∫ ∫ Wykład XIX Mechanika kwantowa

Rozpraszanie w przybliżeniu Borna

Rozkład na fale parcjalne jest efektywną metodą analizy procesów rozpraszania w obszarze niskich energii, gdy iloczyn wektora falowego rozproszonej cząstki i zasięgu oddziaływania jest dużo mniejszy od jedności.

W obszarze wysokich energii zderzenia bardziej użyteczne jest przybliżenie Borna, którego omówienie zaczniemy od wyprowadzenia równania Lippmanna- Schwingera.

Równanie Lippmanna-Schwingera Równania Schrödingera

) ( ) ( ) 2 (

2

r r

r ϕ Eϕ

m V  =







 ∆+

−h zapiszemy jako

( ^{∆ +}

^k2

) ^{ϕ (}

^r

^{) =}

^U

⁽

^r

^{) ϕ (}

^r

⁾

^,

gdzie

h k 2mE

≡ jest wektorem falowym, a 2 ( ) )

(r m₂ V r

U ≡ h .

Otrzymane równanie można potraktować jako niejednorodne równania

( ^{∆ +}

^k2

) ^{ϕ (}

^r

^{) =}

^j

⁽

^r

⁾

, gdzie ϕ(r) jest poszukiwaną funkcją, a j(r) funkcją znaną. Łatwo sprawdzić, że rozwiązanie takiego równania możemy zapisać jako

∫ ⁻

+

= ( ) ' ( ' ) ( ' )

)

(

r

ϕ

₀ r d³r G r r j r

ϕ

_,

gdzie ϕ₀(r) jest ogólnym rozwiązaniem równania jednorodnego

( )

0

^{( ) 0}

2

=

+

∆

k

ϕ

r _,

zaś G

(r )

jest tzw. funkcją Greena spełniającą równanie

( ^{∆ +}

^k2

)

^G

⁽

^r

^{) = δ}

⁽³⁾

⁽

^r

⁾

^.

Równanie Lippmanna-Schwingera otrzymujemy zastępując j(r) przez U(r)ϕ(r)

∫ ⁻

+

= ( ) ' ( ' ) ( ' ) ( ' )

)

(

r

ϕ

₀ r ³ r r r

ϕ

r

ϕ

d r G U _.

Równanie Lippmanna-Schwingera jest równaniem całkowym równoważnym różniczkowemu równaniu Schrödingera. Aby równanie Lippmanna-Schwingera stało się użyteczne musimy wyznaczyć funkcję Greena.

Funkcja Greena

Funkcję Greena znajdujemy z pomocą transformacji Fouriera. Transfor- matą Fouriera funkcji f(r) nazywamy funkcję

) ( )

(p d³re ^prf r

f ^≡

∫

^{−i .}

Transformacja odwrotna ma postać

) ) (

2 ) (

( 3

3

p r d p e^pr f

f ⁼

∫

_π ^{i .}

Zakładamy oczywiście, że odpowiednie całki istnieją.

Działając operatorem

(

^∆+k2

)

na funkcję Greena w postaci )

) ( 2 ) (

( 3

3

p r d p e^prG

G ⁼

∫

_π ^{i ,}

i zauważając, że transformatą Fouriera funkcji δ⁽³⁾(r) jest jedność, dostajemy równanie

[

^{( ) ( ) 1}

]

⁰

) 2 (

2 2 3

3

=

− +

∫

^d_π^{p eipr} −^{p k G p .}

Ponieważ równanie to ma być spełnione dla wszystkich r, otrzymujemy algebraiczne równanie na transformatę Fouriera funkcji Greena

1 ) ( )

(−p² +k² G p = , które natychmiast rozwiązujemy dostając

2 2

) 1

( k p

G p = − .

Wyrażenie to wymaga dookreślenia dla p²=k², co zrobimy później.

Aby znaleźć G(r), należy wyliczyć całkę

2 2 3 3

) 2 ) (

( k p

e p G d

i

=

∫

−^pr

r π .

Rachunek wykonujemy we współrzędnych sferycznych z osią z wybraną wzdłuż wektora r. Mamy więc

2 2

cos 2 0 1

1 2 2

2 cos 2 0 1

1 2

0

3 (cos )

) 2 ( ) 1

) (cos 2 ( ) 1

( k p

pp e d p d

k pp e d d

d G

ipr ipr

= −

=

∫ ∫ ∫

−

∫ ∫

^∞

−

∞

−

θ π θ

π θ θ

π ϕ

r .

