g ΣΣΣΣρt = g / ρ – 1 = x1(C ) (4.134)
t=0
Zatem, wszystkie trajektorie nawijają się na znalezioną wcześniej zamkniętą trajektorię, możemy zatem wnioskować, że układ posiada jednoznaczny stabilny cykl graniczny.
Przykład 4.5.2 Rozpatrzmy obwód elektryczny pokazany na rysunku 4.35.
Rys. 4.35 Obwód elektryczny realizujący równania (4.122) i (4.123)
Zawarte są w nim dwa nowe elementy : trioda T. Bańka szklana ( w środku której panuje próżnia ) wyposażona w trzy elektrody, dołączone do węzłów 1, 2, 3. Kiedy pojawia się różnica potencjałów między węzłami 2 i 1 poprzez triodę przepływa prąd, jednakże wielkość tego prądu jest funkcją ( oznaczymy ją jako f ) różnicy potencjałów między węzłami 3 i 1. Funkcja ta nazywa się siatkową charakterystyką triody. Ponieważ prądy j, i pokazane na rys. 4.35 sprawiają prawo Kirchhoffa, mamy :
i + j = f(v31 ) (4.135)
Źródłem napięcia v31 jest drugi nowy element danego obwodu – indukcyjność (wzajemna) M
(* rodzaj transformatora *). Element ten składa się z dwóch indukcyjności L , L’, umieszczonych na wspólnym karkasie.
Zmiana prądu i w cewce L powoduje powstanie napięcia M di/dt w cewce L’, tj. :
v31 = M ( di/dt) (4.136)
gdzie : M – pewna stała dodatnia (* określająca sprzężenie magnetyczne między cewkami L i L’ *) Musimy znaleźć równania dynamiczne rządzące prądem przepływającym przez opór R.
Rozwiązanie. Jeśli vL , vR , vC – będą różnicami potencjałów na odpowiednich elementach ( o kierunku zgodnym z kierunkiem przepływu prądów i, j ), to prawo Kirchhoffa dla napięć, jak również własności elementów L, C, R dają nam równania o postaci :
Stąd można wnioskować, że trioda o nieciągłej charakterystyce siatkowej może realizować równania dynamiczne (4.122) i (4.123).
Ćwiczenia.
Do punktu 4.1
1. Wypisać układ kanoniczny y• = Jy dla równania oscylatora harmonicznego : x1• = x2 , x2• = - ω02x1 – 2kx2
przy :
a) k = 0 , b) 0 < k < ω0 , c) k = ω0 , d) k > ω0
Znaleźć również rozwiązania układu kanonicznego. Nie znajdując jawnej postaci macierzy przejścia M, pokazać, że rozwiązania na płaszczyźnie x1, x2 mają postać zadaną przez równania (4.5) – (4.8).
2. Narysować portret fazowy dla układu kanonicznego y• = Jy , odpowiadającego krytycznie tłumionemu oscylatorowi harmonicznemu :
x1• = x2 , x2• = - k2x1 – 2kx2 Pokazać, że x = My, gdzie : M = [ 1 0 ]
[ -k 1 ]
i znaleźć kierunki główne w początku współrzędnych. Z pomocą znalezionych kierunków i metody izoklin narysować portret fazowy na płaszczyźnie x1, x2 . Czy pokrywa się on z portretem fazowym z rysunku 4.5a ?
3. Rozpatrzyć silnie tłumiony oscylator harmoniczny : x1• = x2 , x2• = - ω02x1 – 2kx2 , k > ω0.
Wypisać układ kanoniczny y• = Jy. Znaleźć kierunki główne w początku współrzędnych i zbadać ich zachowanie przy k →∞. Pokazać, że dla dużych k trajektorie na płaszczyźnie x1, x2 są prawie pionowe wszędzie, oprócz bezpośredniego otoczenia osi x1.
4. Rozpatrzyć obwód elektryczny zawierający trzy elementy : indukcyjność L, pojemność C i opór liniowy R, które to są włączone równolegle miedzy dwa węzły. Pokazać, że prąd przepływający przez indukcyjność, spełnia równanie
tłumionego oscylatora harmonicznego. Znaleźć współczynnik tłumienia k i częstość własną ω0.
