O ) - p w r r t e
maszyny
i nauce
zastosowania
w gospodarce
technice
Z e s z y ł j e s f p o ś w i ę c o n y p r o b l e m o m m a t e m a t y c z n y m w m a s z y n a c h m a t e m a t y c z n y c h i w p r z e t w a r z a n i u i n f o r m a c j i
S P IS TR EŚC I
S tr.
Antoni M azurkiew icz — „M a
te m a ty k a w p rz e tw a rz a n iu in fo rm a c ji” ... 1 Zdzisław P aw lak — „U w agi o te o rii m aszy n cy fro w y c h ” 4
Leon Łukaszew icz — „EO L — języ k do p rz e tw a rz a n ia sy m b o li” ... 8 A ndrzej W łodzim ierz M ostow ski — „M aszyny m a te m a ty c z ne w logice i a lg e b rz e ” cz. I 11 Janusz S tan isław Bień — „A l- g o ry tm iz ac ja fle k sji p olskiej — p ro b le m y i p e rs p e k ty w y ” . . 15 S tan isław Chrobot, W łodzi
m ierz R aczyński — „ P r o g ra m o w an ie m aszy n y ZAM-^2 GAM M A p ra c u ją c e j n a b ie - żąco” ...19
W IADOM OŚCI P K A P I . . 20
Z K R A JU i ze Ś W IA TA Jerzy Dańda — „K ongres I F I P 68” ... ,21
„K O N K U R S-69” . . . IV okł.
COflEPJKAHM E
A. Ma3ypKennu — „MaTeMaTii- Ka b o6pa6oTKe HHcbopMai^Mw”
3 . IlaB jiaK — „HeKOTopwe B on- POCŁI TeOpilM L(MCfc>pOBbIX BŁI- HHCJIHTeJIbHblX Ma ULU iii”
JI. JIyKameuii'1 — „H3biK EOL fljin oSpaSoTKH chm bojiob”
A. B . Mo c t o b c k ii — „ S jie K T p o H -
Hbie Bbl'IMCJIMTejII.Hble MaiUHlIbl b jiornK e h ajire B p e ” . H acTb 1 il. C. Beiib — „AjiropnTMM3aqnri nojiLCKoi: cbjieKcini — npoOjicMhi h nepcnoKTHBbi”
C. XpoSoT, B. PaHHHbCKIl —
„riporpaMMiipoBanwe b peajibiiou iiacuiTaoc BpeMenw na sjieiiTpon-
IIOM BblHHCJIMTeJIbHOM MaiHHHe”
XPOHMICA
CONTENTS
A. M azurkiewicz — ’’M a th e m a tics in in fo rm a tio n p ro c e ssin g ”
Z. P aw lak — ’’S om e p ro b lem s of th e th e o ry of d ig ita l co m p u te r s ”
L. Łukaszew icz — ”EOL — sym bol m a n ip u la tio n la n g u a g e ”
A. W. M ostow ski —: "C o m p u te rs in logic a n d a lg e b ra ” P a r t I
J. S. Bień — ’’A lg o rith m ic a p p ro a c h to P o lish in flectio n . P ro b le m s an d p e rsp e c tiv e s”
S. Chrobot, W. R aczyński —
’’P ro g ra m m in g in r e a l tim e on ZA M -2 GAM M A c o m p u te r”
C H R O N IC LE
KOLEGIUM KEDAKCYJNE
R e d ak to r n acz eln y p ro f. d r L eon ŁUKASZEW ICZ
Mgr inż. J a c e k K A R PIŃ SK I, W ładysław KLEPACZ, d r A n to n i M AZU RKIEW ICZ, inż. D orota PRA W D ZIC (zast. re d a k to ra naczelnego), m g r inż. A n d rzej TARGO W SKI (zast. re d a k to ra
naczelnego)
S e k re ta rz R ed ak cji m gr W anda KACER R e d a k to r te c h n icz n y A licja BIL RADA PROGRAM OW A
P ro f. d r inż. J e rz y B ro m irsk i (przew odniczący), m g r inż. J a n B u rsch e, doc. S te fa n C zarnecki, m gr M ichał D oroszew icz, m gr A dam B. E m p a ch e r (sek retarz), m g r inż. B olesław G lik sm an , m g r inż. Jó z e f K nysz, m gr inż. L u d w ik M ebel, doc. d r T ad eu sz P ech e, inż. Z dzisław P u z d ra - kiew icz, doc. m gr inż. Jó z e f T h ie rry (w iceprzew odniczący), d r T ad eu sz W alczak, m g r S te fan
W ojciechow ski, d r inż. H e n ry k W ożniacki, m g r inż. J a n Z. Ż ydow o R e d a k c ja : W arszaw a, ul. Em ilii P la te r 20 m . 15, tel. 21-13-91. Z astęp ca re d a k to ra naczelnego tel. 28-37-23
Z ak ład K o lp o rtażu W CT NOT, W arszaw a, ul. M azow iecka 12
Z akł. G raf. „ T a m k a ". Z. 2. Zam . 199. P a p ie r p o w le k an y V kl. 80 g. A -l. O bj. 3 a rk . d ru k . N ak ład 2300. P-98
Cena eg zem p larza zł 8.— P re n u m e ra ta ro czn a zł 96.—
WYDAWNICTWA CZASOPISM TECHNICZNYCH
NOT Warszawa Czackiego 3/5
*U3r£KA Łft r ^ T - f f g g
maszyny
matematyczne
z a s ło s o w a n ia w g o s p o d a r c e , te c h n ic e i n a u c e
Nr 5
M I E S I Ę C Z N I K 1 9 6 9
R O K V
M a i
O r g a n P e ł n o m o c n i k a R z ą d u d o S p r a w E l e k t r o n i c z n e j T e c h n i k i O b l i c z e n i o w e j i N a c z e l n e j O r g a n i z a c j i T e c h n i c z n e j
ANTONI MAZURKIEWICZ
In s ty tu t M aszyn M atem atycznych W arszaw a
51.004.14:681.3.001 + 681.3.06+65.011.56
M A T E M A T Y K A W P R Z E T W A R Z A N I U I N F O R M A C J I ”
A u to r rozw aża pew n e w ym agania, k tó re staw ia p rzed n a u k a m i m a te m a ty c zn y m i rozw ó) zastosow ań m a s zy n m a te m a ty c zn y c h . G łó w n y m i pojęciam i „ m a te m a ty k i in fo r m a c y jn e j’’ s ą : pam ięć, czynność, stan, in fo rm a cja , p rz e p ły w in fo rm a cji. W y stęp u je potrzeba n o w ych teorii i m e to d sfo rm alizow anego opisyw a n ia sy ste m ó w in fo r m a c y jn y c h . J a sk ra w y m p rz y k ła d e m tego je s t p ro b lem sy ste m a ty za c ji program ow ania m a szy n c yfro w y ch .
N ie m a ch y b a b a rd z ie j k o n tro w e rsy jn y c h o p in ii na te m a t u sy tu o w a n ia ja k ie jś n a u k i w ro d z in ie n a u k ścisłych n iż 'Poglądy, d o tyczące n a u k i o p rz e tw a rz a niu in fo rm a c ji i m a sz y n a c h m a te m a ty c z n y c h . N a u k a ta b y ła zaliczana b ąd ź do c y b e rn e ty k i, bądź m a te m a ty k i, a n ie k tó rz y ¡tra k tu ją j ą ja k o sw o istą in ż y n ie rię in fo rm ac ji, o b e jm u ją c ą ró w n ie ż te c h n ik ę e le k tro n ic z ną.
W ydaje m i się , że sp ra w a polega ń a p o m ie sz an iu te j n a u k i ze śro d k a m i, p rzy pom ocy k tó ry c h się ją u p r a wiła. T ec h n ik a e le k tro n ic z n a je s t n ie w ą tp liw ie n a r z ę dziem te j n a u k i: d o sta rc za ona je d y n ie fizycznych p rz y rz ą d ó w do p ra c w -dziedzinie p rz e tw a rz a n ia i n fo rm a c ji. S p rz ę t ele k tro n ic z n y od g ry w a bow iem a n a logiczną r o lę w in fo rm a ty c e (tak iej n a z w y b ęd ziem y d alej używ ali), ja k np. m ik ro sk o p e le k tro n o w y w e w spółczesnej biologii czy m edycynie. Co w ięc ej, in fo rm a ty k a n ie je s t też fra g m e n te m m a te m a ty k i, ja k sąd zą n ie k tó rz y . J e s t n a to m ia s t n a u k ą w y k o rz y s tu ją cą te d ziedziny m a te m a ty k i, k tó re do te j ipory u w a żan e b yły za od d alo n e w zn a cz n y m sto p n iu od p r a k tycznych zastosow ań. S to su n k o w o m ało docen ian y m n arz ęd ziem in fo rm a ty k i je s t n a u k o w a o rg an iz ac ja pracy, sy stem y k la sy fik a c ji, ekonom ia. K aż d a z d y scy p lin służących in fo rm a ty c e , sp e łn ia w n ie j o k r e śloną ro lę.
W a r ty k u le tym ro zw aż y m y r o lę m a te m a ty k i, a ści
ślej m ó w ią c n ie k tó re z w y m a g a ń , ja k ie s ta w ia in fo rm a ty k a n a u k o m m a tem aty c zn y m . N ie b ędziem y w ięc w y lic za ć d ziałó w m a te m a ty k i z p u n k tu ic h p rz y d atn o ści d o zag ad n ień p rz e tw a rz a n ia in fo rm a c ji, lecz p o k u sim y się o ¡postaw ienie prognozy, ja k ieg o typu
i) A rty k u ł opracow ano na podstaw ie re fe ra tu w ygłoszonego na I O gólnokrajow ym S ym pozjum „N aukow e pro b lem y m a
szyn m ate m a ty c z n y ch ” , Z ak o p an e, p aźd ziern ik 1968 r.
m a te m a ty k a ro zw in ie się w przyszłości dla p otrzeb in fo rm aty c zn y c h .
