Fizyka 1- Mechanika

Zygmunt Szefliński

Środowiskowe Laboratorium Ciężkich Jonów szef@fuw.edu.pl

http://www.fuw.edu.pl/~szef/

Fizyka 1- Mechanika

Wykład 6

9.XI.2017

Równania ruchu –pole magnetyczne

Stałe jednorodne pole w chwili t

=0 w punkcie

wlatuje w pole cząstka o masie m i ładunku Q z prędkością

 ^B 

E   0 , 0 ,

 ^{0 , 0 , 0} 

0

 r 



^{, 0 , 0} 

0

v

v   B v

Q

F   







Z definicji iloczynu wektorowego:

Układ dwu równań:

Całkując pierwsze równanie mamy:

B i i i

dt Q r

m d

z y x

0 0

2 2













dt QB dy dt

x m d



dt QB dx dt

y

m d

 

Siła Lorenza:

 ^{y y}



dt QB

m dx  

 ^{y y} 

QB y

d   

 





2 2

Równania ruchu –pole magnetyczne

 ^{y y}



dt y

d

  



 ^{y y}

  ^{y y}



m QB dt

dx     

Rozwiązanie:

Oscylator:

Otrzymaliśmy równania ruchu:

 

 ^t  ^y

r y

x t

r x



















 cos sin

Gdzie r –promień cyklotronowy:

QB p QB

r  mv



Przy warunkach poczatkowych

  ^{0 r}

^{i v}   ^{0 v}

r    





 

t r

y

t r

x



 sin

cos 1





 m

B Q r

v 



 

Pole magnetyczne – ruch po okręgu

Dla cząstki naładowanej w polu magnetycznym – siła Lorenza

Promień cyklotronowy:

Dla

QB r  mv

B v

Q

F 

 





 B

v  

 F

 Q  v  B

r mv mv

mv F

QB

2 2





!

!

2

!

2

2

QB

B r

Q r

m r

mv m

F            

Pole magnetyczne – cyklotron

QB r  mv

m

 QB

E  

~

B 

Promień

cyklotronowy:

Pole magnetyczne

W fizyce cząstek pole magnetyczne powszechnie wykorzystywane jest do pomiaru pędu cząstek.

Wszystkie długożyciowe cząstki naładowane mają ładunek ±1e...

Komora pęcherzykowa w CERN Detektor CDF w Fermilab

Pole magnetyczne - akceleracja

W fizyce medycznej pole magnetyczne wykorzystywane jest do przyspieszania cząstek i sterowania wiązką.

ŚLCJ -UW

Cyklotron firmy GE HIT - Heidelberg

„PETrace” 16,4 / 8,5 MeV Technika rastrowa sterowania wiązką terapeutyczną

Pole magnetyczne

W ogólnym przypadku prędkość cząstki nie musi być prostopadła do wektora indukcji pola magnetycznego .

Jednak siła Lorenza zawsze prostopadła do na kierunku równoległym do

pola znika!

W kierunku wektora pola ruch cząstki jest ruchem jednostajnym.

W ogólnym przypadku torem ruchu jest spirala.

B  ^V



B 

Odchylenie w polu magnetycznym

Odchylenie cząstki przelatującej przez wąski obszar jednorodnego pola. Zakładamy



 

r x r t

y

t r x

1 2 1 2

2 2



 

 



 



  





 

 









Kąt odchylenia

0

tan mv

L B Q r

L dx

dy

L x



 









Pole magnetyczne –selektor prędkości

Cząstka w skrzyżowanych jednorodnych polach

Dla prędkości V

= E/B wypadkowa sił

 tor prostoliniowy

 metoda selekcji cząstek o ustalonej prędkości niezależnie od ich Q i m

B E  



B E 



B v

Q F

E Q F

B

E

 

















 0



E

F

F  

Pole magnetyczne

Mierzymy promień cyklotronowy

Dla cząstek o ustalonej prędkości mierzymy

Cząstki o różnych masach zaczernią kliszę w różnych odległościach od szczeliny

QB r  mv

B v

 E

Q m

Zadanie

z ćwiczeń

Praca i energia

Najprostszy przypadek:

Stała siła F działa na ciało P powodując jego przesunięcie wzdłuż kierunku działania siły s.

