety fazowe, każdy z nich zawiera trzy punkty stałe. Lokalne portrety fazowe w tych ustalonych punktach we wszystkich tych przypadkach są jednakowe.

Rys. 3.3 Jakościowo różne portrety fazowe, zgodne z zadanym lokalnym portretem fazowym w trzech punktach stałych.

Takie portrety fazowe w rzeczywistości pojawiają się dla układów nieliniowych :

x1^• = - αx2 + x1( 1 – x1² – x2² ) – x2 ( x1² + x2² ) (3.1)

x2^• = αx2 + x2( 1 – x1² – x2² ) – x1 ( x1² + x2² ) + β (3.1) przy odpowiednim wyborze parametrów α, β.

Na rysunku 3.3c pokazano jeszcze jedną globalną własność portretów fazowych, która nie wynika z badania punktów stałych. Izolowana zamknięta orbita wokół jednego z punktów stałych nazywa się cyklem granicznym. Znajdowanie cykli granicznych wymaga podejścia globalnego ( zobacz punkt 3.9 )

Zatem, rozpatrywanie układów nieliniowych wymaga zastosowania techniki dogodnej dla badań zachowania zarówno globalnego jak i lokalnego. Zachowanie lokalne badamy z punktach 3.2 – 3.6.1 włącznie, a w punkty 3.6.2 – 3.9 poświecono badaniu zagadnień globalnych.

3.2 Linearyzacja w otoczeniu punktu stałego.

Rozpoczniemy od badania układów nieliniowych, posiadających punkt stały w początku współrzędnych.

Definicja 3.2.1 Przypuśćmy, że układ y^• = Y(y) można zapisać w postaci :

y1^• = ay1 + by2 + g1( y1 , y2 ) (3.2)

y2^• = cy1 + dy2 + g2( y1 , y2 ) (3.2)

gdzie : [ g2( y1 , y2 ) /r ] → 0 przy r = sqrt (y1² + y2² ) → 0 Układ liniowy :

y1^• = ay1 + by2 , y2^• = cy1 + dy2 (3.3)

nazywamy linearyzacją układu (3.2) ( lub układem zlinearyzowany, odpowiadającym układowi (3.2) ) w początku współrzędnych.

Składowe liniowego pola wektorowego układu (3.3) nazywamy częścią liniową układu (3.2).

Przykład 3.2.1 Znaleźć linearyzację następujących układów : a) y1^• = y1 + y1² + y1y2² ; y2^• = y2 + y2^3/2

b) y1^• = y1³ ; y2^• = y2 + y2 sin(y1) c) y1^• = y1² ey2 ; y2^• = y2 ( ey1 – 1 )

Rozwiązanie. Dla każdego układu zestawimy tablicę liczb rzeczywistych a, b, c, d i funkcji g1, g2.

Funkcje gi ( i = 1, 2 ) zadamy we współrzędnych biegunowych, aby łatwiej było sprawdzić warunek :

lim [ gi( y1 , y2 ) /r ] = 0 , i = 1, 2 (3.4)

r→0

Odpowiednio do tego linearyzacja ma postać :

a) y1^• = y1 , y2^• = y2 b) y1^• = 0 , y2^• = y2 c) y1^• = 0 , y2^• = 0

Definicję 3.2.1 można również zastosować do punktów stałych, różnych od początku współrzędnych, wprowadzając współrzędne lokalne. Niech ( ξ, η ) – będzie punktem stałym nieliniowego układu x^• = X (x) , x = ( x1, x2 ).

Dla układu (3.8) interesujący nas punkt stały znajduje się w początku współrzędnych i można w nim dokonać linearyzacji zgodnie z definicją 3.2.1.

Przykład 3.2.2 Pokazać, że układ :

x1^• = ex1+ x2 – x2 ; x2^• = – x1+ x1x2 (3.9)

ma tylko jeden punkt stały. Znaleźć linearyzację układu (3.9) w tym punkcie.

Rozwiązanie. Punkty stałe zadanego układu spełniają równania :

ex1+ x2 – x2 = 0 (3.10)

x1( x2 – 1 ) = 0 (3.11)

Równanie (3.11) jest spełnione tylko przy x1= 0 lub x2 = 1. Jeśli x1 = 0, to (3.10) przekształca się w równanie ex2 = x2 nie posiadające rozwiązań rzeczywistych ( ponieważ ex2 > x2 dla wszystkich x2 rzeczywistych ).

