Modele liniowe

Mówimy, że model jest liniowy, jeśli jego równanie dynamiczne jest liniowe. Jak już widzieliśmy w rozdziale 2, takie równania mogą mieć określone jakościowe zachowanie w sposób zupełny. Przykładowo, na płaszczyźnie zachowanie jakościowe należy do jednego z typów wskazanych w punkcie 2.4.

4.1.1 Oscylator mechaniczny.

Rozpatrzmy masę m umieszczoną pionowo na sprężynie ( rys. 4.1 ). Masa ta może przesuwać się tylko wzdłuż osi sprężyny. Oprócz tego masa m związana jest z tłoczkiem poruszającym się w cylindrze wypełnionym cieczą.

Taki układ przedstawia sobą pewną idealizacje budowy amortyzatorów stosowanych w motoryzacji.

Rys. 4.1 Masa m podwieszona pionowo na sprężynie S, która jest umocowana w sposób stały na swoim dolnym końcu.

Masa połączona jest z tłoczkiem P, który porusza się w cylindrze wypełnionym cieczą. Tłoczek ten stanowi element tłumiący ruch masy m.

Niech x – będzie przesunięciem masy m poniżej poziomu równowagi. Załóżmy, że :

a) Sprężyna spełnia prawo Hooke’a, tak, że na masę działa siła Kx, K > 0 skierowana w stronę położenia równowagi.

b) Siła, z którą tłoczek działa na masę ( siła oporu ) jest proporcjonalna do momentu kinetycznego p o współczynniku 2k, k ≥ 0

Przy takich założeniach równania ruchu masy są równaniami liniowymi. Można je zapisać, posługując się następującymi danymi :

a) moment p zadany jest poprzez równanie p = mx^•

b) prędkość zmiany momentu jest równa przyłożonej do masy sile ( drugie prawo Newtona )

p^• = - K ( L + x ) – 2kp + mg (4.1)

gdzie : L – długość sprężyny w położeniu równowagi.

W położeniu równowagi : p^• = p = x = 0, tak więc KL = mg i równanie (4.1) można przepisać do postaci :

p^• = mx^•• = - Kx – 2kmx^•

Zatem, współrzędna x spełnia liniowe rr drugiego rzędu :

x^•• + 2kx^• + ω02x = 0 (4.2)

gdzie : ω02 = K/m > 0

Równoważny układ rr pierwszego rzędu możemy otrzymać, podstawiając :

x1 = x , x^• = x2 ( zobacz ćwiczenie 28, rozdział 1 ) :

x1^• = x2 , x2^• = − ω02x1 – 2kx2 (4.3)

Układ liniowy (4.3) posiada następującą macierz współczynników :

A = [ 0 1 ] (4.4)

[ − ω02 – 2k ]

przy czym Tr A = − 2k ≤ 0 i det A = ω02 > 0. Stąd wynika, że punkt stały w początku współrzędnych na portrecie fazowym układu (4.3) jest zawsze stabilny ( asymptotycznie stabilny przy k > 0 ). Jak pokazano na rysunku 4.2 dla każdej ustalonej wartości ω02 ( tj. współczynnika sprężystości K ) portret fazowy przy wzroście współczynnika k w granicy 0 ≤ k < ∞ przechodzi przez następujące stadia : centrum, ognisko, zdegenerowany węzeł, węzeł. Każdy ze wskazanych typów portretów fazowych daje ruch masy m jakościowo różny od pozostałych.

Rys. 4.2 Lewy górny kwadrat na płaszczyźnie Tr A – det A , gdzie znajduje się macierz postaci (4.4).

Z faktu, że Tr A ≤ 0, wynika stabilność wszystkich portretów fazowych. ( zobacz rys. 2.7 ) (* opis na rysunku – od lewej : węzły, zdegenerowane węzły, ogniska, centra *)

Istnieją cztery przypadki : a) k = 0

W tym przypadku Tr A = 0 i wartości własne macierzy A są czysto urojone : λ1 = - λ2 = iω0

Odpowiedni układ kanoniczny y^• = Jy posiada rozwiązania (2.53) o β = ω0 , a x^• = Ax posiada trajektorie :

( x1(t) , x2(t) ) = ( R cos(ω0t + θ ), -ω0R sin( ω0t + θ ) ) (4.5)

( zobacz ćwiczenie 1 )

Zauważmy, że w naszym zagadnieniu x2(t) = x1^•(t). Zatem, portret fazowy ma postać przedstawioną na rys. 4.3.