1. Rzut oka w przeszłość
B ogato ro zg a łęz io n a n a liczn e d z ia ły i k ie ru n k i m a te m a ty k a w y ro sła n a g ru n c ie o taczający ch n as z j a w isk. Z b ad a n ie drzew a genealogicznego te j n a u k i w sk a z u je n a ścisłe je j p o w ią z a n ie ze ¡Zjawiskam i f i zycznym i. U k o ro n o w a n iem ro z w o ju m a te m a ty k i było p o ja w ien ie się a n a liz y m a te m a ty c z n e j z je j r a c h u n k iem ró żn ic zk o w y m i całk o w y m o p rz e jrz y ste j in te r p re ta c ji fizycznej. W okół tego ją d ra , m a te m a ty k a r o z w ija ła się ¡bądź to „w zw yż” (ró w n an ia ró żn ic zk o w e, całkow e, r a c h u n e k w a ria c y jn y , te o ria d y stry b u c ji, r a c h u n e k o p era to ro w y ), b ą d ź „w sz erz” (analiza f u n k cjo n aln a ), b ą d ź w re sz c ie „w g łąb” (teo ria m nogości, logika, p o d sta w y m a te m a ty k i).
P rzez ro zw ó j „w zw yż” ro z u m ie m y tu ta j o d k ry w a n ie n ow ych fa k tó w , u d o w a d n ia n ie now ych tw ie rd z e ń , z a sto so w a n ie o p ra c o w a n e j m e to d o lo g ii, c z y n ią ce te o r ię p rz y d a tn ą d la coraz to b a rd z ie j sk o m p lik o w a n y c h zag ad n ień .
Rozw ój „w szerz” polega n a u o g ó ln ia n iu u zy sk an y c h w y n ik ó w i m e to d n a d zied z in y p o z o rn ie o d le g łe od siebie, tw o rz e n ie w sp ó ln e j m e to d o lo g ii d la ró żn y c h gałęzi o m a w ia n e j n au k i. W reszcie .istotą ro zw o ju
„w g łą b ” je s t sy ste m a ty z o w a n ie sto so w a n y c h pojęć, u g ru n to w a n ie ic h ¡na w sp ó ln y c h p o d sta w a c h logicz
nych, .zbadanie p ie rw o tn y c h p o jęć w ch o d z ąc y ch w za k res b a d a n e j n au k i.
P o d o b n a s y tu a c ja m ia ła m ie jsc e a z g eo m etrią . P o w sta ła w X V II w . g eo m etria a n a lity c z n a ro z w in ę ła się potem w g eo m e trię ró żn ic zk o w ą, r a c h u n e k te n sorow y, g eo m etrię R ie m a n n a (w idać tu w y ra ź n y w p ły w i w z a je m n e p o w iąz an ie >z no w o czesn y m i te o ria m i fizycznym i, -np. z te o rią w zględności). P o d o b
nie, ja k w p rz y p a d k u an a liz y , ro zw ó j g e o m etrii p rz e b iegał „w szerz” i „w g łą b ”, w k ie ru n k u uogólnień i sy ste m a ty z a c ji (topologia, k la s y fik a c ja K lein a, geo
m e trie nieeu k lid eso w e).
D yscyplina o o g ó ln o m a te m aty czn y m zn a cz en iu to a lg e b ra , d o sta rc z a ją c a dogodnego a p a r a tu -dla innych dziedzin i te o ria p o d s ta w m a te m a ty k i, ¡starająca się u g ru n to w a ć p o ję c ia m a te m a ty k i n a logice i te o rii m nogości.
J a k w y n ik a z te g o k ró tk ie g o p rz e g lą d u , m a te m a ty k a ro z w ija ła się w okół ty c h z a g a d n ie ń fizycznych (rozu
m ia n y ch w n ajsze rszy m sensie), k tó re z n a jd o w a ły się w c e n tru m z a in te re so w a n ia ów czesnej w ied z y p ra k ty c z n e j, ja k m e ch a n ik a , a s tro n o m ia , e le k try c z ność, bu d o w a m ateirii. N ie w s p o m n ia n e w y żej: r a ch u n e k p raw d o p o d o b ie ń stw a i s ta ty s ty k a d o sta rc z y ły ró w n ie ż siln y ch śro d k ó w d la ró żn y c h gałęzi w ie dzy sto so w a n ej.
2. Sytuacja obecna
W d ru g ie j • p o ło w ie X X w ie k u p o w sta ło .narzędzie, k tó re spow odow ało sw ego ro d z a ju re w o lu c ję , ty m raz em .nie p rze m y sło w ą , ja k w w ie k u XVTII, lecz r a czej „ in fo rm a c y jn ą ”. N arzędziem ty m je s t m a s z y - n a m a t e m a t y c z n a .
H isto ry cz n ie rze cz b iorąc, zam ierzen iem 'tw órców tej m aszy n y było zastosow anie je j do w y k o n y w a n ia o b li
czeń ¡sform ułow anych w te rm in a c h m a te m a ty k i k la sycznej, S k o m plikow anych d dłu g ich r a c h u n k ó w d la p o trze b fiz y k i i te ch n ik i. W k ró tc e je d n a k sy tu a c ja u leg ła g ru n to w n e j zm ianie. O koło 90% m aszyn m a te m aty cz n y ch , d z iała ją cy ch obecnie na św iście, p r a c u je dla p o trze b a d m in is tra c ji, b ankow ości i z a rz ą dzan ia. D zieje się 'tak d la te g o , że «współczesny św ia t — m ożna rz e c — in fo rm a c ją stoi. N ie do p o m y ślen ia je s t o b ec n ie fu n k c jo n o w a n ie g o sp o d a rk i i a d m in i
s tr a c ji bez ro zw in ię teg o sy ste m u in fo rm ac y jn eg o . J e s t to p ra w d o p o d o b n ie s k u te k w ie lk ie j lic zb y czy n n ik ó w , k tó re ‘trz e b a u w zg lę d n ia ć p r z y p o d e jm o w a n iu decyzji gospodarczych i b a rd z o dużej lic zb ie p o w iąz ań a d m in is tra c y jn y c h w istn ie ją c y c h społeczeństw ach.
W eźm y pod u w a g ę dw a dość ty p o w e p rz y k ła d y . S y stem r e z e rw a c ji m ie jsc p rz e z to w a rz y s tw a lotnicze, w obec n ie z w y k le szeroko ro z b u d o w a n y c h Mmiii p o łą czeń i p o w iązań z in n y m i to w a rz y stw a m i je s t w p r a k ty ce n ie do z re aliz o w an ia b ez użycia m a szy n m a te m aty cz n y ch . T ym n ie m n ie j, w obec is tn ie n ia d u żej liczby sam olotów , człow iek w spółczesny -może d o m a gać się szy b k ieg o i sp ra w n e g o ro z p la n o w a n ia p o d ró ży. Bez użycia m a sz y n s p ra w a s ta ła b y się p a ra d o k sa ln a — p o d ró ż trw a ła b y , pow iedzm y, k ilk a godzin, n a to m ia st z a re z e rw o w a n ie m ie jsc a w y m a g a ło b y p rz y p u sz cz aln ie je d n e j doby lu b w ięc ej.
D ru g im p rz y k ła d e m je s t d ziałaln o ść b an k ó w . P o w y elim in o w an iu złota ja k o śro d k a obiegow ego, rozw ój bankow ości p ó jd z ie p raw d o p o d o b n ie w k ie ru n k u w y ru g o w a n ia b an k n o tó w , sy m u lu ją c y c h dotychczas r z e c z y w iste w a rto śc i p rze d m io tó w . W z ra sta ją c y z b ie giem czasu u d z ia ł ta k zw an eg o „ob ro tu bezg o tó w k o w ego” w y m ag a z a m ia st p rze p ły w u p ie n ięd z y , p r z e p ły w u in fo rm a c ji. In fo rm a c je o s ta n ie k o n t in s ty tu c ji lu b osób p ry w a tn y c h m u sz ą być w ię c z a p am iętan e, m o d y fik o w an e, p o ró w n y w a n e i w p ły w ać na w ła ś c i
w ą działalność a d m in istra c y jn ą . J e s t to w ięc re a ln y p rz y k ła d , ja k 'dalece w n a sz e życie in g e ru je pozornie a b s tra k c y jn a in fo rm a c ja . Z a rzą d za n ie i sp ra w o z d a w czość, d ziałalności czysto in fo rm a c y jn e , są p o tw ie r
dzeniem tego fa k tu .
W te n sposób — obok św ia ta re a ln e g o , n a m a c a ln e go — ro d z i s ię św ia t in n y , a b s tra k c y jn y , n a ś la d u ją cy z ja w isk a m a te r ia ln e — św ia t in fo rm ac ji.