Ponieważ

ipr e e e

d

ipr ipr ipr

−

−

= −

∫

^{1 θ cosθ}

1

)

(cos ,

dostajemy

( )

∫

∞

− −

= −

0

2 2

)2

2 ) (

( e^ipr e ^ipr

k p

p dp r G i

r π .

Zauważając, że

∫

∫

∞

−

∞

−

− −

− =

0

2 2 0

2 2

ipr

ipr e

p k

p e dp

p k

p

dp ,

co sprawdzamy zamieniając p→−p, otrzymujemy

∫

∫

^∞

∞

−

∞

∞

− = − +

= −

) )(

( ) 2 ( )

2 ) (

( _{2 2 2 2}

k p k p

e p dp r

e i k p

p dp r G i

ipr ipr

π

r π .

Całkę obliczymy jako całkę po konturze zamkniętym w przestrzeni zespolonego p. Całkowanie od −∞ do ∞ uzupełniamy całkowaniem po wielkim półokręgu pokazanym na rysunku. Ze względu na obecność czynnika

e

^ipr, w którym r > 0, całka po tym półokręgu znika.

Funkcja podcałkowa ma dwa bieguny w p=±k, które wypadają na drodze całkowania. Całka więc nie jest dobrze określona. Dookreślenie polega na podaniu sposobu omijania biegunów. Mamy cztery możliwości:

1) droga całkowania przebiega nad biegunami p=±k;

2) droga całkowania przebiega nad biegunem p=−k i pod biegunem p=k; 3) droga całkowania przebiega pod biegunem p=−k i nad biegunem p=k; 4) droga całkowania przebiega pod biegunami p=±k.

Tym czterem sposobom omijania biegunów odpowiadają cztery różne wyniki całkowania













+

−

− + =

= −

−

−

∫

_{dla ,}

4

, 4 dla

. dla 0

) )(

( ) 2 ) ( (

3 2 1

2

e e

r C e

r C e

C

k p k p

e p dp r

G i

ikr ikr ikr

ikr

C

ipr

π π r π

Widzimy, że przy całkowaniu po konturze C2 mamy do czynienia z falą kulistą schodzącą się do punktu r = 0; kontur C3 daje falą kulistą rozchodzącą się z punktu r = 0; wreszcie wybór konturu C4 prowadzi do złożenia fal schodzącej się i rozchodzącej. Analiza problemy rozpraszania wymaga wybrania funkcji Greena w postaci fali rozchodzącej się z punktu r = 0, co daje

Równanie Lippmanna-Schwingera otrzymuje więc postać

Jak pamiętamy, w problemie rozpraszania interesujemy się funkcja falową na dużych odległościach od centrum rozpraszania. Przyjmując, że potencjał oddziaływania ma skończony zasięg tzn. U(r)=0, gdy ^{r >d}, gdzie d jest zasięgiem oddziaływania. Poszukujemy więc przybliżonej postaci równania Lippmanna-Schwingera dla ^{r >>d}.

Ponieważ funkcja podcałkowa jest niezerowa tylko dla ^r'<d, przybliżamy r'

r− , żądając, aby r>>r'. Tak znajdujemy

θ θ

θ

θ 'cos 'cos

1 'cos

1 2 '

cos ' 2

' ^{2 2} r r

r r r r

r r r rr

r = −



 



 −

≈

−

≈ +

−

=

− r

r _,

gdzie θ jest kątem miedzy wektorami ^r i r'. Podstawiając przybliżone wyrażenie do równanie Lippmanna-Schwingera otrzymujemy

∫

⁻

−

= ' ( ' ) ( ' )

) 4

(

)

(

r ₀ r ^{3 'cos} r

ϕ

r

ϕ π

ϕ

d r e ^θU

r

e^ikr _ikr

,

gdzie 1/r−r' zostało przybliżone jako 1/r. Ponieważ θ jest kątem miedzy wektorami ^r i r', iloczyn kr'cosθ możemy zapisać jako k^nr' z jednostkowym wektorem

r

n≡r. Definiując wektor ^k=kⁿ, określający kierunek, w którym porusza się rozproszona cząstka, równanie Lippmanna-Schwingera ma postać