Na tym rysunku odzwierciedlono związek między drganiami wielkości x1 i trajektoriami.

Zatem, ruch masy jest ruchem drgającym; współrzędna i prędkość drgają z jednakowym okresem T0 = 2π/ω0 Mówimy, że masa wykonuje drgania swobodne ( nie ma działania sił zewnętrznych ), nie zanikające ( k = 0 ) i, że częstość własna układu jest równa ω0 = K/m.

Rys 4.3 a) Portret fazowy układu x1^• = x2 , x2^• = – ω02x1 ma postać zbioru koncentrycznych elips.

Trajektoria (4.5) przechodząca przez punkt x(0) = ( R cos(θ) , –ω0 R sin(θ) ) odpowiada drganiom, przedstawionym na rysunku b)

b) 0 < k < ω0

W tym przypadku wartości własne macierzy A są równe –k ± i( ω02 – k2 )1/2 ; z (2.52) wynika, że :

x1(t) = R e-kt cos(βt + θ ) (4.6)

gdzie : β = ( ω02 – k2 )1/2 ( zobacz ćwiczenie 1 )

Ruch charakteryzuje się w danym przypadku następującymi własnościami : a) amplituda drgań zmniejsza się wraz ze wzrostem t

b) okres drgań jest równy T = 2π/β > T0

Mówimy, że układ wykonuje swobodne drania zanikające ( tłumione ). Drgania te, jak również odpowiedni portret fazowy przedstawiono na rysunku 4.4.

c) k = ω0

W przypadku, kiedy k → ω0 okres T = 2π/( ω02 – k2 )1/2 dąży do nieskończoności; przy k = ω0 drgania zanikają.

Wartości własne macierzy A są rzeczywiste i równe –k. Osiągamy krzywą na rys. 4.2, na której rozłożone są

zdegenerowane węzły. Taki układ nazywa się układem o tłumieniu krytycznym. W tym przypadku z (2.48) otrzymujemy

x(t) = e-kt ( a + bt , b – k(a + bt ) ) (4.7)

gdzie : a, b ∈ R ( zobacz ćwiczenie 4.1 )

Charakter zależności x(t) od warunków początkowych pokazano na rysunku 4.5a.

Załóżmy, że masa otrzymuje prędkość początkową x2 = - s0 ( s0 > 0 ), a odchylenie początkowe jest dane x1= x0 > 0.

Na portrecie fazowym widać, że jeśli s0 > kx0 ( tj. znajdujemy się w punkcie A przy t = 0 ), to masa przechodzi przez położenie równowagi i zaraz po tym x1 → 0. Jeśli s0 < kx0 ( tj. przy t = 0 znajdujemy się w punkcie B ), to masa nie przechodzi przez położenie równowagi. Zachowanie funkcji x1(t) w obu przypadkach pokazano na rysunku rys. 4.5b.

Rys. 4.4 a) Portret fazowy układu x1^• = x2 , x2^• = – ω02x1 – 2kx2 ; 0 < k < ω0 ; b) wykres funkcji x1(t).

Portret fazowy przedstawia sobą stabilne ognisko.. Na rysunku b) linią przerywaną pokazano obwiednie drgań x1(t) – jest to krzywa Re-kt .

Rys. 4.5 a) Portret fazowy układu x1^• = x2 , x2^• = – k2x1 – 2kx2 ; początek współrzędnych jest zdegenerowanym węzłem. Trajektoria przechodząca przez punkt A, daje x1(t) co odpowiada krzywej 1 na rysunku b), a trajektoria przechodząca przez punkt B daje krzywą 2.

