Punkty zwyczajne i zachowanie globalne

3.6.1 Punkty zwyczajne.

Dowolny punkt płaszczyzny fazowej, który nie jest punktem stałym układu x^• = X (x ), nazywa się punktem zwyczajnym tego układu. Zatem jeśli x0 – jest punktem zwyczajnym, to X( x0 ) ≠ 0 i na mocy ciągłości funkcji X istnieje pewne otoczenie punktu x0 zawierające tylko punkty zwyczajne. To oznacza, że lokalny portret fazowy w punkcie zwyczajnym nie zawiera punktów stałych. Istnieje ważny wynik dotyczący jakościowej równoważności takich lokalnych portretów fazowych - twierdzenie o wyprostowaniu pola wektorowego lub twierdzenie o rurce trajektorii ( zobacz Hirsh, Smale 1974 ).

Rozpatrzmy lokalne portrety fazowe w typowych punktach zwyczajnych x0 ; portrety te pokazano na rysunkach 3.16 – 3.19 Dla każdego z rozpatrywanych punktów x0 wyróżnione jest pewne specjalne otoczenie nazywane rurką trajektorii.

Trajektorie układu wchodzą w to otoczenie na jednym jej końcu a wychodzą na drugim, ani jedna trajektoria nie może pokonać tego otoczenia przez powierzchnie boczne rurki. Dla każdego z portretów fazowych przedstawionych na rysunkach możemy znaleźć takie nowe współrzędne na płaszczyźnie, ze rurka trajektorii przyjmie postać, pokazany na rysunku 3.16. Przykładowo, na rysunku 3.17 przejdziemy do współrzędnych biegunowych r, θ. Na płaszczyźnie r, θ okręgi ( r = const. ) przekształcają się w proste, równoległe do osi θ, a linie radialne ( θ =const. ) stają się prostymi równoległymi do osi r. Zatem, rurka trajektorii pokazana na rys. 3.17 we współrzędnych biegunowych przyjmuje taką postać jak pokazuje rys. 3.6.

Rys. 3.16 Układ x1^• = 0 , x2^• = 1 z typową rurką Rys. 3.17 Układ x1^• = – x2 , x2^• = x1. We współrzędnych trajektorii. biegunowych jest to układ r^• = 0 , θ^• = 1

Rys. 3.18 Układ x1^• = x1 , x2^• = – x2 Rys. 3.19 Twierdzenie o rurce trajektorii gwarantuje istnienie Przy zamianie zmiennych y1= x1x2 i y2 = ln(x1) układu współrzędnych w którym lokalny portret fazowy w punkcie x1> 0 ma on postać y1^• = 0 , y2^• = 1 x0 przyjmuje postać przedstawiony na rysunku 3.16.

Na rysunku 3.18 trajektorie w otoczeniu punktu x0 leżą na hiperbolach x1x2 = K > 0. Jeśli wprowadzimy zmienne y1 = x1x2 i y2 = ln(x1) , to rurka trajektorii będzie ograniczona poprzez linie współrzędnych y1 = const. y2 = const.

i na płaszczyźnie y1 ,y2 lokalny portret fazowy ponownie ma taką postać jak pokazuje rys. 3.16.

Twierdzenie 3.6.1 ( Twierdzenie o rurce trajektorii lub o wyprostowaniu pola wektorowego )

W dostatecznie małym otoczeniu punktu zwyczajnego x0 układu x = X(x ) istnieje różniczkowalna wzajemnie jednoznaczna zamiana zmiennych y = y(x ), przeprowadzająca wejściowy układ w układ y^• = ( 0, 1 )T Twierdzenie o rurce trajektorii gwarantuje istnienie nowych współrzędnych, o wskazanej powyżej własności, w

skrajnym przypadku w pewnym otoczeniu dowolnego punktu zwyczajnego dowolnego układu. Zatem, wszystkie lokalne portrety fazowe w punktach zwyczajnych są jakościowo równoważne.

3.6.2 Globalne portrety fazowe.

Z pomocą twierdzenie o linearyzacji i twierdzenia o wyprostowaniu pola wektorowego można ustanowić postać lokalnego portretu fazowego w prostych punktach stałych i we wszystkich punktach zwyczajnych. Jednakże informacja taka nie zawsze bywa wystarczająca, aby określić pełny portret fazowy danego układu.

Przykład 3.6.1 Znaleźć i poklasyfikować punkty stałe układu :

x1^• = 2x1– x12 , x2^• = – x2 + x1x2 (3.38)

Spróbować wyjaśnić jakie portrety fazowe są dla niego możliwe.