N au k ę p o z w a la ją c ą n a m w y k o rz y sty w a ć p r a w a r z ą dzące ty m św ia te m je s t w ła śn ie i n f o r m a t y k a . P o słu g u je s ię o n a n ie ty lk o m a szy n a m i działający m i
„w p o je d y n k ę ” — tw o rz y s ię sy ste m y w ielom aszy- now e, w k tó ry c h in fo rm a c je ssą zb ieran e, o p rac o w y w a n e i w za jem n ie p rze k azy w a n e, n ie m al bez u d ziału
człow-ieka. Ję z y k i p ro g ra m o w a n ia i sy ste m y k o n w e r- sa c y jn e o d d a la ją lu d z i od m a szy n , k tó r e p ra w d o p o dob n ie w n ie d łu g ie j p rzyszłości sta n o w ić b ę d ą „ a u to n om iczne sp o łe cz eń stw o ”. J e s t o czy w iste, że w ysokie w y m ag a n ia b ę d ą w ów czas s ta w ia n e k a d r z e fa c h o w ców.
3. D w ie m atem atyki
N ow a rze czy w isto ść tw o rzy p o trz e b ę p o w sta n ia n o w e j dzied zin y m a te m a ty k i. Z b a d a jm y s to s u n e k te j o cze
k iw a n e j m a te m a ty k i do m a te m a ty k i k la sy c z n e j ta k ie j, ja k ą stu d io w a liśm y i ja k ą sto su je m y . O ile tr a d y c y j
n ą m a te m a ty k ę , w yw odzącą sw ój ro d o w ó d z an alizy , m ożna ¡by n a z w a ć .¿m atem atyką fiz y k a ln ą ” , o ty le tę no w ą m a te m a ty k ę , z n a jd u ją c ą się jeszcze w p o w ija k ach , m ożna n azw ać „ m a te m a ty k ą in fo rm a c y jn ą ”.
W ykorzysta o n a 'n iew ą tp liw ie zdobycze m a te m a ty k i W spółczesnej, lecz ró ż n ić się b ęd z ie od n ie j chyba je d n a k zn aczn ie. W y d a je się, że ja k o w sp ó ln e pozo
sta n ą w n ie j ty lk o p o ję cia z te o rii p o d s ta w m a te m a ty k i i lo g ik i. P o ję c ia m i odpow ied zialn y m i za ro zw ó j m a te m a ty k i fiz y k a ln e j isą p o ję c ia p rz e s trz e n i, ciąg ło ści i ru c h u . P o jęc ia te w m a te m a ty c e in fo rm a c y jn e j tra c ą na zn a cz en iu . P rz e strz e ń w p ro b le m a c h i n f o r m a ty k i is tn ie je ty lk o w z d e g en e ro w a n ej postaci.
G eo m e tria i m e try k a są p ra k ty c z n ie po zb aw io n e p r z y pisyw anego im zazw yczaj sen su . N ie w y s tę p u je w te j n a u c e ta k ż e ru c h tr a k to w a n y ja k o zm ian a położe
n ia w czasie. M iejsca ty c h pojęć z a jm u ją w m a te m a ty ce in fo rm a c y jn e j po jęcia ta k ie , ja k p am ięć , cz y n ność, s te n , in fo rm a c ja , p rze p ły w in fo rm a c ji. N ie i s t n ie je jeszcze d o sta te czn ie ro z w in ię ty a p a r a t m a te m a ty czn y do w y g łasza n ia tw ie rd z e ń , dotyczących tych pojęć i pojęć pochodnych, ja k k o lw ie k a p a r a t t a k i p o w ita n ie ju ż chyba w n a jb liż sz e j p rzyszłości. D o
tych czaso w e śro d k i, ja k n p . p o ję c ie m a sz y n y Turim - ga, n ie n eg u ją c ic h filozoficznego znaczenia, o k az u ją się z b y t słabe.
M ożna m n ie m a ć, że je ste śm y te r a z n a ty m etap ie rozw oju m a te m a ty k i in fo rm a c y jn e j, k tó ry odpow iada w p rzy b liżen iu p re n e w to n o w sk ie j analizie. J e ste ś m y co p ra w d a b o g atsi o w ie d z ę z za k re su logicznych p o d sta w m a te m a ty k i i u z b ro je n i w cały a rs e n a ł m e to d m a tem a ty c z n y c h — j e s t w ięc zro z u m iałe d ą ż e n ie do fo rm a liz a c ji m a te m a ty k i in fo rm a c y jn e j w op arciu o n a jb a rd z ie j p o d sta w o w e te o rie m a te m a ty k i „ fiz y k a l
n e j”. P rzyszłość odpow ie je d n a k d o k ła d n iej n a p y ta n ie o s tr u k tu r ę tej n o w e j n a u k i.
4. M aszyny i m atem atyka
W spółcześni m a te m a ty c y s k ło n n i są na ogół w idzieć w m a sz y n ie m a te m a ty c z n e j n a rz ę d z ie , k tó r e n ie je s t w s ta n ie sam o p rz e z s ię d o sta rc z y ć n ow ych, in te r e su ją c y c h fa k tó w m a te m a ty c z n y c h . Tafcie c e c h y m a szy n y m a te m a ty c z n e j, ja k sizybkość liczenia, m o ż li
w ość p a m ię ta n ia dużej liczby d an y ch , są dla m a te m a ty k i w sp ó łc ze sn ej n ie is to tn e ; p o ję c ia t e n ie są do w y sło w ie n ia w te o ria c h m a te m a ty c z n y c h . P o g lą d te n jeist n ie w ą tp liw ie słuszny. Je d n a k ż e n ie k ie d y w y cią g a się z niego fałsz y w y w n io se k , że istn ie n ie sz y b k ich i p o je m n y ch m a sz y n liczących p o z o s ta je bez w p ły w u n a ro z w ó j m a te m a ty k i. T ak n ie jest. P o w sta n ie no w ych m ożliw ości w z a k re sie p r z e tw a r z a n ia in f o rm a c ji p o w o d u je p o w sta n ie n o w y ch m e to d , 'k tó re bez tych m ożliw ości n ie m ia ły b y sz a n s istn ie n ia . P o sz u k iw a n ie ta k ic h m eto d , ich ocena lu b w z a je m n e po
ró w n y w a n ie zmuJsza d o tw o rz e n ia p ew n y c h u o g ó ln ie ń i s y ste m a ty k i, sk ą d n ie d u ż y (lecz być m oże b a rd z o tru d n y ) k ro k do sk o n stru o w a n ia p e w n e j te o rii. Co w ięcej, s a m a n a tu r a p ro c e só w p rz e tw a rz a n ia in f o r m a c ji je s t ta k a b s tra k c y jn a , że sta n o w i dosk o n ałe tw orzyw o działalności m a te m a ty c z n e j. P o w s ta łe w te n sposób te o rie należą ju ż do m a te m a ty k i; in f o r m a ty k a k o rz y s ta z n ic h na ró w n i z in n y m i te o ria m i m a te m a t yczn y m i.
T w o rzen ie ta k ic h te o rii — trz e b a Sobie ja sn o p o w ie
dzieć — n ie je st je d n a k celem 'in fo rm a ty k i. N au k a
ta 'W ytworzy p rzy p u sz cz aln ie sw o je w ła s n e te o rie (nie b ęd ą ce fra g m e n te m m a te m a ty k i), je j słu ż ą c e i p rze z n ią o ce n ia n e. Im b a rd z ie j b ę d ą one a b s tra k c y jn e , ty m bliżej b ęd ą z w ią z a n e z m a te m a ty k ą . D opóki je d n a k p r a k ty k a p rz e tw a rz a n ia in fo rm a c ji w y p rz ed z a te o rię , n ie m o że być m o w y o ic h p e łn e j m a te m a ty z a c ji.
J a k s iln e s ą z w ią z k i in fo rm a ty k i z ta k z w a n ą „czy
stą m a te m a ty k ą ”, m ożna się p rz e k o n a ć z a r ty k u łu R.
M arczyńskiego o m aw iająceg o p rz e d m io t n a u k i, zw a
n e j w k r a ja c h a n g lo sask ich „ C om puter Sc ie n c e” 2) lu b p ro g ra m k s z ta łc e n ia w dzied zin ie te jż e n a u k i, opi
sa n y ¡w ¡tali zwainym „ C u rricu lu m 68” 3).
5. Początki now ej nauki
M aszy n a a n a lo g o w a 4) je s t n arz ę d z ie m m a te m a ty k i f i z y k a ln e j. S to so w a n ie ty c h m a sz y n o p ie ra s ię n a n a stę p u ją c y c h z w ią z k a c h : sy s te m fizyczny — o p is m a te m a ty c z n y — u s ta w ie n ie (program ) m a szy n y a n a lo g o w ej. O pis m a te m a ty c z n y b ędący śro d k ie m p ełn eg o s f o rm u ło w a n ia p ro b le m u , ir oz w iązy w an eg o p rz e z m a sz y n ę an alo g o w ą, sp ełn ia tu ta j irolę a b s tra k c y jn e g o p o ś re d n ik a p om iędzy b a d a n ą rze czy w isto ścią a p r o g ram e m . S y tu a c ja ta k a je s t m o ż liw a ty lk o dlatego, że is tn ie je d o sta te czn ie ro z b u d o w a n y fo rm a liz m m a te m a ty c z n y d la 'zagadnień o p rac o w y w a n y ch za p om o- pą m a sz y n o m aw ianego typu. W ygodniej cz asem iby- iwa w y e lim in o w a ć opis m a te m a ty c z n y z ¡w ym ienione
g o z w ią z k u ; m a m y w ów czas d o cz y n ie n ia z m o d e lo w a n ie m an alo g o w y m .