Rys. 4.6 a) Portret fazowy układu x1^• = x2 , x2^• = – ω02x1 – 2kx2 dla k = k1 > ω0 ; b) dla k = k2 > k1 > ω0 Kierunki główne zadane są przez wektory ( 1, λ1 ) , ( 1, λ2 ) ( zobacz ćwiczenie 2 )

d) k > ω0

Wartości własne macierzy A w danym przypadku nie są już równe sobie, ale oba są ujemne :

λ1 = − k + ( k2 – ω02 )1/2 , λ2 = − k − ( k2 – ω02 )1/2 , tak więc początek współrzędnych jest stabilnym węzłem.

Można pokazać, że :

x1(t) = aeλ1t + beλ2t , x2(t) = x1^•(t) (4.8)

a portret fazowy ma postać przedstawioną na rysunku 4.6.

Jeśli k →∞ , to λ1 → 0 , λ2 → −∞ , zatem kierunki główne zbliżają się do osi współrzędnych, tak jak pokazuje to rysunek 4.6. Trajektorie stają się coraz krótsze , a prędkość | x2 | bardzo szybko się zmniejsza. Taki układ nazywa się silnie tłumionym.

Różne ruchy masy, opisywane dla przypadków a) – d) łatwo od siebie odróżnić w układzie zawieszenia auta.

Przypadek silnie tłumiony – to zawieszenie bardzo sztywne, przenoszące nierówności prawie bezpośrednio na nadwozie.

Przypadek słabo tłumiony – auto może „kolebać się na boki”. Oba te skrajne przypadki są niezadowalające z użytkowego punktu widzenia. Oczywiście najdogodniejszym jest układ o tłumieniu krytycznym, dopuszczający nie więcej niż jedno przejście przez położenie równowagi. Czytelnik może się przekonać, że przy obliczaniu zawieszenia motocyklu lub auta zazwyczaj wybiera się właśnie taki wariant.

Równania (4.2) i (4.3) – są najczęściej spotykanymi liniowymi równaniami ruchu. Pojawiają się one w wielu modelach układów zależnych od czasu ( zobacz punkty 4.1.2 i 4.1.3 ). Dla ich rozwiązań charakterystyczne są drgania harmoniczne i tłumienie ( zanikanie drgań ) przy k > 0. Z tego powodu równania (4.2) i (4.3) nazywa się równaniami tłumionego oscylatora harmonicznego.

4.1.2 Układy elektryczne.

Teoria układów elektrycznych stanowi bogate źródło liniowych i nieliniowych równań dynamicznych. Przypomnimy krótko tę teorię dla czytelników, którzy nie mieli jeszcze z nią styczności.

Obwód elektryczny – jest to układ elementów tworzących pewien zamknięty schemat. Oznaczenia dla niektórych typowych elementów obwodów elektrycznych pokazano na rysunku 4.7 wraz z jednostką ich pomiaru.

Rys. 4.7 Wielkości : R ( opór – om ) , L ( indukcyjność – henr ) , C pojemność ( farad ); przyjmiemy, że wielkości te są zawsze większe od zera ( jeśli nie powiedziano inaczej ) i niezależne od t.

E – bateria ( wolty ), E(t) – generator (wolty ) ; są to źródła różnicy potencjałów.

Różnica potencjałów powoduje ruch ładunków elektrycznych w obwodzie. Taki ruch ładunków nazywamy prądem, mierzymy go w amperach i oznaczamy jako j Obwód elektryczny możemy wyobrażać sobie jako zbiór „węzłów”

pomiędzy którymi wmontowano elementy obwodu. Jeśli dany element obwodu znajduje się między węzłami n i m to wiążemy z nim :

a) różnicę potencjałów lub napięcie elektryczne vnm b) prąd jnm

Napięcie jest to różnica potencjałów vnm między węzłem n i m, oraz vnm = -vmn . Analogicznie jnm jest to wartość prądu płynącego między węzłem n i m , oraz jnm = -jmn .

Różnica potencjałów i prąd w różnych elementach obwodu elektrycznego związane są ze sobą.