∫

⁻

−

= ' ( ' ) ( ' )

) 2

(

)

(

r ₀ r ₂ ^{3 kr'} r

ϕ

r

ϕ π

ϕ

d r e V

r e

m ^ikr _i

h

^,

gdzie wróciliśmy do potencjału V(r).

r G e

ikr

π ) 4 (r =−

∫ ₋

−

=

−

)

'

(

)

'

' (

4 '

) 1

(

)

(

' 3

0 r r

r r r

r

r r

π ϕ

ϕ

ϕ

e U

r d

ik

Przybliżenie Borna

Rozwiązanie równania jednorodnego, będącego swobodnym równaniem Schrödingera wybieramy w postaci fali padającej (z pominiętym czynnikiem normalizacyjnym) tzn.

r

r) k⁰ 0(

ei

ϕ

= ,

gdzie wektor falowy k₀ =(0,0,k), tzn. fala padająca porusza się wzdłuż osi z.

Rozpraszanie ma charakter elastyczny, więc długość pędu zderzających się cząstek w ich układzie środka masy nie ulega zmianie. Dlatego k₀ = k =k.

Przybliżenie Borna polega na zastąpienia funkcji ϕ(r) przez

ϕ

₀(r)=e^ik0r pod całką w równaniu Lippmanna-Schwingera. Zakładamy bowiem, że funkcja falową jest zdominowana przez falę padającą, a proces rozproszenia wprowadza jedynie nieznaczne zaburzenie. Tak więc dostajemy

∫

⁻

−

= ' ( ' )

) 2

(

r ^k0r ₂ d³r e^{(k0 k)r'}V r r

e

e m ⁱ

ikr i

π h

ϕ

_.

Porównując to wyrażenie z oczekiwaną postacią asymptotyczną funkcji falowej w problemie rozpraszania tzn.

r f e e

ikr

ikz ( )

)

(

θ

ϕ

r = + _,

znajdujemy amplitudę rozpraszania w przybliżeniu Borna jako

,

)

2 (

)

( ^{= − m}

₂

∫ ^d

³

^{r e}

^(k0−k)r

^{V r}

f

ⁱ

π h

θ

gdzie kąt rozproszenia θ jest katem miedzy wektorami k0i ^k. Wprowadźmy wektor q≡k₀−k, który pomnożony przez h jest przekazem pędu w zderzeniu.

Długość wektora q wyraża się przez kąt rozproszenia θ w następujący sposób

sin2 2 2

cos 2 1

) cos 1 ( 2 cos

2 ^{2 2}

2 0

θ θ θ

θ k k k k

k k

q − =

=

−

= +

−

=

−

≡ k k .

Wzór na amplitudę w przybliżeniu Borna przyjmuje ostateczną postać

czyli amplituda rozpraszania jest proporcjonalna do transformaty Fouriera

∫

−

= ( )

) 2

( m

₂

d

³

r e

^qr

V r

f

ⁱ

π h

θ

Rozpraszanie w potencjale Yukawy

Jako zastosowanie przybliżenia Borna rozważymy rozpraszanie w potencjale Yukawy danym wzorem

e r

V αr ₋^µ

= )

(r ,

gdzie α i µ są stałymi, przy czym α jest dowolnego znaku zaś stała µ jest dodatnia; 1/µ może być traktowane jako zasięg oddziaływania. Potencjał Yukawy pojawia się przy opisie oddziaływań jądrowych, a także wtedy, gdy mamy ekranowane oddziaływanie coulombowskie; 1/µ ma wówczas interpretację długości ekranowania. Zauważmy, że w granicy µ→0, potencjał Yukawy staje się potencjałem coulombowskim, a α jest (w układzie CGS) iloczynem ładunków oddziałujących cząstek.

Podstawiając potencjał Yukawy do wzoru na amplitudę mamy

∫

⁻

−

=

r

re m d

f

r

i µ

π

θ α

r q 3

2

2

)

( h

^.

