Fizyka 1- Mechanika

Zygmunt Szefliński

Środowiskowe Laboratorium Ciężkich Jonów szef@fuw.edu.pl

http://www.fuw.edu.pl/~szef/

Fizyka 1- Mechanika

Wykład 2

12.X.2017

Pojęcia podstawowe

Punkt materialny

Ciało, którego rozmiary można w danym zagadnieniu zaniedbać.

Zazwyczaj przyjmujemy, że punkt materialny powinien być dostatecznie mały.

Nie jest to jednak konieczne !

Przykład: “wózek” na torze powietrznym.

Ważne jest,żeby ciało nie miało dodatkowych “stopni swobody”

(np. obroty , drgania własne, stany wzbudzone)

Położenie punktu materialnego całkowicie określa jego “stan”.





Pojęcia podstawowe

Ruch

Zmiana położenia ciała względem wybranego układu odniesienia.

Układ odniesienia

Ciało, które wybieramy jako “punkt odniesienia”.

Najczęściej jest nim Ziemia lub punkt na jej powierzchni.

Układ odniesienia można też zdefiniować określając jego położenie (lub ruch) względem wybranego ciała lub grupy ciał.

Przykłady:

• układ związany ze stołem w sali wykładowej

• układ związany z lecącym samolotem

• układ środka masy zderzających się cząstek

• układ związany ze środkiem Galaktyki

Pierwszy krok w opisie ruchu to

wprowadzenie układu współrzędnych – definiując początek układu i kierunek dodatni osi

współrzędnych.

Położenie, droga, przemieszczenie

Strzałka wskazuje kierunek dodatni

początek

x

x

x

Pierwszy krok w opisie ruchu to

wprowadzenie układu współrzędnych – definiując początek układu i kierunek dodatni osi

współrzędnych.

Położenie, droga, przemieszczenie

Strzałka wskazuje kierunek dodatni

początek

x

x

x

Pojęcia podstawowe

Tor ruchu

Opisuje zmianę położenia ciała w czasie

W ogólnym przypadku -

postać parametryczna toru:

Wektor położenia ciała

(wszystkie jego współrzędne) wyrażamy jako funkcje czasu.

r

     

     

 ^{x t y t z t}  ^r   ^t

r

t z z

t y y

t x x











,

,

Droga

Droga to całkowita odległość w przebytej podróży. Jeśli podróżujesz z punktu x

do Paryża

i z powrotem pokonujesz drogę 5000 km.

Początek i koniec podróży

 0 x

x

Cel podróży

km 2500

km 200

x

Przemieszczenie

Przemieszczenie to zmiana położenia netto.

Jeśli jedziemy z domu do punktu x

, dalej do Paryża i z powrotem do punktu x

, to

przemieszczenie wyniesie 200 km.

Początek i koniec podróży

 0 x

x

Cel podróży

km 2500

km 200

x

Funkcje

W fizyce bardzo często staramy się opisać zależności pomiędzy różnymi wielkościami w postaci funkcyjnej.

Na ogół do oznaczenia funkcji używamy symbolu odpowiadającego danej wielkości

fizycznej, np.:

droga - s , wysokość - h , prędkość - v

Postać funkcyjna zależy jednak od wyboru argumentu funkcji !

W przypadku opisu toru:

y(t) i y(x) to dwie różne funkcje !

choć opisują tą samą wielkość fizyczną

Prędkość średnia

W odstępie czasu:

Punkt materialny przemieścił się o:

Prędkośc średnią definiujemy jako:

1 2

12

t t

t  



   

1 2

12

r r r t r t

r    



12 12

12

t

v

r



 

Prędkość i prędkość średnia

Prędkość średnia jest zdefiniowana jako droga dzielona przez całkowity czas podróży:

Średnia prędkość = droga / całkowity czas

Pytanie: Czy prędkość średnia auta jest: równa 40 km/h, większa niż 40 km/h, czy mniejsza niż 40 km/h?

5 km

t

5 km

t

h km / 30

h

km /

50

Obliczenia prędkości średniej

2 1

2 1

2 1

2 1

2 2

1

1

, ,

v v

v s v

v s v

t s t

v t t s

v

t s 















Wyprowadzamy wzór końcowy, sprawdzamy

wymiar, po czym podstawiamy wartości liczbowe.