Przy założeniu, że wielkości L i R są ustalone, znaleźć warunek na C, przy którym prąd przepływający przez indukcyjność wykonuje drgania tłumione.
5. Rozpatrzyć obwód elektryczny przedstawiony poniżej
Niech :
v13 = E(t) = { 0 dla t ≤ { E0 dla t > 0
Pokazać, że prąd płynący przez opór R , przy t > 0 zadany jest wzorem : iR = (E0/R ) ( 1 – e-Rt/L )
6. Obwód elektryczny składają się z kondensatora C i oporu liniowego R połączonych równolegle między węzły.
Dowieść, że różnica potencjałów na oporze dąży wykładniczo do zera niezależnie od jej wartości początkowej.
7. Możemy podać następujący model wyrównywania cen w stosunku do aktywów. Zakładamy, że zmiana aktywów (q) jest proporcjonalna do różnicy między podażą (s) a popytem (u) , tj. :
q• = k( s – u ) , k > 0
Zmianę cen (p) przyjmujemy proporcjonalną do odchylenia od aktywów q od pewnego ustalonego poziomu q0 tak, że : p• = -m ( q – q0 ) , m > 0
Zakładając, że obie funkcje s, u są afinicznymi funkcjami p• otrzymać rr drugiego rzędu dla p.
Pokazać, że jeśli u > s przy p = 1 i ds/dp > du/dp, to p wykonuje drgania zależne od czasu.
8. Pewna populacja komórek zawiera komórki o dwóch i czterech chromosomach. Dynamika tej populacji modelowana jest przez równanie :
D• = ( λ – µ )D , U• = µD + νU
Gdzie : D, U – liczby komórek o odpowiednio dwóch i czterech chromosomach.
Niech przy t = 0 D = D0 i U = U0 , znaleźć ilość komórek dwu chromosomowych w populacji jako funkcje czasu.
Pokazać, ze przy t →∞ ilość ta dąży do pewnego poziomu nasycenia, niezależnego od D0 i U0 , jeśli λ > µ + ν 9. Ruch cząstki P na płaszczyźnie o współrzędnych x, y zadany jest przez rr :
x•• = - ω2x , y•• = - y
Narysować wykres funkcji parametrycznej ( x(t), y(t) ) na płaszczyźnie x, y, jeśli x(0) = 0 , x• = 1, y(0) = 0 dla ω = 1, 2, 3. ( takie równania dynamiczne realizują się w oscylatorze biharmonicznym )
10. Trzy sprężyny ( każda posiada długość własną ł i stałą sprężystości k ) oraz dwie masy m połączono tak jak pokazano poniżej, na gładkim poziomym stole.
Końce A, B są ustalone, a masy przemieszczono po prostej łączącej A i B , a następnie puszczono swobodnie.
Niech x1 i x2 – będą odchyleniami od położenia równowagi, odpowiednio pierwszej i drugiej masy ( kierunki dodatnie odchyleń pokrywają się ).
Pokazać, że równania ruchu mas mają postać : mx1•• = k ( - 2x1+ x2 ) , mx2•• = k ( x1 – 2x2 ) Zapisać te równania w postaci macierzowej :
x•• = Ax , gdzie x = ( x1, x2 )T i znaleźć liniową zamianę zmiennych x = My taką , że układ y•• = Dy posiada macierz diagonalną D. Następnie znaleźć współrzędne normalne i opisać mody normalne drgań wskazanych dwóch mas.
Ćwiczenia do punktu 4.2
11. W najprostszym modelu narodowej ekonomiki mamy :
I = I – αC , C• = β( I – C – G ) , gdzie I – jest dochodem narodowym, C – rozmiarem wydatków , G – rozmiar wydatków celowych.