Całkowanie wykonujemy we współrzędnych sferycznych, w których oś z pokrywa się z wektorem q. Po wykonaniu trywialnego całkowania po kącie azymutalnym dostajemy

r

eiqr

r dr m d

f

α ϑ

^{ϑ µ}

θ

⁻

∞

−

∫

∫

−

=

^cos

0 1

1

2

(cos )

)

( h

^,

gdzie ϑ jest kątem miedzy wektorami q i r. Całka kątowa jest elementarna )

2 sin(

) (cos ^cos

1

1

qr qr iqr

e e e

d

iqr iqr

iqr − =

=

−

−

∫

^{ϑ ϑ ,}

co daje

2 2 2 0

2

1 ) 2

2 sin(

) (

2 2

µ α

θ α

µ µ

− +

=

−

=

+

=

∞

∫

^dre− ^{qr m} _q

q f m

q q r

4 h 4 3 4

4 2

h 1 .

Różniczkowy przekrój czynny wynosi

(

^{2 2 2}

)

²

4 2 2 2

) 2 / ( sin 4

1 ) 4

(

µ θ

θ α σ

+

=

Ω = k

f m d

d

h .

Jak widzimy przekrój czynny ma maksimum dla zerowego kąta rozpraszania

=0

θ i minimum dla θ =π.

Aby znaleźć całkowity przekrój czynny, q² zapisujemy jako 2k²(1−cosθ).

Po wykonaniu trywialnego całkowania po kącie azymutalnym dostajemy

( )

∫

− − +

=

1

1

2 2 4 2

2 2

) cos 1 ( 2

) (cos 8

µ θ

θ α

σ π

k d m

h .

Całka jest w istocie elementarna, co łatwiej zauważyć wprowadzającx ≡ cosθ

( )

^{(4 )}

2 4

1 1

2 1 2

2

1 2

1 2

2 ^{2 2 2 2 2 2 2}

1

1 2 2 2 2 1

1

2 2 2

2 µ µ µ µ ^= µ ⁺µ

 





− +

− =

= +

−

+ −

−

∫

k k x k k k x k k k

dx .

I tak całkowity przekrój czynny wynosi

) 4

( 16

2 2 2 4

2 2

µ µ

α σ π

= +

k m

h .

Granica coulombowska

Potencjał Coulomba ma nieskończony zasięg więc przybliżenie Borna zdaje się nie mieć tutaj zastosowania. Jak już jednak wspomnieliśmy, potencjał Yukawy staje się potencjałem coulombowskim w granicy µ→0. Jeśli przejść z

µ do zera w różniczkowym przekroju czynnym otrzymujemy

) 2 / ( sin

1 1

16 ) 2 / ( sin

1 4

1 4

4 2 2 4

4 4

2 2 4 4

2 2

θ α

θ α

α σ

E k

m q m d

d = = =

Ω h h .

Pamiętając, że k≡ 2mE/h, ostatecznie znajdujemy

Uzyskany wynik zwany przekrojem czynnym Rutherforda jest ważny i niezwykle ciekawy. Zauważmy, że nie występuje w nim stała Plancka, co w pewnej mierze wyjaśnia, że pokrywa się on z przekrojem czynnym na oddziaływanie klasycznych cząstek naładowanych, wyprowadzonym po raz pierwszy przez Ernesta Rutherforda w 1909 roku. Zgodność tego przekroju czynnego z obserwowanym rozkładem kąta rozpraszania cząstek alfa przechodzących przez złotą folię doprowadziło do sformułowania planetarnego modelu atomu.

Kolejną osobliwością coulombowskiego przekroju czynnego otrzymanego w przybliżeniu Borna jest jego całkowita zgodność nie tylko z klasycznym przekrojem czynnym, ale i ze ścisłym wynikiem kwantowym. Innymi słowy klasyczny przekrój czynny, kwantowy przekrój czynny i przekrój czynny otrzymany w przybliżeniu Borna są identyczne.

) 2 / ( sin

1 1

16 ^{2 4}

2

θ α

σ

E d

d = Ω

Wykonując przejście graniczne µ→0 w różniczkowym przekroju czynnym Yukawy otrzymaliśmy przekrój czynny Rutherforda. Jeśli natomiast przejdziemy z µ do zera w całkowitym przekroju czynnym Yukawy, dostajemy nieskończony przekrój czynny. Podobny wynik uzyskamy całkując po kącie θ różniczkowy przekroju czynny Rutherforda. Przekrój ten bowiem jest rozbieżny gdy θ →0 jak θ⁻⁴. Po uwzględnieniu sinθ z elementu kąta bryłowego, całka w obszarze małych kątów zachowuje się jak

→

∞

∫

2 →0

min 3 min min

~ 1

θ θ θ θ

θ

d .