Czasy przejazdu odcinków i czas całkowity:

Średnia prędkość to całkowita droga przez czas całkowity:





2 1

2 1

2 2

2 2

v v

v v v

v s

v sv v

v v s v

s t

v

s

 

 

 



Wymiar prędkości jest prawidłowy, podstawiamy więc wartości liczbowe

h v km

v

v

v

v 37 , 5 /

8 300 80

50 30

2 50

30

50 30

2 2

2 1

2

1

   

 



 

 

Prędkość chwilowa

Definicja:

Oznacza to, że określamy średnią prędkość w coraz to krótszym przedziale czasu; wtedy kiedy czas staje

się niemal zerowy uzyskujemy prędkość chwilową.

Pytanie: czy to oznacza dzielenie przez zero we wzorze (2.1)?

t v x

t 

 



 lim 0

Prędkość chwilowa

czas[s] droga [m]

0 0

0,25 9,85

0,5 17,2

0,75 22,3

1 25,6

1,25 27,4

1,5 28,1

1,75 28

2 27,4

0 5 10 15 20 25 30

0 0,5 1 1,5 2 2,5

Droga [m]

Czas [s]

S(t)

droga [m]

Prędkość chwilowa

Wykres poniżej pokazuje jak możemy mierzyć prędkość w coraz to krótszych przedziałach czasu.

Prędkość chwilowa to tangens kąta nachylenia krzywej

drogi od czasu.

Prędkość chwilowa a pochodna

Dla ruchu jednostajnego. Niech x(t)=vt, policzmy dx/dt.

t v x

t



 





lim

     

t

t f t

t f t

t f dt f

df

t

t







 



 

 









lim

lim

       

t v

vt t

v vt

t

vt t

t v t

t x t

t vt x

dt dx

t

t

x

 





 









 







 

 

















0

0 0

lim

lim lim

  ^{vt   v}

Prędkość chwilowa a pochodna

Ruch jedn. przyspieszony. Niech x(t)=at

, policzmy dx/dt.

t v x

t



 





lim

     

t

t f t

t f t

t f dt f

df

t

t







 



 

 









lim

lim

     

 

at t

a t at

at t

t t t

a

t

at t

t a t

t x t

t x dt

dx

t t

t t

2 2

2 lim lim

lim lim

0 2

2 2

0

2 2 0

0







 









 







 







 

















  ^at

^{  2 at}

  ^t

^{  nt}

^   ^t

^{  3t}

Możemy uogólnić uzyskany wynik !

Prędkość i nachylenie krzywej

Wykres położenia względem czasu dla ruchu o stałej prędkości ma stałe nachylenie.

Wykres położenia

względem czasu dla ruchu o zmiennej prędkosci ma

zmienne nachylenie.

3.0 s

4.5 m

Dla t= 1,7 s

nachylenie = v = 4.5 m/3.0 s = 1.5 m/s

Klasyfikacja ruchów

Ze względu na tor

• prostoliniowy, odbywający się wzdłuż linii prostej Zawsze możemy tak wybrać układ współrzędnych aby

• płaski, odbywający się w ustalonej płaszczyźnie

• po okręgu

Ze względu na przyspieszenie

• jednostajny  wartość prędkości pozostaje stała:

• jednostajnie przyspieszony  przyspieszenie jest stałe:

    ^{t z t r}   ^{t i x}   ^t

y   0  



  ^{t r}   ^{t i x}   ^{t i y}   ^t

z  0  

 



const v 

const

a 

Ruch jednostajny prostoliniowy

Najprostszy przypadek ruchu:

Jednostajny Prostoliniowy

Przyjmując, że ruch odbywa się wzdłuż osi X:

Położenie (przebyta droga) jest liniową funkcją czasu. Drogi przebyte w równych odcinkach czasu są sobie równe.

const v

v

const v





 ^{ a  0}

 

 





0 0

0 0

0 0

; )

(

,

t t v x t

x vt

x C

C vt

x C t v vdt t

x

t x x

const dt

v dx

































Transformacja Galileusza

Wybór układu odniesienia

Dwa identyczne działa ustawione są pionowo:

jedno na peronie, a drugie na wagonie.

Strzał z działa w wagonie - pionowy

Czy ruch pionowy będzie identyczny?

   

2

2 0

0 2

1

t gt v y

t y t

y    

obserwator na peronie

Ruch poziomy jest jednakże różny.

    ^{t ut}

x t x





2

1

0

v 0

v 0

u y

obserwator w wagonie

Transformacja Galileusza

Wybór układu odniesienia

Dwa identyczne działa ustawione są pionowo:

jedno na peronie, a drugie na wagonie.