W p r z y p a d k u m a szy n c y fro w y c h sytua-cja 'w ygląda p o d o b n ie d la za g a d n ie ń n u m e ry c z n y c h , w p e łn i o p i
sa n y c h p rz e z fo rm u ły m a tem aty c zn e . N a to m ia st d la za g a d n ie ń in n y c h , ja k -np. a d m in istra c y jn y c h , w y k o r z y s ta n ie m a sz y n y o p ie ra się n a z w ią zk u : s y s te m in fo rm a c y jn y — p r o g ra m d la m a szy n y cy fro w e j. D la ty c h za g a d n ie ń m a m y w ię c do czy n ie n ia w y łąc zn ie z m o d e lo w an ie m , ty m ra z e m cyfrow ym . B ra k p o ś re d n ie g o o g n iw a je s t skutjkiem n ie zn a jo m o śc i p r a w m a te m a ty k i in fo rm a c y jn e j, b ra k u o d p o w ied n ieg o f o rm a lizm u , fw k tó r y m m o ż n a b y ło b y o p isa ć „ in fo rm a c y j
n ą ” rzeczyw istość. W ypada n a d m ie n ić , że p ró b y f o r m a liz a c ji ta k ie j p ro w a d z o n e s ą ju ż o d dosyć d a w n a
(1959— 1960) i w ró ż n y c h k ie ru n k a c h .
J a s k ra w y m p rz y k ła d e m p iln e j p o trze b y w łaściw ego fo rm a liz m u je s t sp ra w a d o k u m e n ta c ji o p ro g ra m o w a n ia m aszy n . O p ro g ra m o w a n ie s ta n o w i ro zb u d o w a n y i złożony, s y ste m in fo rm a c y jn y , k tó re g o opis je s t alb o n ie cz y teln y i z w ią z a n y z p e w n ą k o n k r e tn ą m aszy n ą, alb o 'też sp o rzą d zo n y w ję zy k u p o to c z n y m i n ie p re cy zy jn y m , n ie p o z w a la ją c y n a o d tw o rz e n ie w ie rn e j (pod w z g lę d e m fu n k c jo n a ln y m ) k o p ii -oprogram o,wa- n ia d la in n e j m a szy n y . I tu ta j ró w n ie ż cz y n io n e są p ró b y p e w n e j s y s te m a ty z a c ji p o z w a la ją c e j stw o rzy ć p o d sta w ę p ó źn iejszy ch te o rii.
P o g lą d n a p ro g ra m o w a n ie jako n a g ałąź m a te m a ty k i re p re z e n to w a n y je s t ra c z e j n ie lic z n ie . M im o n ie w ą t
p liw ie d e d u k c y jn e g o -ch arak teru ¡konstruow ania p r o gram ó w , n ie is tn ie je doty ch czas te o ria s ta w ia ją c a n ie - try w ia ln e p y ta n ia w te j d z ie d z in ie a u d z ie la ją c a - n a n ie odpow ied zi. D otychczasow y fo rm a liz m je s t n a t y le n ie p rzy sto so w a n y , że n ie m o ż n a w n im fo rm u ło w a ć p y ta ń o is to tn y m zn a c z e n iu d la p ra k ty k i.
S p ra w d z a n ie p o p ra w n o śc i p ro g ra m ó w o d b y w a się za
zw yczaj e k s p e ry m e n ta ln ie ; p o w ią z a n ie m e to d do
św ia d cz aln y c h z d e d u k c y jn y m i czyni z p ro g ra m o w a n ia — k tó re m a ido c z y n ie n ia w g ru n c ie rze czy ty lk o z p o ję c ia m i a b s tra k c y jn y m i — n a u k ę n ie m a l p rz y ro d n icz ą. J e s t oczy w iste, ż e (konkretny p ro g ra m oraz
2) R om uald M arczyński — „ In fo rm a ty k a , czyli m aszy n y m a
tem aty czn e 1 p rz etw a rza n ie in fo rm a c ji” , „M aszyny M atem a
ty czn e” n r 1/1969, s tr. 1—5.
3) „ C u rric u lu m 68" — R eco m m en d atio n fo r A cadem ic Pro- g ram s in C o m p u ter S cience. Conim. of th e ACM, v. 11 n r 3/1968, s tr. 151—197.
4) M ów im y tu ta j ty lk o o tzw . „ u n iw e rsa ln y c h ” m aszy n ach a nalogow ych tak ic h , ja k n p . a n aliza to ry różniczkow e, a nic o m odelach e le k tro n o w y ch p e w n y ch k o n k re tn y c h zjaw isk czy obiektów .
zn ajo m o ść języ k a, w k tó ry m p ro g ra m te n je s t n a p i
san y , w y sta rc z a ją do o k re śle n ia jego d ziała n ia ; m a m y bow iem do czy n ien ia z sy ste m e m w p ełn i s f o r m a liz o w a n y m . N iestety , p rz e p ro w a d z e n ie dow odu, że d la ta k ic h to a ta k ic h d anych p ro g ra m d a je o k re ślo n e w y n ik i, je s t w p ra k ty c e niem ożliw e, p rz y n a jm n ie j dla p ro g ra m ó w n a p isa n y c h w tzw. języ k u m aszyny. K toś m oże p o w ied zieć: sa m p ro g ra m je s t dow odem , ż e dla o k re ślo n y c h d an y c h o trzy m am y o k re ślo n e w y n ik i;
chodzi tu je d n a k o w ykazanie, że „dow ód” te n je st p o p raw n y . S tw o rz e n ie m e to d w y k a z y w a n ia p o p ra w ności tych p ro g ra m ó w , lu b je śli k to w oli, „dow odów ” z n a jd u je się w te j ch w ili w c e n tru m z a in te re so w a n ia n a u k o w c ó w -in fo rm a tyków .
P ra c e b ad aw cze tego ty p u s ą zaczątkiem 'k szta łto w a
n ia się m a te m a ty k i in fo rm a c y jn e j. P o w sta je ona ¡tak
że 1 n a in n e j d ro d z e — p oprzez p rz e k sz ta łc a n ie się m a te m a ty k i k la sy c z n e j w in fo rm a ty c z n ą d rogą e li
m in a c ji p e w n y c h m e to d i w p ro w a d za n ia in n y c h . P e w n e m e to d y , u z n a w a n e za p rz y d a tn e w „epoce p rz e d m a sz y n o w e j” s ta ją się b e z w arto śc io w e p rzy z a sto so w a n iu m a szy n ; m e to d y ciąg łe z a s tę p u je się m e to d am i d y sk re tn y m i; ta b lic e m a te m a ty c z n e z a m ia st forimy k sią ż k o w e j p rz y b ie ra ją p o sta ć p ro g ra m ó w , -za
p isa n y c h w p am ię c ia c h z e w n ętrzn y c h m a szy n c y fro w ych. W a rto zw rócić uw agę n a p ew ie n fa k t, k tó r y sta w ia obecnie po d zn ak iem za p y la n ia k w a lifik a c ję p e w n y c h p r a c ja k o m a te m a ty c z n y c h ; otóż obok do
w o d ó w k la sy c z n e j fo rm y tw ó rczo ści m a te m a ty k a , p o w s ta je n o w a fo rm a — k o n s tr u k c je m a te m a ty c z n e , re a liz o w a n e w p ra k ty c e i w te n w ła ś n ie sposób u z a sa d n ian e . Np. z d e fin io w an ie p rz y d a tn e g o , w y g o d n e
go i ¡konsekw entnego ję zy k a z e w n ętrzn e g o dla m a szyny c y fro w e j, k tó r y w y trz y m u je p ró b ę p ra k ty k i, lu b zd e fin io w an ie „eleganckiego” sy stem u o p e ra c y j
n ego n ie sta n o w i klasy czn eg o w y n ik u m a te m a ty c z n e go, w y m a g a je d n a k te j sa m e j p re c y z ji m y ślen ia , tego sa m eg o w y siłk u in te le k tu a ln e g o i sto p n ia a b s tra k c ji o ra z d o sta rc za te j sam ej sa ty sfa k c ji, co n ie je d e n do
w ó d tw ie rd z e n ia m a tem aty c zn e g o .
C h a ra k te ry sty c z n e je s t w y ro b ie n ie m a te m a ty c z n e
¡użytkow ników m a szy n ; w y n ik a ono z n a rz u c o n e j im p rz e z m a sz y n ę k onieczności fo rm a ln e g o m y śle n ia i p rec y zy jn e g o w y sła w ia n ia . P o słu g u ją się oni na co dzień lo g ik ą b a rd z ie j ro zb u d o w an ą , n iż n au k o w c y z in n y c h ¡dziedzin p rzy ro d n icz y ch . L u d zie zw ią za n i z m a szy n a m i m a te m a ty c z n y m i s ą p rzy g o to w a n i do z ro zu m ien ia i z a a k c e p to w a n ia d o w o ln ie a b s tra k c y jn e j i sfo rm a liz o w a n e j teorii. S pośród n ic h w łaśn ie r e k r u t u ją się p rzy sz li tw ó rc y m a te m a ty k i in fo rm a c y jn e j.
S to im y za te m , ja k się w y d a je , w o b ec k s z ta łto w a n ia się p o c z ą tk ó w m a te m a ty k i in fo rm a c y jn e j. Z arów no w ie lo ra k ie p ro b le m y , ja k i lu d z ie p ra c u ją c y p rz y m a szynach, s ta n o w ią n ie z b ę d n y zaczyn u m o ż liw ia ją c y -jej rozw ój. P rzyszłość, m oże n a w e t n a jb liż sz a p o k a że, ja k dalece p rz e w id y w a n ia nasze są słu szn e. N ie p o w in n a n a s dziw ić re z e r w a części m a te m a ty k ó w w obec p ró b ro z w ija n ia ¡tej n o w e j d zied z in y ; je s t to f a k t zn a m ie n n y i zn a n y z h is to rii w o d n ie sie n iu do
¡różnych d ziałó w m a te m a ty k i, u z n a w an y c h d z iś za klasyczne.
