Zadania domowe z Matematyki Dyskretnej (grupa 3) – seria 5, na czwartek 4.04.2019
Zadanie 1. Oblicz, na ile sposobów można sześciorgu znajomym dzieciom ofiarować 12 iden- tycznych baloników (zatem istotne jest tylko to, po ile baloników dostanie każde z dzieci) tak, by każde dziecko dostało co najwyżej 3 baloniki (ale może nie dostać żadnego).
Zadanie 2. Ile jest wszystkich ciągów (Z1, . . . , Zn) długości n 1, których wyrazami są czteroelementowe podzbiory zbioru [k], spełniających warunek Z1 ∪ . . . ∪ Zn = [k]?
Zadanie 3. Niech m ¬ n, m, n ∈ N. Podaj dowód tożsamości
n
X
k=m
n k
! ( k + 1 m + 1
)
(−1)n−k =
( n m
)
.
Wskazówka: można zinterpretować tę tożsamość jako zapis zasady włączeń i wyłączeń dla obli- czenia podziałów [n] na m podzbiorów, czyli po lewej stronie należałoby się spodziewać obliczeń liczb podziałów co najwyżej k elementów na m grup.
1