Praca jaką wykona przy tym siła F

W

 F  s  F  s

W przypadku siły działającej pod kątem w stosunku do przesunięcia praca jaką wykonuje



 cos







 F s F s W

Składowa prostopadła nie wykonuje pracy!

Liczy się tylko równoległa składowa siły...

Praca i energia

Dowolna siła F działa na punkt materialny P

Praca jaką wykonuje siła przy przesunięciu o dr

ds F ds

F r

d F

dW     cos   

Aby policzyc pracę siły F dla dowolnej drogi, musimy posumować wkłady od kolejnych małych przesunięć



Praca siły F(r) na drodze między A i B

   ^



A

AB

F r d r

W   

Siły prostopadłe do przesunięcia nie wykonują pracy!

Praca i energia - przykład

Rozciągnięcie sprężyny wymaga wykonania pracy przeciwko sile sprężystości:

  ^{x kx}

F  

 

2 2

0

ks dx kx

kx

dx x

F W

s s s

















Wykonana praca:

Praca i energia

W ogólnym przypadku praca W

jaką wykonujemy podczas ruchu punktu z A do B może zależeć od:

• przebytej drogi l

np. praca sił tarcia będzie proporcjonalna do l

• toru ruchu

np. jeśli siły oporu zależą od wyboru toru

• prędkości

siły oporu w ośrodku zależą od prędkości

• czasu

jeśli działające siły zależą od czasu

Praca siły wypadkowej i energia

Praca jaką wykonuje wypadkowa siła F przy

przesunięciu punktu P o ds

dv mv

dt dv m ds dt dW

dv ds dt ds

dv

dt ds m dv

ds a

m ds

F dW



























Praca siły F(r) na drodze od A do B jest równa zmianie energii kinetycznej

 

B

mv mv mv





Praca, energia i moc

t s F

t P

W





 



 

 

Moc średnia opisuje średnią pracę wykonywaną na jednostkę czasu:

dt dW t

P W

t





 





lim

ds F

dW  

Po wstawieniu:

mamy:

P F  v 





Moc siły jest proporcjonalna

Jednostką pracy jest Dżul:

Jednostką mocy jest Wat:

2 2

1 1

1

1 s

m m kg

N

J 







3 2

1 1 1 1

s m kg

s

W J 





Wcześniej używaną jednostką mocy jest koń mechaniczny:

kW W

KM 735 , 5 0 , 7355

1  

Energia potencjalna

Ruch w stałym i jednorodnym polu grawitacyjnym

Siła ciężkości działająca na masę m:

 



 



A B

A

AB

F r d r mg dr mg r r mg r r

W   ^{ }  ^        

Możemy wprowadzić energię potencjalną dla jednorodnego pola grawitacyjnego

mgy r

g m

E

     

Pracę możemy wtedy wyrazić przez zmianę energii potencjalnej

 

 

p

AB

E r E r E

W       

Energia potencjalna

Siła zachowawcza

Siła jest zachowawcza (konserwatywna), jesli praca przez nią wykonana zależy tylko od położenia punktów początkowego (A) i końcowego (B).

Można ją wyrazić przez zmianę energii potencjalnej

Siła zachowawcza nie może zależeć od czasu ani od prędkości.

Jeśli droga jest zamknięta to praca jest równa zeru

Cyrkulacja – krążenie

 

 

 

B

A

AB

F r dr E r E r E

W   ^{ }  ^  ^   

  ^    ^{ 0}



^{F r d r F r d r}

A



 



 

F 

Siłami zachowawczymi są wszystkie siły centralne.

Kulombowska, grawitacyjna, sprężystosci etc.

^{F   F}   ^{r  i }

Siła – energia potencjalna

Otrzymujemy:

 ^{dx dy dz} 

r

d   , ,

Wykonana praca przy infinitezymalnym przesunięciu:

  ^{r dr dE}

F

dW     

Zmiana energii

potencjalnej:

 

dz dE dy

dE dx

r dE dr F

dW









   , ,

 

 



   

 dz

dE dy

dE dx

F  dE

,

,

Znajomość potencjału siły zachowawczej jest

równoważna znajomości samej siły.