Różnica potencjałów spełnia napięciowe prawo Kirchhoffa :

Suma (* algebraiczna *) różnicy potencjałów dla dowolnego zamkniętego obwodu (* oczka *) jest równa zeru. (4.9) Prądy spełniają prądowe prawo Kirchhoffa :

Suma prądów wpływających do danego węzła, jest równa sumie prądów wypływających z niego. (4.10)

Oprócz tych fundamentalnych praw istnieją również prawa wiążące prąd, przepływający przez opornik, indukcyjność i pojemność z napięciem występującym na tym elemencie. Jeśli między węzłami n i m znajduje się opornik, to :

vnm = jmn R (4.11)

Jest to prawo Ohma, a taki opór nazywamy omowym.

Ogólnie mówiąc, powyższy związek jest nieliniowy i :

vnm = f (jmn )R (4.12)

Jeśli nie powiedziano inaczej, będziemy przyjmowali, że spełnione jest prawo (4.11) (* liniowe prawo Ohma *)

W przypadku indukcyjności lub pojemności odpowiednie zależności zawierają pochodne po czasie co prowadzi do równań dynamicznych. Poniżej wypisujemy te zależności, wykorzystując oznaczenia, pokazane na rysunku 4.8 :

v = L dj/dt (4.13)

j = C dv/dt (4.14)

Rys. 4.8 We wzorach (4.13) i (4.14) j = jmn , v = vmn ; różnicę potencjałów wybieramy zgodną z kierunkiem j.

Przykład 4.1.1 Znaleźć równania dynamiczne dla układu RLC ( układu rezonansowego ), przedstawionego na rysunku 4.9. Pokazać, że jeśli przyjmiemy : x1= v23 , x2= v23^• , to te równania można zapisać w postaci (4.3)

Rys. 4.9 Układ RLC

Rozwiązanie. Jeśli zadamy prąd j w oczku ( jednym jedynym ), tak jak pokazuje rysunek, to automatycznie będzie spełnione prądowe prawo Kirchhoffa, z napięciowego prawa wynika :

v12 + v23 + v31= 0 (4.15)

Prawa dla oddzielnych elementów obwodu mają postać

:

v12 = jR (4.16)

v31 = L dj/dt (4.17)

C dv23/dt = j (4.18)

Podstawiając (4.15) i (4.16) do (4.17) i podstawiając v23 = v, otrzymując :

dv/dt = j/C , dj/dt = - (R/L) j – (v/L) (4.19)

Niech : x1 = v, x2 = v^• = j/C , wtedy układ (4.19) przyjmuje postać :

x1^• = x2 , x2^• = – ω02x1 – 2kx2 (4.20)

gdzie : ω02 = 1/LC > 0 i 2k = R/L ≥ 0. Układ (4.20) pokrywa się dokładnie z układem (4.3) dla oscylatora mechanicznego.

Fakt, że układy (4.20) i (4.3) są jednakowe, oznacza, że układ RLC jest elektrycznym analogiem oscylatora

mechanicznego. Różnica potencjałów na kondensatorze ( funkcja v = x1) zachowuje się jak funkcja czasu – dokładnie tak jak przemieszczenie masy na sprężynie.

W oczywisty sposób układ (4.20) sprowadza się do równania :

v^•• + 2kv^• + ω02v = 0 (4.21)

Portrety fazowe ukazane na rysunkach 4.3 – 4.6 można przeformułować z użyciem wielkości : x1 = v, x2 = j/C.

Przy zadanych wielkościach L, C napięcie na kondensatorze może drgać bez zmniejszania się ( R = 0), może wykonywać drgania zanikające [ 0 < R < 2(L/C )1/2 ], może być krytycznie tłumione [ R = 2(L/C )1/2 ] lub silnie tłumione

[ R > 2(L/C )1/2 ].

Zauważmy, że znak funkcji j określa kierunek prądu w obwodzie. Jeśli j > 0, to prąd płynie zgodnie z kierunkiem ruchu wskazówek zegara, jeśli j < 0, to prąd płynie przeciwnie ( zobacz rys. 4.9 ).