Nieskończoność całkowitego przekroju czynnego wiąże się ze wspomnianym już nieskończonym zasięgiem potencjału Coulomba – nawet cząstki zderzające się z nieskończenie dużym parametrem zderzenia ulegają rozproszeniu choć na nieskończenie mały kąt θ.

Stosowalność przybliżenia Borna

Przybliżenie Borna polega na zastąpieniu funkcji falowej funkcją fali padającej w wrażeniu całkowym reprezentującym fale rozproszoną w równaniu Lippmanna-Schwingera. Przybliżenie ma więc zastosowanie, jeśli moduł fali rozproszonej jest dużo mniejszy niż moduł fali padającej. Prowadzi to do warunku

1 )

' ' ( 2 '

' '

3 2

0 <<

∫

^{d r e}_r^ik−^r−_r^{r V r eikr} m

πh ^.

Ponieważ spodziewamy się, że fala rozproszona jest największa w punkcie, gdzie znajduje się centrum rozpraszania, powyższy warunek sprawdzamy dla r = 0. Zamieniając r'→r, dostajemy

1 )

2 (

3 0

2

∫

^{d re}_r^{ikrV r eikr} <<

m

πh .

Dalej zakładamy, że potencjał jest sferycznie symetryczny tj. V(r)=V(r)

i wprowadzamy zmienne sferyczne z osią z wzdłuż wektora k₀=(0,0,k). Po wykonaniu trywialnej całki po kącie azymutalnym znajdujemy

1 )

(cos ) (

0

1

1

cos

2

∫

^∞

∫

<<

−

θ ^ikr θ

ikrV r d e

e r m dr

h .

Obliczywszy całkę d(cos )e^ikrcos (e^ikr e ^ikr)/ikr

1

1

−

−

−

∫

^{θ θ} = , otrzymujemy

(

¹

)

^{( ) 1}

0 2

2

∫

− <<

∞

r V e

k dr

m _ikr

h .

Rozważamy teraz oddzielnie granicę niskoenergetyczną kd<<1

i wysokoenergetyczną kd >>1, gdzie d jest zasięgiem potencjału. W pierwszym przypadku e^2ikr −1 przybliżamy jako 2ikr, w drugim jako −1, gdyż czynnik

e²ikrszybko oscyluje i odpowiedni człon nie daje wkładu do całki. Tak zatem znajdujemy

( )













>>

<<

≈

−

>>

∫

∫

∫

_∞

∞

∞

. 1 dla

) (

, 1 dla

) 2 (

) ( 1 1

0 2

0 2

0 2 2

kd r

V k dr m

kd r

V r m dr r

V e

k dr

m _ikr

h h h

Oszacowując wartości całek jako

, ) ( ,

)

( ₀

0 0

2 0

dV r V dr V

d r V r

dr =

∫

=

∫

^∞

∞

gdzie V₀ jest charakterystyczną wartością potencjału, ostatecznie znajdujemy











>>

<<

<<

<<

. 1 dla

1

, 1 dla

1

2 0 2 0

2

kd k V

md

kd md V

h h

Sprawdźmy, co powyższe warunki oznaczają dla potencjału Yukway r

e r

V( )=α ^−µr/ , gdzie zakładamy, że α>0. Jak już wspomnieliśmy, zasięg potencjału Yukway przyjmuje się jako d =1/µ. Określamy V₀ jako

αµ µ =

=1/ ) (r

V . Warunek stosowalności przybliżenia Borna w granicy niskoenergetycznej i wysokoenergetycznej przybiera, odpowiednio, postać









>>

<<

<<

<<

. 1 dla

1

, 1 dla

1

2 2

µ α

µ µ

α

k k

m

k m

h h

Widzimy, że w wypadku granicy wysokoenergetycznej zawsze istnieje odpowiednio duża wartość wektora falowego, aby przybliżenie Borna miało zastosowanie.