Wykład XVIII Mechanika kwantowa

Wykład XVIII Mechanika kwantowa

Rozpraszania twardych kul

Rozważamy oddziaływanie „twardych kul” opisywane potencjałem









 

. ,

0

, ) ,

( r a

a r r

V

Ponieważ potencjał jest sferycznie symetryczny, funkcję falową można zapisać w postaci

 

^

 



0

) , ( ) ( )

, , (

l l

l m

lm l

lmR r Y

C

r    

 _,

gdzie Y_lm(,)to harmoniki sferyczne. Rozpraszanie nie zależy od kąta azymutalnego , więc jedyną dopuszczalna wartością m jest m0, co daje



^





0

) (cos )

( )

, (

l

l l

lR r P

C

r  

 _,

ponieważY_l0(,)~ P_l(cos)_{, gdzie} P_l(cos) jest wielomianem Legendre’a.

Dla ra mamy do czynienia ze swobodnym równaniem, więc radialna część funkcji falowej równa jest

) ( )

( )

(r A j kr Bn kr R_l  _{l l}  _{l l} , gdzie

 k 2mE

 jest wektorem falowym, j_l(x) i n_l(x) to sferyczne funkcje Bessela, A_l i B_l stałe normalizacyjne. Ponieważ dla ra potencjał jest nieskończony, więc R_l(r) 0. Nakładając warunek ciągłości na funkcję falową w r a, dostajemy równanie na stałe Al i Bl

0 ) ( )

(ka Bn ka  j

A_{l l l l} .

Rozważamy teraz rozwiązanie granicę dużych odległości krl(l1), kiedy funkcje Bessela można przybliżyć jako



 

 

 1 sin 2 )

( l

kr kr kr

j_l 

, 



 

 



 1 cos 2 )

( l

kr kr kr

n_l 

. Radialna funkcja falowa przyjmuje postać



 

 





 

 

 cos 2

sin 2 )

( l

kr kr B kr l

kr r A

R_l ^l  ^l 

. (*)

Wykład XVIII cd. Mechanika kwantowa

Radialna funkcja falowa wyrażona przez przesunięcie fazowe _l równa jest



 



  

 ^l _l

l

kr l kr

r C

R  

sin 2 )

( .

Korzystając z tożsamości sin()sincos cossin, dostajemy



 

 





 

 

 sin cos 2

sin 2 cos )

( l

kr kr C kr l

kr r C

R_l ^l _l  ^l _l  . (**) Żądając równości funkcji falowej w postaci (*) i postaci (**) dostajemy równania

l l l

l l l

l l l

A B C

B C

A  









 



 tg

sin

cos .

Uwzględniając warunek ciągłości w ra mówiący, że

) (

) (

ka n

ka A j B

l l l

l  ,

ostatecznie dostajemy

Granica niskoenergetyczna

Rozkład na fale parcjalne jest szczególnie użyteczny, gdy energia niesiona przez rozpraszaną cząstkę jest na tyle mała, że ka1. Wówczas możemy zastosować przybliżenie

1

!, )!

1 2 ) ( (

!, )!

1 2 ) (

(  ₁ 

  _ x

x x l

l n x x

j _{l l}

l

l ,

gdzie (2l1)!!135(2l1). Tak zatem

! )!

1 2 (

! )!

1 2 (

) tg (

1 2



 

 ^

l l

ka ^l

l .

Widzimy, że tg_ljest małą liczbą, więc tg_l _l, co daje

! )!

1 2 (

! )!

1 2 (

) ( ^{2 1}



 

 ^

l l

ka ^l

l .

Ponieważ ka1, kolejne przesunięcia fazowe szybko ubywają. Pierwsze trzy znajdujemy jako

45 ) , (

3 ) , (

5 2

3 1

0

ka

ka  ka 



  

 .

) (

) tg (

ka n

ka j

l l

l 



Wykład XVIII cd. Mechanika kwantowa

Skoro kolejne przesunięcia fazowe szybko ubywają, uzyskujemy dobre przybliżenie przekroju czynnego, uwzględniając zaledwie pierwsze fale parcjalne.

Pierwsza fala parcjalna (l = 0)

Najgrubsze przybliżenie polega na wzięciu pod uwagę tylko pierwszego wyrazu rozwinięcia. Wówczas amplituda rozpraszania równa jest

 

 

a

P k ik i

f  exp 2 ₀ 1 ₀(cos ) ⁰   2

) 1

(    _.

Skorzystano tutaj z przybliżenia exp



i20



12i0 i uwzględniono, że 1

)

0(cos 

P . A więc różniczkowy przekrój czynny wynosi

2 2

)

( a

d f

d  

 

 ,

zaś całkowity przekrój czynny to

4 a



2



 _.