Rozpatrzmy przykładowo, przypadek kiedy R = 0 i załóżmy, że v(0) = v0 > 0 , j(0) = 0. Z równania (4.5) wynika, że : ( v(t) , j(t)/C ) = ( v0 cos(t/√LC ) ) , − (v0 /√LC ) sin( t/√LC ) ) (4.22) Prąd płynie przeciwnie do wskazówek zegara do chwili t = π √LC, kiedy to :

v( π √LC ) = − v0 i j (π √LC ) = 0 (4.23) Przy dalszym wzroście t wielkość v(t) zwiększa się, a j(t) staje się dodatnia. Ładunki przemieszczają się teraz zgodnie z kierunkiem wskazówek zegara aż do chwili t = 2π √LC, kiedy :

v( 2π √LC ) = v0 i j (2π √LC ) = 0 (4.24) Stan obwodu przy tym może być dokładnie taki sam jakim był on w chwili t = 0 i drgania następują dalej. Łatwo tu rozpoznajemy eliptyczne trajektorie z rys. 4.3a.

4.1.3 Ekonomika.

Mówimy, że układ ekonomiczny jest zamknięty, jeśli cały wyprodukowany produkt jest albo konsumowany, albo zużywany w ramach tego układu ekonomicznego. W takim przypadku eksport i import nie występuje, nie mamy również zewnętrznego dopływu kapitału. Jeśli Y, C , I są odpowiednio produktywnością (podaż) , konsumpcją i dopływem kapitału (inwestycją ) dla pewnego zamkniętego układu ekonomicznego w chwili czasu t, to Y = C + I. W przypadku obecności zewnętrznego dopływu kapitału G układ ekonomiczny przestaje już być układem zamkniętym , wtedy :

Y = C + I + G (4.25)

Konsumpcja wzrasta wraz ze zwiększeniem produktywności :

C = dY = ( 1 – s )Y (4.26)

Gdzie : d, s > 0 – skłonności do konsumpcji i oszczędzania.

Rozpatrzmy teraz układ ekonomiczny, w którym G = G0 = const. W każdej chwili t w ekonomice istnieje popyt D(t) określony przez równoważenie konsumpcji i dopływu kapitału. Zagadnienie polega na tym, aby zbalansować ekonomikę w taki sposób, aby podaż równoważyła popyt tj. D(t) ≡ Y(t). W praktyce jednak podaż nie może natychmiastowo reagować na zmianę popytu. Istnieje pewne opóźnienie τ, które związane jest z czasem koniecznym dla

zreorganizowania fabryki, restrukturyzacji zatrudnienia itp.

Aby zbalansować układ ekonomiczny przy uwzględnieniu opóźnienia, powinniśmy założyć pewne plany na przyszłość i zaplanować podaż tak aby bilansowała ona popyt :

D(t) = ( 1 – s ) Y(t - τ ) + I(t) + G0 (4.27)

W równaniu (4.27) zakładamy, że czas τ nie zmienia się istotnie, tj. I(t - τ ) = I(t). Jeśli teraz uwzględnimy, że :

Y(t - τ ) = Y(t) - τY(t) - τY^•(t) + O(τ2 ) (4.28)

To zobaczymy, że równanie (4.27) oznacza osiągnięcie równowagi z dokładnością do wielkości pierwszego rzędu względem τ przy :

( 1 – s )τY^•(t) = - sY(t) + I(t) + G0 (4.29)

dla wszystkich t ∈ R.

Chociaż wielkość I(t) w czasie rzędu τ nie zmienia się istotnie, nie jest ona stała. Inwestycja zależy od ogólnej tendencji rozwoju podaży. Jedna z możliwych strategii w obszarze inwestycyjnym jest to tzw. „zasada przyrostu” , zgodnie z którą wymagane jest spełnienie zależności : I(t) = aY^•(t) , a > 0. Zależność ta nie może być spełniona ściśle w skutek istnienia opóźnienia, możemy się jednak do niej przybliżyć, jeśli weźmiemy :

I^•(t) = b(aY^•(t) – I(t) ) , b > 0 (4.30)

Równania (4.29) i (4.30) stanowią podstawę dynamicznych modeli ekonomicznych. Można je sprowadzić do bardziej użytecznej postaci, różniczkując (4.29) :

( 1 – s )τY^••(t) + sY^•(t) = I^•(t) = b(aY^• – I ) (4.31)

Ostateczną postać równania otrzymamy, podstawiając I z (4.29) :

( 1 – s )τy^•• + [ s – ba + ( 1 – s )τb ]y^• + sby = 0 (4.32)

gdzie : y = Y – (G0 /s ).