Model ten odnosi się tylko do obszaru naturalnej zmiany zmiennych , tj. I ≥ 0, C ≥ 0, G ≥ 0 , a stałe α, β spełniają warunki 1 < α < ∞ , 1 ≤ β < ∞.
a) Pokazać, ze jeśli poziom wydatków celowych jest stały G = G0, to istnieje stan równowagi. Określić charakter punktu stałego przy β = 1 i pokazać, że wtedy ekonomika wykonuje drgania.
b) Niech wydatki celowe związane będą z dochodem narodowym zależnością : G = G0 + kI.
Znaleźć granicę górną A dla współczynnika k, poniżej której istnieje położenie równowagi w naturalnym obszarze zmienności zmiennych. Opisać położenie i charakter tego punktu stałego dla β > 1 przy przybliżaniu k do wartości krytycznej A. Wykorzystać wzór (1) i otrzymać następujące wzory :
Następnie pokazać, że :
( ω2I + A2 )P = A [ 0 ] + e-At { [ 0 ] – A[ 0 ] } [ 1 ] [ ωsin(ωt) ] [ cos(ωt) ] i otrzymać równanie (4.59).
13. Rozpatrzyć obwód elektryczny, pokazany poniżej, w którym u(t) – napięcie na wejściu w punkcie A, y(t) – napięcie na wyjściu w punkcie B.
Otrzymać równanie dynamiczne :
R2C2 y••(t) + 5/2 RC y•(t) + y(t) = u(t)
I sprowadzić go do równoważnego układu pierwszego rzędu : dx1/dτ = x2 , dx2/dτ = - x1 – 5/2x2 + u( RCτ )
gdzie : RCτ = t , a x1= y.
Następnie pokazać, że napięcie na wyjściu jest równe : t
ys (t ) = (2/3RC )
∫
[ e(s – t )/2RC – e2(s – t )/RC ] u(s) ds t0przy dowolnych wartościach początkowych y(t0 ) i y• (t0 ) 14. Rozpatrzyć obwód elektryczny przedstawiony poniżej.
Otrzymać rr dla prądów i1, i2 a następnie znaleźć ich wartości. Obliczyć amplitudę j0 dla prądu j. Pokazać, że impedancja Z( = E0/j0 ) obwody LCR ( układu oscylacyjnego ) między punktami A i B zadana jest wzorem : Z = (L/C) / { R2 + [ ωL – (1 /ωC ) ]1/2 }
Gdzie : R jest małe w porównaniu z ωL.
Narysować wykres Z jako funkcji ω i znaleźć częstość rezonansową obwodu RLC.
Ćwiczenia do punktu 4.3
15. Zbadać charakter punktów stałych modelu, opisującego konkurencje gatunków : x1• = ( 2 – x1 – 2x2 ) x1 , x2• = ( 2 – 2x1 – x2 )x2
wskazać ich położenie i znaleźć izokliny x1• = 0 , x2• = 0 na płaszczyźnie x1, x2.
Znaleźć kierunki główne w punktach stałych, narysować portret fazowy i zinterpretować go z użyciem pojęć zachowania gatunków.
16. Zbadać zachowanie punktów odosobnionych układu, opisującego konkurencje gatunków : x••1 = ( 1 – x1 – x2 )x1 , x2• = ( ν – x2 – 4ν2x1 )x2 , x1, x2 > 0
przy zmianie parametru ν ,dla wszystkich ν > 0.
Pokazać, że liczba i charakter punktów stałych zmienia się przy ν = ¼ i ν = 1.
Narysować typowe portrety fazowe dla ν w interwałach ( 0, ¼ ), ( ¼ , 1 ) , ( 1, ∞ ).
17. Rozpatrzyć równania typu ofiara –drapieżnik z poprawką „logistyczną” : x•1 = x1( 1 – x2 – αx1) , x2• = – x2 ( 1 – x1 + αx2 )
dla 0 ≤ α < 1.
Pokazać, że nietrywialny punkt stały, który jest centrum przy α = 0, przy 0 < α < 1 przechodzi w stabilne ognisko.
Narysować portret fazowy.