Praca a energia potencjalna

Rozciąganie sprężyny wymaga wykonania pracy przeciwko sile sprężystości:

   

dx kx x x dE

F  

 

  2

2

0 0

dx ks x

k dx

x F W

s

s

     

  

Kosztem tej pracy rośnie energia potencjalna:

  2

kx

x E



Stąd siła sprężystości:

Praca i energia - gradient

Gradient wskazuje kierunek w którym następuje największa zmiana wartości funkcji skalarnej E_p(x,y,z).

Siłę zachowawczą wyrażamy jako gradient energii potencjalnej:

p p

p p

p

E

dz dE dy

dE dx

E dE

grad   



 



  

, ,

  ^r

E

F  









Wartość gradientu odpowiada wartości pochodnej funkcji E_p(x,y,z) wzdłuż tego kierunku.

Zasada zachowania energii

Praca siły zachowawczej pomiędzy punktami początkowym (A) i końcowym (B) wyraża się przez zmianę energii potencjalnej

Z drugiej strony, praca siły działającej na ciało zmienia energię kinetyczną:

 

 

 





B

A

AB

F r dr E r E r E E E E

W   ^{ }  ^  ^     

W ruchu pod działaniem sił zachowawczych energia całkowita jest zachowana.

const E

E E

E E

E E

E E

E E

E E

W

A p A

k B

p B

k

B p A

p A

k B

k

A k B

k AB





























Zasada zachowania energii

W eksperymencie ciężarek czerwony o masie m= 50 g spada na odcinku L zmieniając przy tym energię potencjalną o wartość :

   

s J m v kg

m

E

M 0 , 66 0 , 65

2 05 , 0 97 , 2 2

2

2

 



 



 

 

 

Ta energia potencjalna zamienia się na energię kinetyczną

całego układu. Układ uzyskuje prędkość mierzoną jako 1,5 m/s:

J s m

kg m mgL

E

  0 , 05  10

 1 , 3  0 , 65

Nawet uwzględnienie energii kinetycznej ciężarka (0,006J) nie

Zasada zachowania energii

gh v

mv mgh

mgh E

E

const E

E E

p k

p k

2 0

2

  













Zasada zachowania energii

Ruch pod wpływem siły sprężystości:

Ruch harmoniczny:

   

const mv

kx

const x

E x

E

E











2 2

2 2

 

   

 

     

















 

























t x

E

t A

v

t x

E

t A

x

A m

kA p

2 2 2

cos cos sin sin

2 2 2

2

2



 

 k  m

Zasada zachowania energii

  ^{r E}   ^{r const}

E

E 

 

 

  ^r

E

F  







Znajomość energii potencjalnej 

jest równoważna znajomości siły (zachowawczej):

Czy znając E

(r) możemy rozwiązać równania ruchu ciała ?

• Możemy wyznaczyć zależność F(r) i skorzystać z II zasady dynamiki...

albo

• Możemy wykorzystać zasadę zachowania energii:

W zależności od zagadnienia jeden albo drugi sposób

może być bardziej użyteczny...

Zasada zachowania energii

   

 ^{E E}   ^x 

const x

E E

m p dt

dx

dt p dx m













2 2 2

Dla ruchu prostoliniowego pod działaniem siły

zachowawczej F(x),

energia potencjalna E

= E

(x)

Rozdzielając zmienne i całkując otrzymujemy:

Znając E

(x) możemy zawsze znaleźć związek między x i t.

 ^    ^{  }  ^{    } 



x m p

m p

E E x

x t d

x E

E dt dx

0

2 2

Zasada zachowania energii

dx dE x

p x

F

Fx E

i F

F         

Przykład:

Przyjmując, x=0 w chwili t=0 mamy:

     

 

t v t

x

t t

x Fx

E E

m t F

F E Fx

F E x

F F E

m t

x F E

x d m

x E E

x d t m

a

m E m

F x

x

x x

x p

0 2

2

2 2 2

1 0

2

2 2

2 2

2

2

























 





 

 

 

   