Całka nieoznaczona
Tabela całek funkcji elementarnych
1 2 2 2 2 2 1 ln 1 arctg 1 1 1 arcsin 1 1 1 1 ln ln 1 2 1 1 sin cos tg cos 1 cos sin ctg sin 1 1 ln n n x x x x adx ax C dx x C x x x dx C dx x C n x e dx e C dx x C x a x a dx C dx C a x x dx x C dx x C x dx x C dx x C x dx ax b C ax b a + = + = + = + = + + + = + = + − + = + = + − − = − + = + = + = − + = + + +
Całkowanie przez podstawianie
( )
(
)
( )
( )
( )
( )
( )
( )
(
)
' ', gdzie ( ) jest funkcją pierwotną funkcji ( )
t g x f g x g x dx f t dt H t C dt g x dx H g x C H t f t = = = = + = = = +
Całkowanie przez części
( ) ( )
'( ) ( )
'( ) ( )
f x g x dx= f x g x − f x g x dx
Wzory rekurencyjne(
1)
2 1 1sinn cos sinn
n n n J x dx x x J n n − − − =
= − + 1 2 1 tg tg 1 n n n n K x dx x K n − − = = − −
Całka oznaczona( )
( )
( )
( )
b b a a f x dx=H x =H b −H a
, gdzie H(x) jest funkcją pierwotną funkcji f(x) Geometryczne zastosowania całki oznaczonejPole obszaru pod wykresem
( )
b a
P=
f x dxDługość łuku krzywej
(
)
21 '( )
b a
L=
+ f x dxŚrodek ciężkości figury płaskiej
Jeżeli masa jest rozłożona równomiernie, to środek ciężkości figury płaskiej ograniczonej wykresem funkcji y=f(x) i osią x (patrz rysunek wyżej) znajduje się w punkcie S(xS , yS):
y S M x P = , x S M y P =
gdzie P oznacza pole figury, a Mx i My to momenty statyczne tej figury względem osi współrzędnych, określone wzorami:
2 1 ( ) 2 b x a M =
f x dx,( )
b y a M =
x f x dxObjętość i pole powierzchni bocznej bryły obrotowej