*
P rz e d sta w io n e t u p o g lą d y m a ją n ie w ą tp liw ie c h a r a k te r d y sk u sy jn y . F a k te m je s t je d n a k , ż e w p ły w m a szyn ma m a te m a ty k ę je s t zn a cz n y . N ie oznacza to oczyw iście, że m a te m a ty k a o k re śla n a w ty m a r ty k u le ja k o k la sy c z n a s ta n ie się p rz e s ta rz a ła , czy te ż n ie użyteczna — ro z w ija ć się b ęd z ie ona -nadal i n ie ¿ t r a ci s w e j p o zy cji w ś ró d n a u k ścisłych.
M a te m a ty k a , z w a n a p rz e z n a s in fo rm a c y jn ą , je śli p o w sta n ie , ja k p rz e w id u je m y — b ęd z ie je d n y m z dzia-
¿ów m a te m a ty k i, tr a k to w a n e j ja k o całość. P e w n e je st ró w n ież , ż e -dla h a rm o n ijn e g o -rozwoju in f o rm a ty k i (niezbędne je s t p ro w a d z e n ie in te n sy w n y c h b a d a ń n a d m a te m a ty k ą w p rz e tw a rz a n iu in fo rm a c ji i u w z g lę d n ie n ie je j ¡sp ecy fik i w p ro c e sie k sz tałcen ia.
ZDZISŁAW PAWLAK
Warszawa
519.004.14:517.004.14:681.322.0011
UWAGI 0 TEORII MASZYN CYFROWYCH
A u to r p rzedstaw ia pew ną próbę sp recyzo w a n ia pojęcia m a s z y n y c y fro w e j. O m awia ogólne pojęcia m a s z y n y m a te m a ty c zn e jf opierając się na pojęciach je j pam ięci (stanów ) oraz ste row ania (fu n k c ji przejścia). N a stęp n ie d e fin iu je m a szy n ę adresow ą oraz p o d a je ideę o k re śle nia m a s zy n prog ra m o w a n ych .
M atem aty c zn e p o d sta w y m a szy n cy fro w y ch — ta k ja k je ro z u m ie m — p o w in n y służyć do ro z w ią z y w a n ia i b a d a n ia p ro b lem ó w zw iązanych z k o n stru k c ją i ¡Zastosowaniam i w sp ó łczesn y ch m aszy n m a te m a ty c z nych. A by p o d sta w y m a szy n m a te m a ty c z n y c h m o g ły służyć do re a liz o w a n ia ta k ic h w ła ś n ie celów , k o n ie cz
ne je st p rz e d e w sz y stk im sp rec y zo w an ie p o d sta w o w ych p o ję ć n a u k i 10 tych m aszynach ta k ich , ja k n p.
sam o p o ję cie m aszy n y , p ro g ra m e tc . Je ż e li zgodzim y się z ta k im 'określeniem , te o rii m aszy n m a te m a ty c z nych, ła tw o w k o n se k w e n c ji przyznać, że ja k dotąd te o rii ta k ie j w łaściw ie n ie m a. W o s ta tn ic h la ta c h p o ja w iło się k ilk a p ra c , k tó r e m ożna b y zaliczyć do ta k ro z u m ia n e j te o rii m aszyn m a tem a ty c z n y c h — p ra c e te dotyczą głó w n ie sp re c y z o w a n ia po jęcia p r o g ra m u — je d n a k ż e s p o rą liczb ę ty c h p rac ce ch u je b ra k w y ra ź n e j m y śli p rz e w o d n ie j: nie .wiadomo, cze
m u m ia n o w icie m a ją one służyć. Czy m a ją to być p ra c e o w y ra ź n ie ¡teoretycznym c h a ra k te rz e , in te r e su ją c e z m a tem a ty c z n e g o p u n k tu w idzenia, czy też p ra c e m a ją c e ja k ie ś zn aczen ie dla lu d z i p a ra ją c y c h się m aszy n am i. Są ¡to je d n a k ż e dopiero p oczątki i n a p ew n o w c ią g u n a jb liż sz y c h k ilk u la t ¡sprawa zo stan ie ro zw ią zan a całk o w icie. D latego też u w ażam , że n a leży na p ró b y t e p atrz eć p rz y c h y ln ie — n a w e t gdyby z a w ie ra ły o n e p e w n e lu k i.
Z n ac zn ie gorzej p rz e d s ta w ia się sp ra w a z pojęciem m a szy n y cy fro w e j. T u ta j m o ż n a znaleźć m oże dw ie, trz y p u b lik a c je z a słu g u ją c e n a u w a g ę . M ają one je d n a k tę w adę, że w ra m a c h p rz y ję ty c h w n ic h pojęć n ie m o ż n a n a w e t zd e fin io w ać n a jp ro stsz e j m aszyny, np. je d n o a d re so w e j. T ru d n o w ięc m ó w ić tu o p o d s ta w ach m a te m a ty c z n y c h m aszyn cyfrow ych. U k az u je się w p ra w d z ie b ard z o dużo p u b lik a c ji na te m a t m a szyn T u rin g a, a u to m a tó w skończonych, etc., ale ktoś, k to m ia ł do cz ynienia z rzeczyw istym i m aszy n am i cy fro w y m i n ie ła tw o da się p rze k o n ać, że są to d obre m odele do b a d a n ia in te re su ją c y c h go p ro b lem ó w , zw iązan y ch z p raw d ziw y m i m a szy n a m i czy p r o g ra m am i. D lateg o te ż, ab y m o ż n a było z sen sem m ów ić o te o rii m aszyn cyfrow ych należy p rzed e w szy stk im sprecyzow ać pojęcia m a sz y n y cy fro w e j i p ro g ra m u w te n sposób, żeby d e fin ic je t e d aw a ły m ożliw ość f o r m u ło w a n ia i ro z w ią z a n ia in te re s u ją c y c h n a s z a g ad nień .
W a rty k u le ty m chciałem k ró tk o p rz e d sta w ić p e w n ą p ró b ę sp recy zo w an ia po jęcia m a sz y n y cy fro w e j. P o d a n a d e fin ic ja pozw ala z n ie zły m p rzy b liżen iem o p i
sa ć is tn ie ją c e m a szy n y cy fro w e (ściślej — ic h o rg a nizację) oraz dow odzić różne tw ie rd z e n ia dotyczące o rg an iz ac ji m aszy n . T w ierd ze ń ty c h je d n a k n ie b ę dziem y t u podaw ać. S ą one p rz y g d to w y w a n e do d ru k u i z a in te re so w a n y C zy teln ik zn a jd z ie je gdzie i n dziej.
D oskonale zd a ję so b ie sp ra w ę z n ie d o sta tk ó w p ro p o now anej definicji. W ielu pro b lem ó w nie da się w n ie j nie ty lk o ro zw iązać a le n a w e t sfo rm u ło w ać. (Np.
z a g a d n ie n ie p rz e ry w a n ia pro g ram ó w w m aszy n ach w ielo p ro g ram o w y ch ). T ym n ie m n ie j u w ażam , że tego ro d z a ju p ró b y s ą n ie zb ę d n e do stw o rz e n ia m a te m a tycznych p o d sta w m a szy n cyfro w y ch .
W części 1 p o d an o ogólne pojęcie m a szy n y m a te m a ty czn ej. S am o to p ojęcie n ie je s t m oże zb y t ciekaw e, je d n a k ż e w p ro w a d z e n ia tak ieg o ogólnego p ojęcia m a sz y n y w y d a je się ce lo w e z dw u pow odów . Po p ie rw sze, p rz e m a w ia ją za tym w zględy dy d ak ty czn e. W a r
to zdać sobie s p ra w ę z tego, ja k ro zu m iem y w n a j og ólniejszych za ry sac h po jęcie m aszy n y . P o jęc ie to pow in n o być ta k ie , a b y w sze lk ie szczególne p rz y p a d ki m aszyn b y ły w nim za w arte. Ł a tw ie j w te d y z a d a
w a ć se n so w n e p y ta n ia o d n o śn ie 'do m aszy n m a te m a tycznych o raz ła tw ie j w y ja ś n ić d z ia ła n ie k o n k re tn y c h m a szy n na ta k im ogólnym m o d elu . P o d ru g ie, p rz y b a d a n iu k o n k re tn y c h m a'szyn m a te m a ty c z n y c h za
chodzi cz ęsto p o trze b a dow odzenia pom ocniczych tw ie rd z e ń o ty c h m a szy n a ch , dość o gólnej n a tu ry . D ow ody tych tw ie rd z e ń dla szczególnych p rz y p a d k ó w m a szy n z a jm u ją po k ilk a S tron. N ato m ia st je że li te sa m e tw ie rd z e n ia sfo rm u ło w a ć d la p rz y p a d k u ogól
n ego m a szy n y , to ich dow ody S k ra c a ją się do k ilk u w iersz y m aszynopisu.
