Wykład X Mechanika kwantowa

1

Wykład X Mechanika kwantowa

Ruch w potencjałach sferycznie symetrycznych

Mamy równanie Schrödingera bez czasu

) ( ) ( ) 2 (

2

r r

r  E

m V  



 



 

,

w którym potencjał nie zależy od kierunku r, lecz tylko od długości r . Wprowadzamy współrzędne sferyczne (r,,)















 



 







2 2

2 2 2

2 2 2

cos cos

y x

x

z y x

z z y x r

























 cos

sin sin

cos sin

r z

r y

r x

Laplasjan we współrzędnych sferycznych wyraża się wzorem

2 2 2 2 2

2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2

2

sin sin 1

sin 1 1

sin 1 ctg

1 2





 

















 







 







 



 



 



 



 



 



r r

r r r r

r r

r r r r

więc równanie Schrödingera przybiera postać

) , , ( ) , , ( ) sin (

sin 1 sin

1 1

2 ²

2 2 2 2

2 2

2      





 



 r ^{V r r E r}

r r r

r r

m  



 



 

 







 







 







  

.

Ponieważ kwadrat momentu pędu dany jest wyrażeniem



 







 







 







 ^{2 2 2 2} ₂ ²₂

2

sin sin 1

sin ˆ 1

ˆ ˆ

ˆ    



 

z y

x L L

L

L ,

równanie Schrödingera przybiera postać

) , , ( ) , , ( ) 2 (

) , ˆ ( 1

2 ²

2 2

2

2        

r E r

r r V

m r r

r r

m  



 



  







   L

.

2

Wykład X cd. Mechanika kwantowa

Zakładamy teraz postać funkcji falowej (r)R(r)Y(,) i oddzielamy zależność radialną od kątowej

) , ( ) ( ) 2

, ( ) ( )

, ( ) ( ) (

) , 2 (

) , ˆ ( ) ( ) 1 (

)2 , (

2

2 2

2 2

2 2



 









 

 



Y r R Y mr

r R E Y

r R r V

r Y r m R r rR rr r Y m











 





  L

0 ) , ( ) , ˆ ( ) , ( 1 ) 2

2 ( ) ) (

(

1 ₂

2 2

2 2

2

2    







 





   















 

  

C C

Y Y mr E

r mr V r

r R rr r

R    



 ^L

Dostajemy dwa równania, które zapisujemy w postaci









 



 



  







 

. ) , ( )

, ( ) , ˆ (

, ) ( ) ( ) 2 (

2

2 2

2 2 2

2 2











 Y CY

r R E r R r mr V

C r r

r mr







L

Widzimy, że drugie równanie jest równaniem na funkcje własne ˆL², więc funkcje Y(,) są harmonikami sferycznymi Y_lm(,), a równanie określające zależność kątową przybiera formę

) , ( ) 1 ( ) , ( ) ,

ˆ²(  Y_lm   ²l l Y_lm  

L ,

gdzie l 0,1,2,, a ml,(l1),,1,0,1,,l1,l.

Ponieważ stała separacji Cl(l1), równanie radialne zapisujemy jako

) ( )

( ) 2 (

) 1 (

2

]

[

) eff(

2 2 2

2 2

r R E r R r mr V

l l r r

r mr

r V



 

 





 



 









Tak jak w przypadku klasycznego zagadnienia Keplera pojawił się potencjał efektywny V_eff(r), będący sumą rzeczywistego potencjału V(r) i potencjału odśrodkowego ²l(l1)/(2mr²). Ten ostatni ma w mechanice klasycznej zupełnie analogiczna postać tzn. L²/(2mr²).

Wprowadzając funkcję (r)rR(r), mamy

2 2 2

2 2

) ( ) 1

) ( ( 1

) ( 1

r r r r

r r r r r r

r r r

r

r 

 



 



 







 







    

i równanie radialne staje się jednowymiarowym równaniem Schrödingera

) ( )

( )

2 ^{2 ff}(

2 2

r E r r r V

m ^e   



 



 



  

.