Rozwiązanie. Dany układ posiada punkty stałe A = (0, 0) i B = (2, 0). Linearyzacja układu w tych punktach daje :

x1^• = 2x1 , x2^• = – x2 w A (3.39)

y1^• = – 2x1 , y2^• = y2 w B (3.40)

Z twierdzenia o linearyzacji wynika, że układ (3.38) ma w A i B siodła. Oprócz tego, nieliniowe separatysy tych siodeł są styczne do kierunków głównych, które w obu tych punktach pokrywają się ze skierowaniami lokalnych osi

współrzędnych.

Informacje te są niewystarczające, aby określić jakościowy typ globalnego portretu fazowego. Przykładowo na rys. 3.20 przedstawiono dwa portrety fazowe, zgodne z zachowaniem trajektorii. Portrety te nie są jakościowo równoważne, dlatego, że punkty siodłowe na rys. 3.20a mają ogólną separatysę, a na rys. 3.20b nie mają. Jest to oczywiście jakościowa różnica – nie istnieje wzajemnie jednoznaczne i ciągłe przekształcenie przekształcające wzajemnie takie portrety.

Powracając do układu (3.38) zauważmy, że x1^• ≡ 0 na prostych x1 = 0 i x1 = 2 tak , że na tych liniach leżą trajektorię.

Oprócz tego x2^• = 0 przy x2 = 0. Uwagi te pozwalają ustanowić rysunek 3.20a daje nam jakościowo prawidłowy obraz portretu fazowego.

Rys. 3.20 Dwa jakościowo różne portrety fazowe zgodne z lokalnymi portretami fazowymi, otrzymanymi z pomocą twierdzenia o linearyzacji.

3.7 Całki pierwsze.

Definicja 3.7.1 Funkcja różniczkowalna w sposób ciągły f : D (⊆ R2 ) → R nazywa się całką pierwszą układu x^• = X (x ), x ∈ S ⊆ R2 ,w obszarze D ⊆ S, jeśli f( x(t) ) jest stała na dowolnym rozwiązaniu x(t) danego układu.

Kiedy całka pierwsza istnieje, to nie jest ona jedyna. Jest jasne, że jeśli f(x ) – jest całką pierwszą, to f(x ) + C lub Cf(x ), gdzie C∈R również są całkami pierwszymi. Stała C w tym przypadku często jest wybierana tak, aby całka pierwsza przyjmowała wymaganą wartość przy x = 0. Trywialne całki pierwsze, tożsamościowo równe pewnym stałym nie będą przez nas rozpatrywane.

Fakt, że f jest całką pierwszą dla układu x^• = X (x ), można wyrazić z użyciem pojęć warunków na pochodne : fx1≡∂f/∂x1 , fx2≡∂f/∂x2

( zakładamy, że one istnieją I są ciągłe ).

Równanie (3.43) spełnione jest we wszystkich punktach obszaru D, tj. pochodna funkcji f w kierunku pola wektorowego X jest tożsamościowo równa zeru w D.

Całki pierwsze są użyteczne w związku z zależnością, która istnieje między ich poziomicami ( określonymi równaniami f(x ) = const. ) i trajektoriami rozpatrywanego układu. Rozpatrzmy dowolną poziomicę LC = { x | f(x ) = C }.

Niech x0 ∈ LC i niech ξ(t) – będzie trajektorią przechodzącą przez punkt x0 płaszczyzny fazowej. Ponieważ f jest całką pierwszą f (ξ(t) ) jest stała , tj. f( ξ(t) ) = f(x0) = C. Odpowiednio, trajektoria przechodząca przez punkt x0 leży na poziomicy LC.

Jeśli f – jest całką pierwszą, to f jest stała na dowolnej trajektorii leżącej w D, tj. dowolna trajektoria jest częścią pewnej poziomicy funkcji f. Stąd wynika, że każda poziomica jest połączeniem pewnych trajektorii. Z jednoznaczności

rozwiązań układu x^• = X (x ) wynika, że jest to suma nie przecinających się zbiorów.

Całka pierwsza nazywa się tak dlatego, że zwykle jest ona otrzymywana poprzez jednokrotne całkowanie rr :

dx2/ dx1 = X2 (x1, x2 )/ X1(x1, x2 ) ; (x1, x2 ) ∈ D’ ⊆ S (3.44)

gdzie : dx2/dx1 podstawiamy z (3.44), a następnie mnożymy przez X1( x1 ,x2 ) co daje nam wzór (3.42).

Oczywiście funkcja X1 nie powinna przy tym zerować się na D’ , inaczej (3.44) nie ma sensu i nie definiuje pochodnej dx2/dx1 , jednakże na postaci (3.42) zero funkcji X1 nie powoduje żadnych trudności. Zatem, jeśli funkcja f(x) jest różniczkowalna w sposób ciągły w pewnym szerszym obszarze D ⊃ D’ i tam spełniona jest równość (3.42), to f jest całką pierwszą układu x^• = X (x ) na D’.