Część 2 z a w iera p o ję cie m a sz y n y ad re so w e j. M aszy
n y te d z ia ła ją w ed łu g r a z n a zaW sze u sta lo n e g o p ro g ra m u (zrealizow anego n p . w p ostaci ta b lic y p o łą czeń). H isto ry cz n ie Są to w ięc m a sz y n y sp rzed ro k u
■1945, zan'ian J. N eu m a n w p ro w a d z ił 'koncepcję m a szy n y z p a m ię ta n y m i m o d y fik o w an y m w tra k c ie li
czenia p ro g ra m e m . M aszyny te są om ów ione w 3 części z a ty tu ło w a n e j: m a sz y n y p ro g rä m o w a n e . M ożna p o k az ać (czego n ie czynim y w ty m a rty k u le ), że m a sz y n y J . N eu m a n a isto tn ie ró ż n ią się od m aszyn, k tó r e n ie . p o sia d a ją 'm ożliw ości m o d y fik o w an ia in s tr u k cji.
O sta tn ia w reszcie część 4 za w ie ra d efin icję m aszy n y u n iw e rsa ln e j dla p ew n e j k la sy m aszy n . Ś ciślejsze z b a d a n ie p o ję c ia m aSzyny u n iw e rs a ln e j ¡pozwala n a le p sze z ro z u m ie n ie is to ty pom ysłu J. N eu m a n a —
m a szy n y p ro g ra m o w a n e j.
1. Ogólne pojęcie m aszyny m atem atycznej
N iech T będzie p ew nym zb io rem (skończonym albo nieskończonym ). N a tu ra elem en tó w tego zbioru c h w i
low o nais nie In te re s u je . Z b ió r te n będ ziem y nazyw ać p am ięcią, a elem e n ty tego zbioru sta n a m i pam ięci i będziem y je oznaczać m ały m i lite ra m i t e w e n tu a l
n ie ze w sk a ź n ik a m i u dołu. D alej n ie c h .t oznacza fu n k c ję częściow ą (tzn. n ie w szę d zie o k re śla n ą ) o a rg u m e n ta c h n ale ż ą c y c h do zb io ru T i p rz y jm u ją c ą w arto śc i ze zbioru T, co zapiszem y n : T -> T. P ro c e sem obliczenia (albo k ró tk o p rocesem lu b o blicze
n ie m ) będ ziem y n a z y w a li ciąg
(1) ii . ..
jeżeli s p e łn ia o n n a s tę p u ją c e w a ru n k i:
1°. D la każdego i, tisT, tj. elem e n ta m i ciągu (1) są s ta n y u s ta lo n e j p am ięci.
2°. D la każdego i, tt+1 = -t(£i).
O bliczenie t0, t u tk n a z w ie m y skończonym w tedy i ty lk o w te d y , gdy t ks D.t, gdzie D n oznacza dziedzi
n ę fu n k c ji, tj. zb ió r ty c h w szy stk ich ele m e n tó w zbio
r u T, dla k tó ry c h fu n k c ja n 'jest P k reślo n a. O blicze
n ie p olega w ięc n a tym , że w e d łu g u sta lo n e j re g u ły (fu n k c ji 7t) p rze ch o d zim y od jednego s ta n u p a m ię c i do n astęp n e g o , ta k długo, ja k je s t to m ożliw e. Jeżeli n a tra fim y n a ta k i S tan p am ięc i, że fu n k c ja n n ie m ów i n am już, co n a le ż y d a le j r o b ić (tzn. do jakiego n a stęp n e g o S tanu p am ięci n a le ż y ¡przejść), >to ob licze
n ie jeist zakończone; je że li n a ta k i s ta n n ie n a t r a f i
m y, to o b lic ze n ie b ę d z ie trw a ło n ie sk o ń c z e n ie długo i n ig d y w n aszy m p o stę p o w a n iu się n ie zatrzy m am y . P rz y ję ta d e fin ic ja obliczen ia w ogólnym z a ry s ie o d d a je isto tę w sze lk ic h obliczeń, a ściślej m ów iąc d o w o ln y ch m a n ip u la c ji n a sy m b o la c h ').
i) W p o d obny sposób m oże być p rzed staw io n y też proces p ro d u k cy jn y , a le ta k ą in te rp re ta c ją nie będziem y siQ z aj
m ow ali w ty m o p raco w an iu . Z ain tereso w an eg o ty m tem atem C zy teln ik a od sy łam do k siążk i Z. P a w la k a „M a te m a ty cz n e a sp e k ty org an izacji p ro d u k c ji” , P ań stw o w e W ydaw nictw o Ekonom iczne, 19G9.
M ając d e fin ic ję obliczen ia, m o żem y w p ro w a d zić p o ję cie m a szy n y . W p ro w ad źm y n a jp ie r w r e la c ję M m ię dzy s ta n a m i p am ięc i ¡w n a s tę p u ją c y sposób: p o w ie my, że ¡dwa Istany t, t' p am ięci T są w r e la c ji M w te d y i ty lk o w ted y , gdy -istnieje skończone o blicze
n ie t 0, t k, ta k ie , że t 0 = t oraz t k = t', -tj. o b lic ze
n ia zacz y n ające się od s ta h u t li k o ńczące się w s t a n ie t'. O k a z u je się, ż e p r z y t a k zd e fin io w a n e j re la c ji M dla -każdego t is tn ie je co n ajw y ż e j jedno, t' (może też w cale n ie ¡istnieć) b ę d ą c e w re la c ji M z t. A w ięc s ta n p o cz ątk o w y obliczenia je d n o zn aczn ie ¡wyznacza sta n końcow y obliczenia (o ile o czyw iście s ta n ta k i istn ieje). M ożem y m ó w ić w ięc o fu n k c ji M p rz y p o rz ą d k o w u ją c e j sta n o m pam ięci in n e s ta n y paimięci, w te n spctóób, że ja k o -argum ent fu n k c ji M b ierzem y dow o ln y sta n pa'm ięci T, n a s tę p n ie w y k o n u je m y o b li
czenie, -przechodząc -d.o k o le jn y c h sta n ó w za pom ocą f u n k c ji n, ta k długo, aż o trz y m a m y s ta n końcow y (o ile to jes-t m ożliw e). T en s ta n k o ń co w y nazyw am y w arto śc ią fu n k c ji M. F u n k c ja M je s t w ięc nie zawtsze o k reślo n a . D la p e w n y c h Istanów t w a rto ść f-unkcji M(t) -m'oże -być o k reślo n a , d la innych zaś sta n ó w p a m ięci w a rto ść fu n k c ji M(t) m oże być n ie o k re ślo n a . F u n k c ję M b ęd z ie m y n a z y w a ć m aszy ną. N ie je st to sprzeczne z in tu ic y jn y m ro zum ieniem m aszyny m a
tem a-tycznej.
K ażd ą m a sz y n ę m a te m a ty c z n ą m o żn a so b ie w y o b ra zić ja k o u rz ą d z e n ie , k tó r e posiada ¡jakieś s ta n y (pa
m ię ć T); jeżeli u rz ą d z e n ie to u sta w im y na p o cz ątk u W ja k im ś S tanie, 'to p rze ch o d zi ono w U stalony -spo
sób do n astęp n e g o sta n u itd., i albo z m ien ia ono s ta n y w -sposób nieskończony, albo te ż m oże się przy ja k im ś -stanie zatrzym ać. T będ ziem y n azy w ać p a m ięcią m a sz y n y M, zaś -t — fu n k c ją p rze jścia albo ste ro w a n iem m a sz y n y M. D la o k re śle n ia w ię c j a k a ko lw ie k (maszyny m u sim y -podać w ięc je j p am ięć T oraz s te ro w a n ie n. T en sposób o p isy w a n ia m aisw n nie odbiega od m e to d sto so w an y ch w p rak ty c e . N a w et p ro s p e k t h a n d lo w y d o w o ln e j m aszy n y , czy też je j -opis te ch n ic zn y z a w ie ra ją p rz e d e w szystkim opis pam ieo i o raz lis-tę rd żk a zó w , k tó ra , ja k Isie p r z e konam y, jes-t n iczy m in n y m ja k w ła śn ie fu n k c ją p rz e jśc ia jt, dla m a sz y n y 2).
D la p ełnego zro z u m ien ia d ziała n ia m a szy n y m u lim y jeszcze o k reślić, co to znaczy, -że m a sz y n a ob licza w a r tości ja k ie jś fu n k c ji. 'Załóżm y, że m a m y p e w n ą m a szynę M i chcem y za Ijej pom ocą obliczać w arto śc i f u n k c ji f : X - y X . (Dla u p ro szc ze n ia p rz y jm u je m y tu fu n k c ję jednoarg-um entow ą. U w zg lę d n ien ie fu n k c ji w ieloargum entow y-ch n ie p rz e d sta w ia tru d n o ści).
Z godnie z in tu ic y jn y m ro z u m ie n ie m o bliczania w a r tości fu n k c ji za pdm ocą ma'-szyny m o ż n a p rz y ją ć n a s tę p u ją c ą d e fin ic ję :
M aszyna M oblicza w a rto ść f-unkcji / w te d y i tylk o w ted y , gdy d la każdego x s y.,f(x) = S\M[y.(x)]), cd7>e h oznaczają odpow iednio fu n k c ję k o d u ją cą i d ek o d u ją c ą : fu n k c ja k o d u ją c a r. p rz y p o rz ą d k o w u je a rg u m e n tom f u n k c ji / ¿ ta n y p a m ię c i m a szy n y M, zaś f-unlkfeja
<5 (dekodująca) o d w ro tn ie — ‘sta n o m p am ięci m aszyny M — w a rto ś c i fu n k c ji /.
