Prosz¸e obliczyć granic¸e

Analiza Matematyczna Zestaw C

Zadanie 1

Prosz¸e obliczyć granic¸e

lim _x→∞  (2n + 1) 2n + 5

 6n+3

Rozwi¸ azanie

lim _x→∞  (2n + 1) 2n + 5

 6n+3

= lim

x→∞

h

1 + _2n+5 ⁻⁴
2n+5 i 3

1 + _2n+5 ⁻⁴
12 = (e ⁻⁴ ) ³

1 = e ⁻¹² Zadanie 2

Prosz¸e dobrać stałe a, b tak, aby funkcja f określona wzorem

f (x) =







ax + b dla x < −2

|ax ² + b| dla |x| ≤ 2 a log ₂ x − bx dla x > 2 była ci¸ agła na R.

Rozwi¸ azanie

Z definicji ci¸ agłości funkcji w punkcie

lim _x→−2

(ax + b) = −2a + b, lim _x→−2

|ax ² + b| = |4a + b|, lim _x→2

|ax ² + b) = |4a + b|, lim _x→2

(a log ₂ x − bx) = a − 2b, St¸ ad wynika, że

−2a + b = |4a + b| i |4a + b| = a − 2b. Dla 4a + b ≥ 0 otrzymujemy 4a + b = −2a + b i 4a + b = a − 2b. Czyli a = 0 i b = 0.

Dla przypadku 4a + b < 0 otrzymujemy sprzeczność.

Funkcja f (x) ≡ 0 jest ci¸ agła na R.

Zadanie 3

Prosz¸e obliczyć granic¸e

x→0 lim

e ^5x − 1 tan 2x Rozwi¸ azanie

x→0 lim

e ^5x − 1 tan 2x = lim

x→0 e

−1

5x tan 2x

2x x→0 lim

5x 2x = 1

1 · 5 2 = 5

2

1

Zadanie 4

Prosz¸e znaleźć równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie (x ₀ , f (x ₀ )), jeśli f (x) = √

144 − x ² , x 0 = √ 23.

Rozwi¸ azanie

Równanie stycznej w punkcie (x 0 , f (x ₀ )), y = f ⁰ (x ₀ )(x − x ₀ ) + f (x ₀ ).

f ⁰ (x) = ^−2x

2 √

144−x

, f ⁰ ( √

23) = −

√ 23 11 , f ( √

23) = 11.

St¸ ad

y = −

√ 23

11 (x − √

23) + 11

2