Strzał z działa na peronie - pionowy

W kierunku pionowym ruch jest identyczny.

Dla obserwatora na wagonie teraz porusza się peron.

    ⁰

2 1

 



  t x

ut t

x

Ruch pionowy nie zmienia się.

   

2

2 0

0 2

1

t gt v y

t y t

y      

v 0 ⁰

v

 u

y 

x 

Transformacja Galileusza

Rozważmy dwa układy odniesienia związane z obserwatorami O i O’

poruszające się względem siebie ruchem jednostajnym, prostoliniowym.

Przyjmijmy, że osie układów są równoległe i ruch względny zachodzi w kierunku osi X.

W chwili

t=t

=0

Obserwując ten sam ruch obserwatorzy mierzą inną

zależność położenia od czasu.

Jeśli wiemy jak obserwatorzy poruszają się względem siebie, znamy

powinniśmy móc wyznaczyć transformacje:

(x, y, z) (x’, y’, z’)

V

Transformacja Galileusza

Transformacja współrzędnych przestrzennych Transformacja

Galileusza _



 



 

 

 

 



z z

y y

t V x

x

Transformacja Galileusza prowadzi do wzoru na składanie prędkości.

Czas w obydwu układach jest identyczny t=t’ ,a jest to podstawowe założenie fizyki klasycznej (Newtona).

V v

v   

Gdzie - prędkość względna V

dt t V d

dt x d dt

dx 



 



Ruch prostoliniowy zmienny

Zależność drogi od prędkości

Przypadek ogólny: znamy prędkość V (t)

czy możemy wyznaczyć zależność położenia od czasu ?

Możemy sumować przesunięcia dx po krótkich przedziałach czasu dt.

Przesunięcie ciała w czasie t = t−t₀

Graficznie: pole pod krzywą V (t) Matematycznie, przechodząc do granicy dt 0

-całka oznaczona



 ^{ }





dt dt

dt v

dx x

 ^



 x

v dt

Ruch jednostajnie przyspieszony

Jednostajnie przyspieszony

Ruch ze stałym przyspieszeniem

Prostoliniowy

Ruch jest prostoliniowy:

Przyspieszenie musi mieć kierunek zgodny z kierunkiem prędkości

     

  ^{   }    ^



















t

t

dt t

a v

v dt

t a v

d

t v v

t t a v

t v a

const dt

v d

0

0

0 0

0 0

const a 

const a

v const

v

v   

Ruch jednostajnie przyspieszony

Prostoliniowy

 (jednowymiarowy)

Prędkość jest liniową funkcją czasu:

Położenie jest kwadratową funkcją czasu:

  t v

a  t t



v    



 



0 2

1 v v t t x

x     

Licząc pole trapezu mamy:



 



0

0 2

1 a t t t

t v x

x       

Po podstawieniu wyrażenia na prędkość:

 

 









t t

dt t

t a v

x vdt x

x

To samo dostajemy z całkowania prędkości:

Szczegóły obliczeń (1)

  t v

a  t t



v    

Gdy prędkość jest liniową funkcją czasu:

Położenie wyliczamy jako całkę z funkcji opisującej prędkość

  ^{t x}   ^{t x v}   ^{t dt x}  ^{v a}  ^{t t}   ^dt

dt v

dx

t t

t

 ^{ }  ^{  }









0 0

0 0

0 0

Korzystamy z faktu, że całka z sumy funkcji jest równa sumie całek

  ^{t x}  ^{v a t at}  ^{dt x v dt a t dt at dt}

x

t

t t

t t

t t

t

 ^{    }  ^  ^{ } 





0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

Wyliczając poszczególne

całki mamy:

 









2

2 t at t t a t

t t v x

t

x   



 



 









Poi uporządkowaniu

wyrazów:

    _



 



   







 2 2

2 2 0

0 0

2 0

0 0

t t t tt

a t

t v x

t

x

Szczegóły obliczeń (2)

Zauważmy, ze wyraz w

nawiasie to suma kwadratów:

    _



 



  







 2 2

2 0 0

2 0

0 0

tt t a t

t t v x

t x

 



 



^

^{ }

^

2 2

2 a t t

t t v x

t tt

a t t

t v x

t

x           

W szczególnym przypadku gdy czas t₀=0:

  2

2 0

0

t at v

x t

x    

Wyrażenia powyższe opisuje ruch jednostajnie przyspieszony startujący w czasie t₀=0 z położenia x₀ z prędkością początkową v₀