Definicja 3.7.2 Jeśli układ posiada całkę pierwszą ( nietrywialną ) na całej płaszczyźnie R2 ( tj. D= R2 ), to układ ten nazywa się zachowawczy.

równanie to ma rozwiązania spełniające równanie :

x1² + x2² = C , x2 ≠ 0 (3.49)

gdzie : C – stała dodatnia.

Jednakże równość (3.42) przy :

f(x ) = x1² + x2² (3.50)

jest spełnione dla wszystkich x1, x2 ∈ R2 tj. (3.50) jest całką pierwszą układu (3.46) na całej płaszczyźnie, zatem układ (3.46) jest zachowawczy.

Rozpatrzmy teraz układ (3.47), rr :

dx2 /dx1 = x2 /x1 , x1 ≠ 0 (3.51)

posiada rozwiązania :

x2 = Cx1 (3.52)

gdzie C ∈ R. W tym przypadku (3.42) jest spełnione przy :

f(x) = x2/dx1 , x1 = 0 (3.53) tak więc D’ jest płaszczyzną R2 z której wykluczono oś x2. Nie ma żadnego sposobu rozszerzenia obszaru określoności funkcji f.

Jeśli pewna funkcja ciągła spełnia następujące warunki : a) jest ona określona na całej płaszczyźnie x1, x2

b) jest ona stała na dowolnej trajektorii układu (3.47) ( tj. na dowolnym odcinku radialnym i w samym początku współrzędnych )

to jest ona stała tożsamościowo. Wynika to z tego, ze na dowolnym odcinku radialnym możemy znaleźć zbiór punktów { xi }i=1∞ taki, że lim xi = 0

i →∞

Wtedy w związku z ciągłością f (xi ) = f(0 ) dla wszystkich i funkcja f przyjmuje jedna i tę samą wartość we wszystkich punktach każdej linii radialnej. Innymi słowy warunki a) i b) może spełniać tylko funkcja stała na całej płaszczyźnie R2 tj. nie istnieje nietrywialna całka pierwsza na całej płaszczyźnie i (3.47) nie jest układem zachowawczym.

Układy zachowawcze odgrywają ważną rolę z zagadnieniach mechaniki. Równania ruchu w takich zagadnieniach wyrażają się przez ich hamiltoniany. Przykładowo, cząstka która porusza się w jednowymiarowej przestrzeni o współrzędnej x, pędem p i hamiltonianem H(x, p), spełnia równania ruchu :

x^• = ∂H(x, p)/∂p , p^• = - ∂H(x, p)/∂x (3.54)

W tym przypadku H(x, p) jest całką pierwszą układu (3.54), ponieważ : x^• (∂H/∂x) + p^• (∂H/∂p) = dH/dt ≡ 0

( porównaj z (3.42) ) , a zatem hamiltonian H jest stały na trajektorii. Innymi słowy H jest wielkością zachowaną lub stałą ruchu.

Przykład 3.7.2 Znaleźć hamiltonian dla układu :

x^• = p , p^• = - x + x3 (3.55)

i narysować portret fazowy.

Rozwiązanie. Rr :

dp/dx = ( - x + x3 ) / p , p ≠ 0 (3.56)

posiada rozwiązanie spełniające równość :

x2 − ½x4 + p2 + C , p ≠ 0 (3.57)

gdzie : C – stała.

Z (3.42) wynika, że całką pierwszą określoną na całej płaszczyźnie jest :

H(x, p) = x2 − ½x4 + p2

Poziomice pierwszej całki stanowią połączenie trajektorii układu (3.55), tak, że możemy otrzymać globalny portret fazowy (3.55), przedstawiający poziomice H(x, p). Te krzywe pokazano na rysunku 3.21a, a portret fazowy – na rysunku 3.21b.

Rys. 3.21 a) – poziomice funkcji H(x, p) = x2 − ½x4 + p2 Linię L1/2 = { x | x² – ½x⁴ + p2 = ½ } zaznaczono linią pogrubioną. b) – trajektoria układu (3.55). Orientacje można ustanowić jeśli zauważyć, że x^• > 0 przy p > 0 i x^• < 0 przy p < 0.

Można pokazać, że dowolna poziomica jest połączeniem kilku trajektorii. W tym celu rozpatrzymy poziomicę L1/2 = { x | x² – ½x⁴ + p2 = ½ } funkcji H(x, p). Takie zbiór punktów pokazano na rys. 3.21a grubą kreską. Na rys.

3.21b widać, że ta linia składa się z ośmiu trajektorii.

Zauważmy jeszcze, że zlinearyzowany układ dla (3.55) posiada centrum w początku współrzędnych, tak, że twierdzenie o linearyzacji nie pozwala otrzymać lokalnego portretu fazowego w tym punkcie.

W istocie zatem, rozpatrzenie całek pierwszych jest jednym z podstawowych sposobów określenia centrów dla układów nieliniowych.