18. Niech ( x1(t), x2(t ) ) – będzie okresowym rozwiązaniem równań typu ofiara- drapieżnik : x•1 = x1( a – bx2 ) , x2• = – x2 ( c – dx1 )
Określić wartość średnią zmiennej xi jako : T
xi śr = ( 1/T )
)∫
xi(t ) dt0
gdzie : T – jest okresem rozwiązania.
Pokazać, że :
X1 śr = c/d , x2 śr = a/b
Załóżmy, że równania dynamiczne zostały zmodyfikowane – dodano człony odpowiadające zanikowi części populacji Mianowicie do x•i dodano człony εxi, ε > 0. Takie człony pojawiają się np. przy opisie wpływu rybołówstwa na populacje ryb. Jaki jest wpływ takich członów na wartości średnie xi śr ?
19. Pokazać, że punkt stały ( 1, J-1 ) modelu Hollinga-Tannera (4.90) jest stabilny, jeśli izoklina y2• = 0 przecina parabole y1• = 0w okolicach jej maksimum. Następnie pokazać, że jeśli portret fazowy tego modelu zawiera tylko jeden cykl graniczny i jest on stabilny, to izoklina y2• = 0 powinna przecinać parabole po lewej stronie jej maksimum.
20. Model populacji, zależnej od jej wzrostu, zadany jest przez równania : P• = - µ(P)P + B , B• = [ γ – µ(P) ]B , γ > 0
Gdzie : P – rozmiar populacji, B –współczynnik rozmnażania.
Dowieść, że wszystkie trajektorie leżą na prostej B = γP niezależnie od wyboru funkcji µ(P). Zbadać portret fazowy dla przypadku µ(P) = b + cP, gdzie : b < 0 , c > 0.
Pokazać, że dla wszystkich dodatnich wartości początkowych zmiennych, populacja i poziom jej rozmnażania stabilizuje się przy pewnych niezerowych wartościach.
21. Znaleźć całkę dla ogólnego modelu epidemii : x• = -2xy, y• = 2xy – y
gdzie : x – liczba wyzdrowiałych , b – liczba zachorowań – obie wielkości w odpowiednich skalach.
Narysować portret fazowy dla obszaru x, y ≥ 0. Pokazać, że liczba zachorowań osiąga maksimum, równe c0 – ½ [ 1 + ln(2)] , przy x = ½ , gdzie c0 – ogólna liczba chorych i wyzdrowiałych przy x = 1.
Jak rozwija się epidemia ?
22. Niech w ćwiczeniu 21 liczba wyzdrowiałych rośnie ze stałą prędkością, tak, że : x• = - 2xy + 1 , y• = 2xy – y
Pokazać, że ten nowy układ posiada stabilny punkt stały w obszarze x, y > 0.
Jak dodatkowy człon wpływa na rozwój epidemii ? 23. Układ S• = - rIS , I• = rIS – γI, R = 1 – S – I
( r, γ > 0 ) opisuje jak pośród pewnej populacji rozprzestrzenia się choroba, pozostawiająca po sobie pewien okres odporności, Niech S, I, R – będą odpowiednio częściami populacji, których osobniki są zdrowe, zainfekowane, odporne.
Niech σ = r/γ i załóżmy, że S = S0 , I = I0 i R = 0 przy t = 0. Dowieść, że : a) jeśli σS0 ≤ 1 , to I(t) zmniejsza się i dąży do zera.
b) jeśli σS0 > 1, to I(t) wzrasta do wartości maksymalnej 1 – [ 1 + ln(σS0 )] /σ, a następnie zmniejsza się do zera.
Pokazać, że zarówno w przypadku a), jak i b) liczba zdrowych S(t) przy t →∞ dąży do wartości SL , gdzie SL – jedyny pierwiastek równania SL = (1/σ) ln(SL /S0 ) + 1 na odcinku ( 0, 1/σ ).
24. Najprostszy model dynamiki molekularnej w komórce opisuje X – liczbę transportowanego kwasu
rybonukleinowego i Y – liczbę odpowiedniego enzymu. Równania dynamiczne mają w tym przypadku postać : X• = [ a / ( A + kY ) ] – b , Y• = αX – β , a > bA
Gdzie : A, k, a, b, α, β – stałe dodatnie.
