Zadanie 1 Prosz¸e obliczyć

Analiza Matematyczna Kolokwium 2 Zestaw D1

Zadanie 1 Prosz¸e obliczyć

Z dx

√ 4 − 3x ² dx.

Rozwi¸ azanie

Z dx

√ 4 − 3x ² dx = 1 2

Z dx

q

1 − ( √ 3/2) ²

=

√ 3 3

Z dy

p1 − y ² =

=

√ 3

3 arcsin y + C =

√ 3 3 arcsin

√ 3 2 x + C gdzie zastosowaliśmy podstawienie y =

√ 3 2 x.

Zadanie 2

Prosz¸e obliczyć pole obszaru ograniczonego przez wykresy funkcji f (x) = x ² , g(x) = x ² − 2x + 4 .

Rozwi¸ azanie

Rozwi¸ azuj¸ ac układ równań y = x ² i y = x ² − 2x + 4, otrzymujemy współrz¸edne punktu wspólnego parabol (2, 4).

St¸ ad pole obszaru

|P (O)| = Z 2

0

(x ² − 2x + 4 − x ² )dx = Z 2

0

(−2x + 4)dx = −4 + 8 = 4.

Zadanie 3

Prosz¸e wyznaczyć ekstrema lokalne i przedziały monotoniczności funkcji f (x) =

√

x ³ e ^−x .

1

Rozwi¸ azanie

Dziedzin¸ a funkcji jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych nieujemnych.

Obliczamy pochodn¸ a rz¸edu pierwszego funkcji f (x).

f ⁰ (x) = 3

2 x ^1/2 e ^−x − x ^3/2 e ^−x = √

xe ^−x (3/2 − x) .

f ⁰ (x) > 0, gdy x ∈ (0, 3/2).

f ⁰ (x) < 0, gdy x ∈ (3/2, ∞).

Funkcja f (x) jest ściśle rosn¸ aca na przedziale (0, 3/2) i ściśle malej¸ aca na przedziale (3/2, ∞)

Funkcja f (x) posiada maksimum lokalne właściwe w punkcie (3/2, 3/4 √

6e ^−3/2 ).

Zadanie 4

Prosz¸e oszacować bł¸ ad jaki popełnia si¸e bior¸ ac 1 + ^x ₂ zamiast √

x + 1, jeśli x ∈ [0, 1].

Rozwi¸ azanie

Obliczamy pochodne do rz¸edu drugiego wł¸ acznie funkcji f (x) = √

x + 1 jej rozwini¸ecia w szereg Maclaurina.

Mamy f (x) = √

x + 1 = (x + 1) ^1/2 , f (0) = 1;

f ⁽¹⁾ (x) == ₂ ^{√ 1} _x+1 , f ⁽¹⁾ (0) = ¹ ₂ ; f ⁽²⁾ (x) = − ¹

4 √

(x+1)

, f ⁽²⁾ (c) = − ¹

4 √

(c+1)

; gdzie c ∈ [0, x].

St¸ ad bł¸ ad przybliżenia

| √

x + 1 − (1 + x

2 )| = | − 1

8p(c + 1) ³ x ² | ≤ 1

8p(0 + 1) ³ 1 ² = 1 8

2