Modelowanie odcinkowe

W punkcie 4.4 rozpatrywaliśmy modele, w których równania dynamiczne i ograniczenia zawierają pewne zależności funkcjonalne między zmiennymi. Drugi, na pierwszy wzgląd różne od poprzednich, typ ograniczeń pojawia się w modelach w których działają różne równania dynamiczne na różnych odcinkach czasu lub w różnych obszarach

zmienności zmiennych dynamicznych. Takie modele często można traktować jako złożone z kawałków, pojawiają się w nich kawałkami- ciągłe lub kawałkami – różniczkowalne funkcje czasu.

4.5.1 Omówienie skoków w modelach odcinkowych.

Na pierwszy wzgląd może się wydawać, że nie ma niczego wspólnego między takimi modelami i modelami z

ograniczeniami, które rozpatrywaliśmy w punkcie 4.4, jednakże jak pokazuje następujący przykład, nie zawsze tak jest.

Przykład 4.5.1 Pokazać, że równania dynamiczne z ograniczeniami (4.112), a dokładnie : CvC^• = [ ( € – vC )/R ] – i , vC = f(i)

Otrzymane w przykładzie 4.4.1, są równoważne modelowi, zawierającemu dwa różne równania dynamiczne na różnych odcinkach czasu. Rozpatrzyć charakterystykę napięciowo –prądową neonówki, pokazaną na rys. 4.31, zakładając, ze na CE spełniona jest zależność vN = rjN. Zastosować otrzymane wcześniej równania dynamiczne i znaleźć rozwiązania oscylacyjne dla vC(t), jeśli vC = v2 i i = 0 przy t = 0.

Rozwiązanie. Rozpatrzymy sens założenia o przeskoku, związanego z równaniami dynamicznymi (4.112). Na odcinku CE charakterystyki z rys. 4.31 :

jN = φ(vN ) (4.115)

zatem, na mocy założenia o przeskoku powinniśmy podstawić :

i = { 0 na OA (4.116)

{ φ(vC ) na CE

Zatem, jeśli stan obwodu odpowiada punktowi na OA, to równanie dynamiczne ma postać :

CvC^• = ( € – vC )/R (4.117)

Jednak, jeśli stan odpowiada punktowi na CE, to równanie dynamiczne przekształca się w :

CvC^• = [ ( € – vC )/R ] – φ(vC ) (4.118)

Jeśli vC (0) = v2 i i(0) = 0, to stan początkowy odpowiada punktowi D na odcinku OA i dynamika zadana jest równaniem (4.117). Jest to równanie liniowe ( dokładnie afiniczne ), a jego rozwiązanie ma postać :

vC (t) = € [ 1 – exp( -t/CR) ] + v2 exp( -t/RC) (4.119)

Dlatego napięcie wzrasta i dąży do €.

Aby pojawiły się drgania, powinna być spełniona zależność € > v1 tak, aby przez pewien czas, powiedzmy T1 neonówka stała się przewodnikiem. Stan obwodu przeskakuje w punkt B ∈ CE i rozpoczyna działać równanie dynamiczne (4.118). Jeśli weźmiemy φ(vC ) = vC /r, to równanie (4.118) przyjmuje postać:

vC^• + (vC /CR− ) = €/CR (4.120)

gdzie : R−-1 = R-1 + r-1 Jest to rr liniowe o rozwiązaniu :

vC = ( €R− /R) [ 1 – exp( - τ/CR− )] + v1 exp( - τ/CR− ) (4.121) gdzie : τ = t – T1. Aby pojawiły się drgania wielkość €R− /R powinna być mniejsza niż v2 , tak aby vC ( napięcie przewodzenia teraz zmniejsza się wraz z wzrostem t ) osiągnęło wartość v2 przy τ = T2 ( zobacz rysunek 4.33 ) Przy tej wartości napięcia neonówka przestaje być przewodnikiem i stan ponownie przechodzi skokowo do punktu D, gdzie zaczyna działać równanie (4.117) i vC ponownie rozpoczyna wzrastać.

Rys. 4.33 Nieliniowe drgania „piło-podobne”, otrzymane z liniowych równań różniczkowych (4.117) i (4.118).