O bliczanie w a rto śc i ja k ie jś fu n k c ji przez m a szy n ę polega w ięc n a odp o w ied n im „z a p isa n iu ” (czy p r z e d sta w ien iu ) a rg u m e n tu a: — dla k tó re g o chceimy o b li
czyć w arto ść fu n k c ji f — w pam ięci m aszyny, tj.
p rz y p o rz ą d k o w a n iu za d an e m u a rg u m e n to w i o d p o w iedniego sta n u p am ięc i m aszy n y , n a s tę p n ie na u r u cho m ien iu malszyny li jeżeli maiśzyna się z a trz y m a — na o d pow iednim z in te rp re to w a n iu (poprzez -dekodo
w a n ie <5) tstainu końcow ego pam ięci. O czyw iście w y m a g am y -tu, a b y p rz y u sta lo n e j fu n k c ji / sposób k o do w an ia i d ek o d o w a n ia b y ł ta k i sa m dla W szystkich a rg u m e n tó w fu n k c ji /. W ym agam y w ięc, aby m eto d a in te rp re to w a n ia d ziała n ia maiszyny była je d n o lita d la w szy stk ich m ożliw ych w arto śc i a rg u m e n tó w — i n a
2) Nie podajem y tu odpow iednika w ejścia i w yjścia m a
szyny. M ożna je w razie p o trze b y rów nież uw zględnić. J e d n a k ż e do celów , k tó ry m i b ęd ziem y zajm ow ać się w tej n o tatc e, uw zględnienie w ejścia i w y jścia m aszy n y nie je s t konieczne.
czej tru d n o b y ło b y bow iem m ó w ić se n so w n ie o o b li
czaniu w arto śc i fu n k c ji f.
Z/wróćmy itu p rz y o k a z ji u w ag ę -na d w ie sp ra w y . P rz y p o d an y m 'sposobie ro zu m ien ia lic ze n ia fu n k c ji /, m a szyna w y k o n u je ty lk o p ew n ą część p ra c y : znaczną część p r a c y w y k o n u je ró w n ie ż je j u ż y tk o w n ik p rz e z u sta le n ie k o d o w a n ia i -dekodow ania. Z ależn ie od t e go, ja k p ra c a zw iązana z obliczeniem w a rto ś c i f u n k c ji / je s t pod zielo n a m ię d zy f u n k c je x, d i M, w ięc ej p ra c y m oże 'p rzy p ad ać -na obsługującego, b ąd ź te ż n a m aszynę. D ru g a u w a g a dotyczy tego, że w ła śc iw ie każd a m a'szyna liczy w isto cie ty lk o je d n ą (!) f u n k c ję M. To, -że m ożem y za pom ocą t e j Sam ej maiszyny obliczać -Wiele -różnych fu n k c ji, polega n a -tym, że m ożem y ró ż n ie in te rp re to w a ć -działania 'malszyny -po
przez d o b ó r O dpow iednio f u n k c ji k o d u ją c e j i d ek o d u ją c e j. M ów iąc ściślej, k ażd ą fu n k c ję , fctóireij w a r tość chcem y liczyć, p rz e d s ta w ia m y ja k o złożenie trzech fu n k c ji y., 5, M, z k tó ry c h ty lk o je d n a je s t liczona przez m a szy n ę — -a m ia n o w icie fu n k c ja M . P r z y u s ta lo n e j fu n k c ji M d o b ie ra ją c o d pow iednio fu n k c ję k o d u ją c ą i d e k o d u ją c ą m ożem y w ię c o trzy m y w a ć ró ż n e fu n k c je . G dy b y śm y w zię li n p . za M fu n k c ję ¡tożsa
m ościow ą, cała p ra c a zw iązan a z obliczeniem w a r to ści fu n k c ji f sp a d a ła b y n a nals, p o p rz e z o d p ow iedni do b ó r k o d o w an ia i dekod o w an ia. M ielibyśm y w ięc w te d y do czynienia ze zw y k ły m ra c h u n k ie m za p o m ocą p a p ie ru i ołów ka.
W-a-r-to m oże jeszcze zwróc-ić u w a g ę na fa k t, że f n ie ko n ieczn ie m o że oznaczać fu n k c ję liczbow ą. Ja k o zbiór a rg u m e n tó w fu n k c ji f możelmy p rz y ją ć n p . z d a n ia w je d n y m języku, fu n k c je f tra k to w a ć ja k o a l g o ry tm tłu m a c z e n ia .Zdań w je d n y m języ k u n a z d a n ia w in n y m języ k u — w te d y w a rto śc ią fu n k c ji f b ęd z ie z d a n ie p rze tłu m a cz o n e. T łu m a cz en ie z języka n a ję zyk -Za pom ocą -malszyn p o le g a w ięc na ty m , że u m ie m y znaleźć ta k i sposób in te rp re to w a n ia d z ia ła n ia m a szyny, .że dla p e w n y c h .zdań (niekoniecznie wlszylst- -kich w d an y m -języku) -in te rp reto w a n y ch ja k o sta n p o cz ątk o w y -pamięci, matezyna s ię za trzy m a i o trz y m a n y sta n k ońcow y p rz y te j w ła ś n ie in te r p re ta c ji
je s t zd a n ie m p rze tłu m a cz o n y m . N a ty m w ła ś n ie p o lega fa k t, że m a sz y n y cyfrow e, b u d o w an e p ie rw o tn ie do ¡obliczeń n u m e ry c z n y c h , m o g ą być sto so w an e do s p ra w , k tó r e z irachunkielm nie to a ją W iele w sp ó l
nego.
2. M aszyny adresow e
J a k to fetwieirdzili-śmy w p o p rz e d n im ro zd z iale , o k r e śle n ie k aż d ej m a sz y n y spro w ad za Isię do -podania je j p am ięci oraz ¡sterow ania. R ów nież m aszy n y , k tó ry m i z a jm u je m y Isię w ty m ro z d z ia le określilm y w te n
\ r śnie -sposób.
N a jp ie rw z d e fin iu je m y p am ięć m a sz y n ad re so w y c h . Z anim p rz y stą p im y -do opiisan-ia p am ięci, p o d a m y n a j p ie rw k ilk a p o ję ć -pomocniczych.
N iech A będzie zbiorem skończonym albo n ie sk o ń czonym (p rzeliczalnym ); e le m e n ty A b ę d z ie m y n a z y w a li adrelsam i. W dalszym ciągu p rz y jm ie m y , że A jetst zbiorem liczb n a tu ra ln y c h 0, 1, 2, 3, ... iW p r z y p a d k u -gdy b ęd ziem y czynili ¡odstępstw o od te g o z a łożenia w y ra ź n ie to zaznaczym y.
P rzez 2 będziem y oznaczali skończony albo n ie sk o ń czony zb ió r (przeliczalny), k tó re g o elem erity n a z w ie m y S ym bolam i, za ś Isam zbiór 2 — a lfa b e te m . P r z y j
m iem y, że a lfa b e t ró w n ież je s t zbiorem liczb n a t u ra ln y c h 0, -1, 2, 3, ... W p rz y p a d k u o d s tą p ie n ia od tego zało żen ia w y ra ź n ie to zaznaczym y. B ędziem y ro z p a try w a ć fu n k c je c :A -> 2 . K aż d ą -taką f u n k c ję b ę d ziem y n a z y w a ć z a w a rto śc ią p am ięc i. P rz y jm ie m y , że d o w o ln a z a w a rto ść je s t zawisze o k re ślo n a d la s k o ń czonej liczby w a rto ś c i a rg u m e n tó w (adresów ). Z a w a rto ść p a m ię c i m o żem y w ię c tr a k to w a ć ja k o ta b e l
kę, ja k to p o k az an o n p . n iż e j:
a d re s 0 1 2 3 4 5 6 7 ...
sym bol 2 0 3
N ależy to ro zu m ieć w te n spoisób, że pad p e w n y m i a d re sa m i z a p isa n e są sy m b o le U stalonego a lfa b e tu , p rzy czym za p isa n a je s t ic h zaw sze skończona liczba, n a to m ia st dla p o zo stały ch a d re só w fu n k c ja z a w a rto ści je st n ie o k re ślo n a . Z biór w szy stk ich m o żliw y ch z a w a rto śc i m alszyny b ęd z ie m y n a z y w ać pam ięcią z m i e n ną m a szy n y i b ęd ziem y ją oznaczać przez C 3).
O k re ślim y obecnie p a m ię ć sta łą m a:szy n y w p ro w a d za ją c u p rz e d n io k ilk a p o trz e b n y c h do te g o celu p o jęć.
S ch em ate m -instrukcji b ęd z ie m y n az y w ali fu n k c ję p o sta ci:
r : A ”> X C - > C , m = 0,1, 2,...
Je ż e li w schema-cie in s tru k c ji u sta lim y adre'sy {tzn.
a d re sy tr a k tu je m y ja k o p a ra m e try ), to ta k o trz y m a n a fu n k c ję nazrwiemy in s tru k c ją m -a d re s o w a (m je st u sta lo n ą liczbą n a tu ra ln ą dla d an ej in stru k c ji, m =
= 0,1 , 2, 3,...). I n s tr u k c ją jefet w ięc fu n k c ja r (ąm) ' O v Cf Qjj (Gj, ... Gm},
k tó ra je d n ą z a w a rto ść p am ięc i zm ie n n e j p rz e p ro w a dza w in n ą z a w a rto ść te jż e pam ięci.
N p. in s tru k c je d o d a w a n ia w m aszy n ie tr ó ja d reso w ej m ożem y ro z u m ie ć ja k o fu n k c ję n a s tę p u ją c ą :
gdzie
[ + '(«;, o;, a3)](c) = c',
f c (a,) + c (a,) gdy x = a3, x e A l c (x ) gdy x =?| a3.