Dowieść, ze wielkości X, Y wykonują nie zanikające drgania, zależne od czasu.
25. Zbadać punkty stałe równania ruchu prostego wahadła : x1• = x2 , x2• = - ω02 sin(x1)
gdzie : ω02 = g/L, g - przyspieszenie sił ciążenia, L – długość wahadła.
Znaleźć całkę pierwszą i narysować portret fazowy zadanego układu. Zakładając, że do x2• dodano człon tłumiący –2kx2, określić charakter punktów stałych układu przy małym k > 0 i narysować portret fazowy. Zinterpretować oba portrety fazowe jako charakterystyki ruchu wahadła.
26. Zachowanie prostej dynamo- maszyny opisywane jest przez układ równań : x• = - µx + xy , y• = 1 – νy – x2 , µ, ν > 1
gdzie : x - prąd wyjściowy z maszyny, y – prędkość kątowa obracającego się wału.
Dowieść, że dla µν > 1 mamy jeden punkt stały A w punkcie ( 0, ν-1 ), a dla µν < 1 punkt A jest siodłem, stabilne punkty
b) nie tłumionemu oscylatorowi harmonicznemu przy ε = 0
Otrzymać układ we współrzędnych biegunowych, równoważny układowi (1), gdzie x1 = r cos(θ), x2 = r sin(θ) i znaleźć wyrażenie dla dr/dθ.
jest wielkością pierwszego rzędu małości względem parametru ε.
Oszacować tą całkę i wyjaśnić dlaczego z tego wyniku możemy wnioskować, ze istnieje stabilny cykl graniczny o promieniu w przybliżeniu równym 2.
28. a) Pokazać, że równanie Van der Pola można otrzymać przez różniczkowanie po czasie równania : x•• + ε ( 1/3 x•3 – x• ) + x = 0
jeśli podstawimy y = x•. Pokazać również , że oba równania można sprowadzić do jednego i tego samego układu pierwszego rzędu.
b) Rozpatrzyć reprezentacje Lenara : x1• = x2 – ε ( 1/3 x13 – x1 ) , x2•• = - x1
dla równania Van der Pola. Pokazać, że można wykonać charakterystykę niezależną od parametru ε, wybierając nową skalę dla zmiennej x2 i zakładając x2 = εω. Narysować portret fazowy oscylatora Van der Pola na płaszczyźnie x1, ω przy ε → ∞.
29. Niech opór R o charakterystyce napięciowo-prądowej j = v3 – v połączono z indukcyjnością L, tak, że tworzą one razem zamknięty obwód. Wykorzystując oznaczenia z poniższego rysunku, pokazać, że dynamika obwodu określona jest przez równanie :
L (djL/dt ) = vL Gdzie jL = vL – vL3
Zmodyfikować ten obwód, włączając do niego w odpowiedni sposób kondensator o małej pojemności i pokazać, że w odpowiadającym mu równaniach mogą pojawiać się drgania.
Ćwiczenia do punktu 4.5
30. Model populacji w której mogą pojawiać się epidemie, można zbudować w następujący sposób. Na początku populacja rozwija się zgodnie z równaniem :
p• = ap – bp2 (1)
I jej liczba rośnie do wielkości Q < a/b. Kiedy populacja osiąga taki rozmiar pojawia się w niej epidemia i jej rozwój następuje według innego równania :
p• = Ap – Bp2 (2)
gdzie : Q > A/B. Liczebność populacji zmniejsza się do poziomu q, gdzie A/B < q < a/b, przy osiągnięciu tego poziomu, wzrost populacji ponownie rządzi się równaniem (1) itd.
Narysować wykres funkcji p(t), ilustrujący fluktuacje populacji w zależności od czasu. Pokazać, że czas T1 w jakim populacja wzrasta od q do Q, zadany jest wzorem :
T1 = (1/a) ln[ Q( a – bq )/ q( a – bQ ) ]
Znaleźć czas T2 który jest konieczny aby liczebność populacji zmniejszyła się od Q do q pod działaniem równania (2) i znaleźć okres cyklu zmienności populacji.