Napięcie na kondensatorze w przykładzie 4.5.1 wzrasta do wartości v1 z prędkością określoną przez opór R ( zobacz (4.1119) ) i powraca ( relaksuje ) do v2 z prędkością określoną R− ( zobacz (4.121) ). Jeśli R >> r, to R− ≅ r i relaksacja zachodzi szybciej niż wzrost v2. Jeśli T2 jest wystarczająco małe w porównaniu z T1, to powrót wartości napięcia do v2 zachodzi praktycznie natychmiastowo. Oprócz tego, jeśli wielkość v1 – v2 jest wystarczająco mała w porównaniu z €, to wzrost vC od v2 do v1zachodzi prawie liniowo.

Właśnie takie własności są konieczne dla poprawnego działania oscyloskopu. Okładki x połączone są ze sobą poprzez kondensator, a obrazowany sygnał podawany jest na okładki y. Dlatego strumień elektronów prowadzony jest

równomiernie wzdłuż ekranu oscyloskopu , a następnie szybko powraca do swojego wejściowego położenia, po czym cały cykl się powtarza. Synchronizacja okresu drgań v2 i sygnału pozwala otrzymać przedstawienie sygnału w postaci fal stacjonarnych.

Przykład ten jest szczególnie interesujący, ponieważ nieliniowe drgania piłokształtne, stanowią przykład zjawiska nieliniowego, które może być z powodzeniem modelowanie za pomocą równań liniowych (4.117) i (4.118), każde z których spełnione jest na swoim interwale czasowym.

Dwa typy rozwiązań łączone są ze sobą przy t = T1 i t = T1 + T2 itd. chociaż nachylenie v^•C w tych punktach nie jest ciągłe. Taka utrata ciągłości pojawia się na mocy przeskoku punktów na płaszczyźnie fazowej, tak jak to pokazano na rysunku 4.31. Równania (4.117) i (4.118) określone są na oddzielnych zbiorach DA i BC tego rysunku i właśnie to powoduje przeskoki, a zatem i nieciągłości funkcji v^•C.

4.5.2 Cykl graniczny złożony z rozwiązań równań liniowych.

Istnieje wiele modeli w których zjawiska nieliniowe modelowane są poprzez zszywanie rozwiązań liniowych równań dynamicznych. Bardzo pouczającym przykładem takiej konstrukcji jest zestawienie cyklu granicznego z rozwiązań dwóch równań liniowych, opisujących tłumione drgania harmoniczne.

Niech układ składa się z równań :

x^•• + 2kx^• + ω02x = ω02g , x^• > 0 (4.122)

x^•• + 2kx^• + ω02x = 0 , x^• ≤ 0 (4.123)

gdzie : g ∈ R

Badaliśmy już rozwiązania równania (4.123) w punkcie 4.1. Teraz jedynie rozpatrzymy to równanie przy założeniu ,że 0 < k < ω0, kiedy to układ wykonuje swobodne drgania tłumione o postaci :

x(t) = Re-ktcos(βt + θ ) (4.124)

gdzie : β = ( ω02 – k2 )1/2 .

Na płaszczyźnie fazowej zmiennych x1 = x , x2 = x^•portret fazowy w początku współrzędnych posiada stabilne ognisko.

Rozwiązania równania (4.122) można łatwo otrzymać, dokonując zamiany y = x – g ; równanie dla y będzie miało postać

y^•• + 2ky^• + ω02y = 0 (4.125)

Stąd otrzymujemy, że równanie (4.122) posiada rozwiązania o postaci :

x(t) = g + R−e-ktcos(βt + θ− ) (4.126) a portret fazowy dla (4.122) na płaszczyźnie x1, x2 ma stabilne ognisko w punkcie (g, 0 ).