Dlatego przy x1 = 0 nie ma punktów stałych. Jeśli x2 = 1, to (3.10) daje ex1+ 1 = 1, a równanie to ma jedno rozwiązanie rzeczywiste x1 = -1. Zatem (x1, x2 ) = ( -1, 1 ) i jest to jedyny punkt stały układu (3.9).

Aby znaleźć zlinearyzowany układ w punkcie ( -1, 1 ) wprowadzimy współrzędne lokalne y1 = x1 + 1 , y2 = x2 – 1 Otrzymujemy :

y1^• = ey1+ y2 – y2 – 1 ; y2^• = – y1+ y1y2 (3.12)

Układ ten można zapisać w postaci (3.2), rozkładając ey1+ y2 w szereg potęgowy : y1^• = y1 + { [ ( y1 + y2 )2 / 2! ] + [ ( y1 + y2 )3 / 3! ] + … }

y2^• = - y2 + y1y2 (3.13)

Stąd widać, że linearyzacja ma postać

:

y1^• = y1 , y2^• = - y2 (3.14)

Przykład 3.2.2 podpowiada standardowy sposób otrzymywania linearyzacji przy pomocy rozkładu w szereg Taylora.

Jeśli składowe wektora X, Xi ( x1, x2 ) , i = 1, 2 są w sposób ciągły różniczkowalne w pewnym otoczeniu punktu ( ξ , η ), to dla każdego i :

Xi ( x1, x2 ) = Xi ( ξ , η ) + ( x1 − ξ ) (∂Xi /∂x1)( ξ , η ) + ( x2 – η )(∂Xi /∂x2 )( ξ , η ) + Ri ( x1, x2 ) (3.15) Pozostałe człony Ri ( x1, x2 ) spełniają warunek :

lim [ Ri ( x1, x2 )/ r ] = 0 (3.16)

przy czym wartości wszystkich pochodnych brane są w punkcie (ξ , η ).

Zatem, zlinearyzowany układ ma postać y^• = Ay, gdzie :

A = [ ∂X1/∂x1 , ∂X1/∂x2 ] | (3.19)

[ ∂X2/∂x1 , ∂X2/∂x2 ] |(x1, x2 ) = (ξ, η )

Przykład 3.2.3 Otrzymać zlinearyzowany układ (3.9) za pomocą rozkładu X1i X2 w szereg Taylora w otoczeniu ( - 1, 1 ).

Twierdzenie to ustanawia związek portretu fazowego nieliniowego układu w otoczeniu pewnego punktu stałego z portretem fazowym jego linearyzacji.

Definicja 3.3.1 Mówimy, że początek współrzędnych jest prostym punktem stałym układu y^• = X (y ) y ∈ S ⊆ R2 , jeśli odpowiedni zlinearyzowany układ jest prosty.

Definicja ta rozciąga pojęcie prostoty ( zobacz punkt 2.3 ) na punkty stałe układu nieliniowego. Można ją zastosować w tym przypadku, kiedy interesujący nas punkt osobliwy nie znajduje się w początku współrzędnych, wtedy to należy wprowadzić współrzędne lokalne, tak jak w punkcie 3.2

Twierdzenie 3.3.1 ( twierdzenie o linearyzacji ). Niech układ nieliniowy : y^• = X (y )

ma prosty punkt stały y = 0. Wtedy w otoczeniu początku współrzędnych portrety fazowe tego układu i jego linearyzacji są jakościowo równoważne, jeśli tylko punkt stały zlinearyzowanego układu nie jest centrum.

Nie dowodzimy tego ważnego twierdzenia w tej książce. Zainteresowany czytelnik może znaleźć jego dowód w książce Hartmana (1964 )

Twierdzenie o linearyzacji leży u podstaw jednej z podstawowych metod badania układów nieliniowych – metody badania stabilności w przybliżeniu liniowym. Jednakże wielokrotnie myli się samo to twierdzenie i technikę jego zastosowania i dlatego niedocenia się wartości tego twierdzenia.

Przykładowo, można wywieść następujący, błędny wniosek : ponieważ z definicji układu zlinearyzowanego widać, że w dostatecznie małym otoczeniu początku współrzędnych liniowa cześć pola wektorowego Y służy jako ilościowe

przybliżenie dla samego pola Y, to oczywiście że jakościowe zachowanie obu tych pól powinno być jednakowe.

Wniosek ten jest błędny, można się o tym przekonać na przykładzie układu, którego linearyzacja ma centrum ( właśnie ten przypadek jest wykluczony ze sformułowania powyższego twierdzenia ).