Zatem, różnica między podażą i stałą wielkością G0 /s spełnia równanie (4.2) o :

k = [ s – ba + ( 1 – s )τb ] / [ 2τ ( 1 –s )] , ω02 = sb/ [ τ ( 1 –s ) ] > 0 (4.33) Jeśli wielkość k jest nieujemna, to można wykorzystać analizę przedstawioną w punkcie 4.1.1 portretu fazowego,

oczywiście interpretując odpowiednio zmienne zgodnie z obecnym ekonomicznym ich sensem. W szczególności drgania wielkości Y wokół G0 /s odpowiadają okresom wzrostu ekonomicznego i spadku. Nowe zjawiska pojawią się w tym modelu, jeśli „współczynnik oporu” k, zadany wzorem (4.33) staje się ujemny. To oznacza, ze odpowiadający temu przypadkowi układ pierwszego rzędu :

x1^• = x2 , x2^• = -ω02x1 + 2| k | x2 (4.34)

posiada w początku współrzędnych niestabilny punkt stały. Jakościowe zachowanie w tym punkcie odpowiada zachowaniu układów położonych w pierwszym kwadracie płaszczyzny Tr A – det A, tak jak to pokazuje rys. 2.7.

W takim przypadku szczyty wzrostów zwiększają się wraz ze wzrostem t podobnie jak i doliny spadków. W tych przypadkach konieczne jest sterowanie ręczne ekonomią.

4.1.4 Sprzężone oscylatory harmoniczne.

Rozbicie układów liniowych o wymiarze n > 2 na podukłady o mniejszym wymiarze ( zobacz punkt 2.7 ) służy jako podstawa do analizy pewnych modeli, w których to rozważa się oscylatory sprzężone. Standardowo zakłada się, że drgania są małe, co zapewnia liniowość odpowiednich równań dynamicznych.

Rozpatrzmy zatem dwa jednakowe wahadła, połączone lekką sprężyną tak jak to pokazano na rysunku 4.10.

Rys. 4.10 Dwa jednakowe wahadła o długości a ( o zawieszeniu sztywnym w formie pręta ) ( A i B ) podwieszone w punktach O i O’ i związane są ze sobą poprzez sprężynę o długości L = OO’ o współczynniku sprężystości mλ. Kąty odchylenia od pionu oznaczyliśmy jako θ i φ.

Zbadamy ruch takiego układu na płaszczyźnie pionowej, przechodzącej przez prostą OO’.

Równania dynamiczne można otrzymać, rozpatrując składowe sił prostopadłe do osi zawieszenia wahadeł.

Dla małych drgań otrzymamy :

θ^•• = - (g/a) θ – ( λL/a) ( θ – φ ) (4.35)

φ^•• = - (g/a) φ + ( λL/a) ( θ – φ ) (4.35)

Jeśli zmienimy jednostkę czasu tak, że t sqrt(g/a) przejdzie w t i weźmiemy :

x1 = θ , x2 = θ^• , x3 = φ, x4 = φ^• (4.36)

to równania (4.35) można przepisać jako układ pierwszego rzędu :

x1^• = x2 , x2^• = - x1- α( x1 – x3 ) (4.37)

x3^• = x4 , x4^• = - x3 - α( x1 – x3 ) (4.37)

gdzie : α = λL/g > 0.

Po liniowej zamianie zmiennych :

x’1 = x1 + x3 , x’2 = x2 + x4 (4.38)

x’3 = x1 − x3 , x’4 = x2 − x4 (4.38)

układ (4.37) rozpadnie się na dwa dwuwymiarowe układy. Macierz przekształconego układu ma postać :

(4.39) Bloki diagonalne odpowiadają dwóm nietłumionym oscylatorom harmonicznym, przy czym jeden ma ω0 = 1, a drugi ω0 = sqrt( 1 + 2α ). Oczywiście macierz (4.39) nie jest macierzą Jordana i aby ją sprowadzić do postaci jordanowskiej należy dokonać jeszcze jednej zamiany zmiennych :

x’1 = y1 , x’2 = - y2 (4.40)

x’3 = y3 , x’4 = − sqrt( 1 + 2α) y4 (4.40)