Aby pokazać, ze układ zestawiony z równań (4.122) i (4.123) ma na swoim portrecie fazowym cykl graniczny, pokażemy, że istnieje dla niego zamknięta trajektoria. Załóżmy, że w pewnej chwili czasu t = t1 punkt fazowy zajmuje położenie ( x1( t1), 0 ) dla x1( t1) > 0 i porusza się on zgodnie z równaniem (4.123) po spirali zakręcającej się wokół początku współrzędnych. Przy wartości t = t1 + π/β znowu przecina on oś x1, ale z drugiej strony licząc od początku współrzędnych ( tj. punkt przebiegający odcinek trajektorii od P do Q na dolnej półpłaszczyźnie z rysunku 4.34 )

Rys. 4.34 Płaszczyzna fazowa układu określonego przez równanie (4.122) i (4.123) o x1 = x i x2 = x^•

.

Pokazano trajektorie wchodzącą z punktu ( x1( t1), 0 ). Przy x2 ≤ 0 taka trajektoria zakręca się wokół punktu (0, 0) ; przy x2 zakręca się ona wokół punktu (g, 0).

Z równania (4.124) otrzymujemy :

x1( t1) = R exp( -kt1) cos(βt1 + θ ) (4.127)

oraz

x1( t1+ π/β ) = R exp[ - k( t1+ π/β ) ] cos( βt1+ π + θ ) = - R exp( -kt1) exp( - kπ/β ) cos( βt1+ θ ) (4.128) Zatem :

x1( t1+ π/β ) = - ρx1( t1) (4.129)

gdzie : ρ = exp( -kπ/β ) < 1

Przy t > t1+ π/β punkt fazowy porusza się na górnej półpłaszczyźnie rysunku 4.34 , a jej ruchem rządzi równanie (4.122).

Punkt przebiega odcinek spirali o centrum w punkcie (g, 0 ) do chwili t = t1+ 2π/β gdy przecina on dodatnią półoś x1w punkcie N. Z równania (4.126) mamy :

x1( t1+ π/β ) – g = R

−

exp[ - k( t1+ π/β )] cos( βt1+ π + θ

−

₎

oraz

x1( t1+ 2π/β ) – g = - R

−

exp[ - k( t1+ π/β )]ρ cos( βt1+ π + θ

−

₎ (4.130) Stosując (4.129) otrzymujemy :

x1( t1+ 2π/β ) – g = - [ - ρx1(t1) – g ] ρ (4.131) Jeśli istnieje zamknięta trajektoria, to powinna istnieć taka wartość x1( t1), przy której punkt N pokryje się z punktem P.

Będzie to miało miejsce, jeśli istnieje dodatnie rozwiązanie równania (4.131), dla którego x1( t1+ 2π/β ) = x1( t1).

Łatwo zauważyć, że istnieje tylko jedno takie rozwiązanie : x1( t1) = g / 1 – ρ = x1(C )

(4.132)

Na mocy tego faktu istnieje jednoznaczna zamknięta trajektoria.

Możemy się przekonać, że taka zamknięta trajektoria jest stabilnym cyklem granicznym, za pomocą następującego rozumowania. Rozpatrzmy trajektorię wychodzącą z dowolnego punktu płaszczyzny x1, x2 i niech x1

−

_{≠ x1}^{(C )} _będzie

x1- współrzędną pierwszego przecięcia tej trajektorii z dodatnią półosią x1. Z równania (4.131) wynika wtedy, że x1- współrzędne punktów przecięcia z dodatnią półosią x1zadane są poprzez zbiór kolejnych wartości :

{ x1

−

_{, g( 1 + ρ ) + ρ2x1}

−

_{, g( 1 +} ρ + ρ2 + ρ3 ) + ρ4x1

−

, ... , g( 1 + ρ + ρ2 + ... + ρ2m-1 ) + ρ2mx1

−

, ... } (4.133)

gdzie : m – liczba pełnych obrotów trajektorii wokół początku współrzędnych.

Ponieważ ρ < 1, istnieje granica wyrażeń (4.133) i jest ona równa sumie postępu geometrycznego : ∞

g ΣΣΣΣρt = g / ρ – 1 = x1(C ) (4.134)

t=0

Zatem, wszystkie trajektorie nawijają się na znalezioną wcześniej zamkniętą trajektorię, możemy zatem wnioskować, że układ posiada jednoznaczny stabilny cykl graniczny.

W dokumencie Równania różniczkowe zwyczajne. Teoria jako (Stron 93-96)