Otrzymane wyniki maja dwie ciekawe cechy: różniczkowy przekrój czynny nie zależy od kąta rozpraszania, czyli jest izotropowy; całkowity zaś przekrój czynny jest cztery razy większy od przekroju czynnego na zderzenie klasycznych kul o średnicy a, który wynosi



_klas 



a². Widzimy też, ze nie jest spełniona teza twierdzenia optycznego (amplituda jest czysto rzeczywista), co jest spowodowane przybliżonym charakterem uzyskanych wyników.

Pierwsza i druga fala parcjalna (l = 0, l = 1) Amplituda rozpraszania równa jest

 

  

^exp

 

^{2 1}



^{(cos )}

2 ) 3 (cos 1

2 2 exp

) 1

( _{0 0}  i ₁ P₁ 

P ik ik i

f     _.

Uproszczenie tego wyrażenia jest nieco skomplikowane. Ponieważ ₁ jest rzędu

3 0)

( , więc uwzględniając ₁ należy uwzględnić wkłady od 0 aż do trzeciej potęgi ₀. A zatem przybliżamy



₀



_{0 0}² ₀³

3 2 4

2 1 2

exp i    i    i _, exp



i2₁



12i₁.

Pamiętając, że P₀(cos)1 i P₁(cos)cos oraz podstawiając ₀ ^ka i ₁ ^(ka)3/3, amplituda równa jest

Wykład XVIII cd. Mechanika kwantowa



 cos

3 ) 2

( a ika² k²a³ k²a³

f      _.

Różniczkowy przekrój czynny wynosi

4 2 2 3

2 3 2 2

3 cos ) 2

( a k a k a k a

d f

d  



 



  



   

 .

Ponieważ wyprowadzając wzór na amplitudę pominęliśmy wyrazy o potędze wyższej niż a³, a wiodący wkład do amplitudy jest liniowy w a, więc tylko wkłady do przekroju czynnego o potędze a nie większej niż 4 są wiarygodne.

Tak zatem dostajemy



 

cos 3 2

) 1

( ² a² k²a⁴ k²a⁴ d f

d    

 .

Widzimy, że po uwzględnieniu fali z l1 różniczkowy przekrój czynny ma zgodnie z oczekiwaniami maksimum dla zerowego kąta rozpraszania  0

i minimum dla   .

Rozważmy teraz całkowity przekrój czynny. Ponieważ wkład do różniczkowego przekroju czynnego zależny od kąta (ostatni wyraz) znika, gdy wykonamy całkowanie po pełnym kącie bryłowym, znajdujemy



 

 

 ^{2 2 2}

3 1 1

4a k a

 .

Całkowity przekrój czynny możemy też wyznaczyć ze wzoru



^







0

2 2 (2 1)sin 4

l

l l

k 

 _,

uwzględniając pierwsze dwie fale parcjalne, co daje

1 2 0 2

2

2 12 sin

4 sin   

  k  k _.

Przybliżając sin₁ ₁, zauważamy, że wkład do całkowitego przekroju czynnego od 1 jest rzędu (ka)⁶. Jeśli tak jak poprzednio ograniczymy się wkładami rzędu (ka)⁴, możemy więc wkład od ₁ pominąć. Przybliżywszy

3 0 0

0 6

sin  1 _, znajdujemy

Wykład XVIII cd. Mechanika kwantowa



 

 





 



 

 

 _{2 0}² _{2 0}^{4 2 2 2}

2 3 0 2 0

3 1 1 3 4

4 4

6 1

4 a k a

k k

k      

 _.

Całkowity przekrój czynny możemy też znaleźć korzystając z twierdzenia optycznego, które mówi, że  4 f( 0)

k . Ponieważ f()ka², mamy

4 a 2

  , czyli całkowity przekrój czynny w przybliżeniu pierwszej fali parcjalnej. Chcąc znaleźć dokładniejsze wyrażenie na  , policzmy amplitudę rozpraszania, uwzględniając tylko pierwszą falę parcjalną, lecz aż do rzędu

4 0)

( . Przybliżamy więc



₀



_{0 0}² ₀³ ₀⁴

3 2 3

2 4 2

1 2

exp i    i    i   , co daje amplitudę

4 3 3

2 2

4 0 3

0 2

0 0

3 1 3

2 3

1 3

) 2

( a ika k a ik a

i k k

i k

f   k            _.

Ponieważ

4 3 2

3 ) 1

( ka k a

f  

  _,

twierdzenie optyczne dostarcza



 

 







 ^{2 2 2}

3 1 1 4 ) 0 4 (

a k a

k f  

 ,

czyli ten sam wynik, który znaleźliśmy poprzednio.