zadania

3. Funkcje mierzalne  przygotowanie do sprawdzianu

Zad. 3.1 (1996) Niech f : R+ _{→ R}+_{, f(x) = [x]. Czy funkcja g : R}+ _{→ R}+_{, g(x) = [}√_x]

jest mierzalna wzgl¦dem σ(f)?

Zad. 3.2 (1996) Niech f, g : R → R, f(x) = I(−∞,−1)(x) − I[1,∞)(x), g(x) = [x]. Czy

funkcja f jest mierzalna wzgl¦dem σ-algebry generowanej przez g?

Zad. 3.3 (1995) Niech f : [0, ∞) → R, f(x) = 2 · [x] i niech σ1 = σ(f ). Zbadaj, czy

a) σ1 ⊆ σ2, b) σ2 ⊆ σ1, gdzie σ2 = σ({ [0, n) ; n ∈ N }). Zad. 3.4 (1996) Niech f, g : [0, ∞) → R, f (x) = ∞ X n=0 n · I(n,n+1](x), g(x) =  [x + 1]2 dla x /∈ N ∪ {0} x(x + 1) dla x ∈ N ∪ {0} . Sprawd¹, czy zachodz¡ inkluzje

a) σ(f) ⊆ σ(g), b) σ(g) ⊆ σ(f). Zad. 3.5 (1997) Niech f, g : R+ → R+_, f (x) = ∞ X n=0 n · I[n,n+1)(x), g(x) = ∞ X n=0 n · I[2n_−1,2n+1₋₁₎(x).

Sprawd¹, czy zachodz¡ inkluzje a) σ(f) ⊆ σ(g),

b) σ(g) ⊆ σ(f).