N iech Q = iq 0. Q<> •••> b ęd z ie p e w n y m sko ń czo n y m zbiorem , z a ś s fu n k c ją , k tó ra k ażd em u elem en to w i z b io ru Q p rz y p o rz ą d k o w u je in stru k c ję . Z b ió r Q m o żem y tra k to w a ć ja k o zbiór a d re só w p a m ię c i s ta łe j, n a to m ia st s ja k o za w a rto ść te j pam ięci.
W p am ięc i s ta łe j o zn aczan ej d alej p rzez S is tn ie je ty lk o ie d n a fu n k c ja za w a rto śc i s raz r>a zawfsze U sta
lo n a dla d an e j p am ięc i. P od a d re s a m i Q s ą w ięc tu za p isa n e in s tru k c je , k tó r e p o w o d u ją z m ian ę z a w a r
tości p a m ię c i zm ien n e j. P a m ię ć m a szy n y ad re so w e j sk ła d a ć sie w ię c b ęd z ie z dw u p am ięci — p a m ię c i zm ien n e j C o ra z p am ięc i sta łe j S, co zapiszem y T =
= C X S. P o n ie w a ż w p am ięc i s ta łe j is tn ie je ty lk o je d n a fu n k c ja z a w a rto śc i s i je s t ona jed n o zn a cz n ie w yznaczona przez p a d a n ie zbioru Q, zam ia!st w ię c p i sać T = C X S w y g o d n ie j b ęd z ie w dalszym ciągu stosow ać zapis T — C X Q.
O k re śliliśm y w ięc p a m ię ć m aszy n ad reso w y ch . T eraz p rz y stą p im y d o zd e fin io w an ia je j s te ro w a n ia , i i. f u n k cji p rz e jśc ia ir. S te ro w a n ie je s t fu n k c ją p rz y p ;su ia cą je d n y m S tanom p am ięci in n e (stany, tj. -t : T —> T. P o niew aż T = C X Q, w ie c s te ro w a n ie ima p o sta ć ti : : T X Q -> T X Q. S te ro w a n ie n d la m aszy n a d re s o w y ch w y g o d n ie je s t tra k to w a ć ja k o p a r ę fu n k c ji -t q, rrc. ta k ic h , że
ttq : C X Q —V Q, .t c: C X Q - > C.
D la d o k ład n iejszeg o o k re śle n ia o b u ty c h fu n k c ji n a leży w p ro w a d z ić k ilk a pojęć pom ocniczych.
W a ru n k ie m w p a m ię c i zm ien n ej, albo k ró tk o w a r u n k i e m , bed ziem y n azy w ali dow olny, u sta lo n y p o d zb ió r W p am ięci zm iennej. B ędziem y m ów ili, że sta n p a m ięci zm iennej o sp ełn ia w a ru n e k W w ted y i ty lk o w ted y , gdy ceW; w p rz y p a d k u p rzeciw nym p ow ie
m y, ż e s ta n c nie sp e łn ia w a r u n k u W 4).
Np. w m a szy n ie je d n o ad reso w e j często sp o ty k a n y m w a ru n k ie m je s t b ad a n ie , czy za w artość a k u m u la to ra 3) Czasem w y g o d n ie je s t ro zp atry w ać pam ięć zm ienną jak o pod zb ió r w szy stk ich m ożliw ych zaw artości. Je d n a k że dla ro z p atry w a n y ch tu celów , pierw sze o k re ślen ie pam ięci jes t w ystarczające.
4) W prow adziliśm y tu ty lk o je d e n w a ru n ek . Czasem w y godnie je s t w prow adzić w ięcej n iż je d e n w a ru n e k w p a
m ięci 1 b ad ać sp ełn ien ie jed n eg o z nich.
je s t ró w n a zeru, czy też nie. Tzn. w a ru n e k te n w p o d a n e j tu te rm in o lo g ii w y ra z im y w te n 'sposób, że W je st zbiorem ty c h wlszyistkich s ta n ó w p a m ię c i z m ien n ej, d la k tó ry c h za w a rto ść a k u m u la to ra je s t ró w n a zeru.
W prow adzim y je'szcze d w ie fu n k c je pom ocnicze <p,t cp, p rz y p o rz ą d k o w u ją c e elem en to m zbioru Q e le m e n ty te g o sam ego zbioru. M ożem y te ra z ju ż o k reślić ste ro w a n ie w n a s tę p u ją c y ¡sposób:
?rc (c, q) = c', gdzie
zaś
, . ( <pi(q), g d y ceW, nQ (c, q) = <
i <jps (q), gd y ceW.
S te ro w a n ie o p isu je w ięc je d n o zn aczn ie d ziała n ie m a szyny. G d y za d am y je j sta n p o czątk o w y c, q, s te ro w a n ie p o w o d u je w y k o n a n ie in s tr u k c ji p rz y p o rz ą d k o w a n e j q, tzn. zm ien ia z a w arto ść p am ięc i zm ien n e j C, a n a stę p n ie sp raw d za , czy o trzy m an a zaw arto ść soeł- n ia w a r u n e k W, czy te ż n ie — i zależn ie od tego przechodzi do w y k o n a n ia n a s te o n e j in s tr u k c ji z p a m ięci sta łe j. Je ż e li fu n k c je <p, i to, p rz y p o rz ą d k o w u ją ja k ie m u ś q t ę sam ą w a rto ś ć q \ to znaczy, że w y k o n a n ie linistrukcji nateiteronei n ie zależy fa k ty c z n ie od sp e łn ie n ia w a ru n k u W. M ów im y w te d y , że p r z e j
ście do n a s tę p n e g o s ta n u je s t b e z w a r u n k o w e ; w p r z y p a d k u p rze ciw n y m m ó w im y o p rz e jśc iu w a r u n k o w y m . N ie p o w ied z ie liśm y jeszcze, w ja k i sposób malszyna się za trzy m u je. W ty m celu n a jw y g o d n ie j jdst w p ro w ad zić in s tru k c je Stop. M ożem y "wprowadzić dw a r o d z a je ta k ic h in s tru k c ji: in s tru k c je stopu (statycznego lu b anlstirukcje Stopu dynam icznego. I n s tr u k c je te o k re ślim y n a s tę p u ją c o :
S to p s (c) = nie o k reślone d la dow olnych c, n a to m ia st
Stopd (c) — c dla dow olnych c.
W p rz y p a d k u pierw iszego sto p u in s tru k c ja je s t n ie o k reślo n a , a w ięc ró w n ie ż fu n k c ja p rze jścia je st n ie o k re ślo n a i m a'szyna zakończy obliczenie p rz y n a t r a fien iu na ta k ą irfs tru k c ję : w d ru g im n a to m ia s t rorzy- p ad k u o bliczenie b ęd z ie nieskończone, je d n a k ż e od oewneffo m ie jsc a s ta n y p am ięci p rz d s ta n ą <się zm ie
niać. Te nie zm ien iają ce się sta n y m ożem y też u w a żać za s ta n y k o ń co w e Cco w sza k że n ie je st zgodne z d e fin ic ją o b liczenia skończonego p o d a n ą w p ie r w szym rozdziale).
3. M aszyny program owane
D efin icja m aiszyny p ro g ra m o w a n e j jdsit żm ud n iejsza, niż m alszyny a d re so w e j, d la te g o n ie b ęd z ie m y je j p rzy ta cz ać d o k ła d n ie, a p o d a m y tyl-ko ogólną id e ę ta k ic h m aszyn.
M aszyny p ro g ra m o w a n e sa szczególnym p rz y p a d k ie m m aszyn adresow ych. P am ię ć ich s k ła d a się rów n ież z dw u pam ięci, p am ięc i zm ien n e j o ra z pam ięci (sta
łe j. O ile w m aszy n a ch a d re so w y c h nie n a k ła d a liśm y szczególnych w a r u n k ó w na pam -'ęci, to dla ma'szyn p ro g ra m o w a n y c h p a m ię c i te m u sz ą p o sia d ać d o d a t
kow e w łasn o ści. O d nośnie do pam ięci zm ien n e j w y m a g am y m ia n o w icie, a b y w śró d je j a d re s ó w zn a jd o w a ł się a d r e s w y ró żn io n y , k tó ry oznaczać ¡bedziemy lite r ą l, a n azy w ać go b ęd z ie m y lic zn ik iem (rozkazów. P a m ięć s ta ła też je s t isziczególnoi budow y. N ie b ęd ziem y je j d o k ła d n ie om aw iać, a nodam y -tylko w zarvteie n ajw a ż n ie jsz e jej cechy. W zbiorze Q w y ró ż n im y e le m e n t .ooczątkow y i oznaczym y go p rze z q„. K a ż d e obliczenie, ta k ie że c„, q0, c,, q , ... c k, q„, n a z w ie m y cy k le m p ra c y m a szy n y p ro g ra m o w an e j', zaś ciąg i n s tr u k c ji s (q„), s ( q ,), s (q„),..., s(qk- - ) n az w iem y m a k ro in s tru k c ją m a sz y n y p r o g ra m o w a n e j5).
K aż d a m a k ro in s tr u k c ja je s t te ż oczyw iście fu n k c ją o a rg u m e n ta c h n ale ż ą c y c h do C i w a rto śc ia c h n a l e żących ró w n ie ż do C. Przyjfcniemy p o n ad to , że k a ż d a 5) Czasem zam iast m a k ro in stru k c ja u ży w an y je s t term in in stru k cja , n a to m ias t zam iast in s tru k c ja m ów im y m ikro- in stru k cja .