31. Model cyklu ekonomicznego zadany jest przez równanie : Y•• – φ( Y• ) + kY = 0 ; 0 < k < 2
Gdzie : Y – wymiana dochodu. Funkcja φ spełnia warunek φ(0) = 0 i φ(x) → L przy x →∞ oraz φ(x) → - M przy x →∞, gdzie M – intensywność wypływu kapitału, L – pewien parametr ekonomiczny.
Przy idealizacji danego zagadnienia funkcja φ spełnia warunki : φ(0) = 0 ; φ(y) = L , y > 0 ; φ(y) = - M , y < 0
Narysować portret fazowy zadanego rr. Pokazać, ze Y drga ze stałą amplitudą i okresem.
32. Model ekonomicznego rozwoju zadany jest przez równanie : Y•• – 2Y• + Y = G(t), gdzie : Y(t) – dochód, , G(t) wydatki celowe.
Funkcja G(t) ma następującą postać : G(t) = 0 , 0 ≤ t < 1 i G(t) = G0 , t ≥ 1.
Pokazać, że istnieje krzywa Y = Y1(t), posiadająca następujące własności : 1) Y1(0) = 0
2) Y1(t) wzrasta przy t ∈ [ 0, 1 ] do wartości maksymalnej G , gdzie Y1• = 0 3) Y1(t) = G0 , t ≥ 1
Zbadać długofalowy wpływ na Y(t) przy tych warunkach początkowych 1, 2 które spełnia Y1(t), jeśli wydatki celowe zaczynają się dużo później niż t = 1.
33. Rozpatrzyć ciężar o masie m, której ruch odbywający się na taśmociągu ograniczony jest przez sprężynę, tak jak pokazuje rysunek poniżej.
Załóżmy, że taśmociąg porusza się ze stałą prędkością v0. Niech x(t) – będzie rozciągnięciem sprężyny w chwili t. Siła tarcia F, która działa na ciężar, zadana jest wzorem :
F = { F0 , x• < v0 { -F0 , x• > v0
tj. Mamy do czynienia z tzw. „suchym tarciem”.
Pokazać, ze równanie ruchu ciężaru ma postać : mx•• + kx = - F
i narysować jego portret fazowy na płaszczyźnie x, x•. Opisać możliwy charakter ruchu masy.
5. Bardziej zło żone metody i ich zastosowania.
W niniejszym rozdziale rozpatrzymy szereg oddzielnych problemów teoretycznych i związanych z nimi modeli, które pokazują w jaki sposób można rozwinąć podstawowe idee zaprezentowane w poprzednich rozdziałach. Naszym celem będzie rozwiązanie pewnych problemów teoretycznych i pobudzenie zainteresowania dla ich współczesnych zastosowań.
5.1 Równanie Lenara.
W niniejszym paragrafie dowiedziemy, że układ :
x1• = x2 – x13 + x1 , x2• = - x1 (5.1)
posiada jeden stabilny cykl graniczny. Zaprezentowaną metodę można zastosować również dla układu o postaci :
x1• = x2 – G(x1) , x2• = - h(x1) (5.2)
gdzie : funkcja G(x1) zachowuje się jak parabola kubiczna x13 + x1 ,a funkcja h(x1) jest nieparzysta. ( zobacz twierdzenie 5.1.2 ). Takie układy odpowiadają równaniom drugiego rzędu o postaci :
x•• + g(x) x• + h(x) = 0 , g(x) = dG(x)/dx (5.3)
które nazywają się równaniami Lenara. Przykładowo, równanie van der Pola :
x•• + ε( x2 – 1) x• + x = 0 , ε > 0 (5.4)
posiada charakterystykę kubiczną G(x1) = ε ( 1/3x13 – x1 ).
Stąd wynika, że posiada on jeden, jedyny stabilny cykl graniczny dla dowolnego ε > 0.