Zadania z OTW (zestaw 10)
55. Dla teorii zespolonego pola skalarnego φ, danej lagran»janem L = −∂µφ∂¯ µφ − V ( ¯φφ)
prosz¦ znale¹¢ pr¡d zwi¡zany z globaln¡ symetri¡ φ(x) → ˜φ(x) = eiαφ(x) 56. Prosz¦ znale¹¢ tensor energii-p¦du dla pola skalarnego z lagran»janem
L = −1
2∂µφ∂µφ − V (φ) .
57. Dla pola z poprzedniego zadania prosz¦ znale¹¢ tensor momentu p¦du.
58. Prosz¦ wyprowadzi¢ równania Maxwella z zasady wariacyjnej dla dziaªania S = − 1
16π Z
d4x FαβFαβ − Z
d4x jµAµ.
59. Prosz¦ zanle¹¢ tensory energii-p¦du i momentu p¦du dla pola elektromagnetycznego.
60. Lagran»jan pola skalarnego φ(t, x) w 1 + 1 wymiarowej czasoprzestrzeni Minkowskiego ma posta¢
L = 1
2( ˙φ2− φ02) − V (φ) . (a) Wyprowadzi¢ równania ruchu
(b) Pokaza¢, »e caªkowita energia E =
Z ∞
−∞
1
2( ˙φ2 + φ02) + V (φ)
dx
jest zachowana w trakcie ewolucji z danych pocz¡tkowych o zwartym no±niku.
(c) Zaªo»y¢, »e V = 12λ(φ2− a2)2, gdzie a i λ s¡ dodatnimi staªymi. Pokaza¢, »e je±li φ nie zale»y od czasu i φ(∞) = −φ(−∞)) = a, to E ≥ 43√
λa3. (d) Pokaza¢, »e kink φK(x) = a tgh(√
λx) jest statycznym rozwi¡zaniem z energi¡
E(φK) = 43√ λa3
(e) Zbada¢ liniow¡ stabilno±¢ rozwi¡zania φK(x). W tym celu podstawi¢ φ(t, x) = φK(x) + v(t, x) do równania ruchu i wyprowadzi¢ równanie ruchu dla perturbacji v(t, x) zanie- dbuj¡c wyrazy O(v2). Zakªadaj¡c, »e v(t, x) = e−iωtu(x), sprowadzi¢ to równanie do stacjonarnego równania Schrödingera i rozwi¡za¢ to równanie. Dla uproszczenia ra- chunków przyj¡¢, »e numerycznie λ = 1 oraz a = 1. Dlaczego taki wybór nie ogranicza ogólno±ci problemu?
Uwaga: punkty (a)-(d) zostaªy omówione na wykªadzie; na ¢wiczeniach skoncentrujemy sie na punkcie (e).
A. Rostworowski http://th.if.uj.edu.pl/ arostwor/