W zmiennych y układ posiada postać y^• = Jy , gdzie :

(4.41) Rozwiązania układu (4.37) są liniowymi kombinacjami rozwiązań układu y^• = Jy i dla różnych warunków

początkowych pojawiają się różnorodne interesujące efekty. Przykładowo : a) θ = φ = 0 ; θ^• = φ^• = v

Z równań (4.36) , (4.38) i (4.40) wynika, że y1 = y3 = y4 = 0 , y2 = -2v lub t = 0 ; wtedy zgodnie ze wzorami (2.53) :

y1 = 2v sin(t) , y2 = -2v cos(t) , y3 ≡ y4 ≡ 0 (4.42) Przechodząc do zmiennych wejściowych, otrzymujemy :

θ = v sin(t) , φ = v sin(t) (4.43)

Zatem, θ ≡ φ i wahadła drgają w jednej fazie o okresie 2π; sprężyna cały czas pozostaje nie rozciągnięta.

b) θ = φ = 0 ; θ^• = -φ^• = v W tym przypadku wahadła drgają z okresem 2π/ sqrt( 1 + 2α ), a różnica faz pozostaje π. Są one cały czas symetryczne względem osi pionowej, przechodzącej przez środek odcinka OO’.

Te dwa specjalne reżimy drgań nazywają się modami normalnymi dla wahadeł sprzężonych. Odpowiadają one tym rozwiązaniom układu kanonicznego (4.41), dla których drgania następują tylko dla jednego z podukładów, podczas gdy rozwiązania drugiego podukładu są tożsamościowo równe zeru. W przypadku a) jedna współrzędna normalna

( y1 = θ + φ

)

drga, podczas gdy druga ( y1 = θ − φ

)

jest tożsamościowo równa zeru. W przypadku b) współrzędne

Załóżmy teraz, że współczynnik sprężystości λ jest wystarczająco mały, tj. 0 < α << 1, tak że sprzężenie jest słabe.

Ponieważ dla dowolnego β ≠ 0 :

sin(t) ± [ sin(β)/ β ] = sin(t) ± sin(βt) ± [ (1/β) –1 ] sin(βt) (4.48)

to θ i φ określone wzorami (4.47) są równomiernie bliskie ku :

θ = ½ v { sin(t) – sin([ sqrt( 1 + 2α(t ] } (4.49)

φ = ½ v { sin(t) + sin([ sqrt( 1 + 2α(t ] } (4.49)

przy czym błąd co do modułu nie przekracza wielkości :

1 – 1 /sqrt( 1 + 2a) = α + O(α2 ) (4.50)

Na koniec, θ i φ ze wzoru (4.49) można przybliżyć przez wyrażenia :

θ = - v cos(t) sin( αt/2) (4.51)

φ = v sin(t) cos( αt/2) (4.52)

Zależność θ i φ od czasu pokazuje rysunek 4.11.

Dla t bliskich zeru, wahadło B wychyla się silnie, a wahadło A wykonuje drgania o małej amplitudzie. W miarę

zwiększania się t amplituda drgań B zmniejsza się, a A wychyla się coraz silniej. Przy t = π/α wahadło B zatrzymuje się, a wahadło A drga z maksymalną amplitudą. Następnie rolę A i B zmieniają się – drgania A zanikają , a drgania B zwiększają się do chwili t = 2π/α. Takie zjawisko odpowiadające periodycznej wymianie energii między dwoma wahadłami za pośrednictwem sprężyny nazywa się dudnieniami. Jest ono charakterystyczne dla ruchu układów słabo związanych.

Rys. 4.11 Zależność od czasu wychylenia θ i φ dla wahadeł sprzężonych ( wzory (4.51) i (4.52) ). Obwiednie :

a) sin(αt /2) dla θ i b) cos(αt /2) dla φ różnią się fazą o ½ π, tak że amplituda drgań wielkości θ osiąga maksimum , kiedy φ jest bliskie zera.

W dokumencie Równania różniczkowe zwyczajne. Teoria jako (Stron 71-80)