RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE

(1)

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE

WYKŁAD 15

(2)

Niech

I t t

z t y t x

t ) [ ( ), ( ), ( )], (

r

( ^r ⁽ ^t ⁾ ^x ⁽ ^t ⁾ ⁱ ^y ⁽ ^t ⁾ ^j ^z ⁽ ^t ⁾ ^k ^, ^t ^I )

będzie równaniem wektorowym krzywej w

R

³

.

Krzywa w przestrzeni

(3)

Definicja

Krzywą o równaniu

R t

b a bt

t a

t ) [ cos , sin , ] , , 0 , (

r

nazywamy linią śrubową (helisą walcową).

Przykład

Linia śrubowa o równaniu

r ( t ) [ 2 cos t , 2 sin t , t ] , t 0

walec linia śrubowa

Krzywa w przestrzeni

(4)

Krzywa w przestrzeni

Przykład

Naszkicować krzywą o równaniu

r(t) = 2cos ti + 2sin tj + 3k Rozwiązanie

x

²

+ y

²

= (2cos t)

²

+ (2sin t)

²

= 2

²

, z = 3

(5)

Analogicznie jak w przypadku krzywej płaskiej wprowadzamy pojęcia siecznej, stycznej i wektora stycznego do krzywej w przestrzeni.

Podobnie prawdziwe są twierdzenia:

Twierdzenie

Jeżeli krzywa jest klasy

C

¹^{i wektor}

0 r ' ( t ) [ x  ( t ), y  ( t ), z  ( t )]

(tzn. krzywa jest łukiem regularnym), to jest on styczny do krzywej w punkcie o parametrze

t.

Wersor styczny w punkcie

P(x(t), y(t), z(t))

ma postać

| ) ( '

|

) ( ) '

( t

t t

r T r

Krzywa w przestrzeni

(6)

Równania parametryczne stycznej do krzywej w punkcie

P(x(t

₀

), y(t

₀

), z(t

₀

))

^mają

postać

R t t t z t

z z

t t y t

y y

t t x t

x x

) ( )

(

) ( )

(

) ( )

(

0 0



Twierdzenie

Przy parametryzacji łukowej wektor styczny jest wersorem.

W dalszym ciągu przyjmujemy założenia:

r(t)

jest klasy

C

²

0 r

r  ( t )   ( t )

Definicja

Płaszczyznę prostopadłą do stycznej, przechodzącą przez punkt styczności nazywamy płaszczyzną normalną do krzywej.

) (s r

Krzywa w przestrzeni

(7)

Krzywa w przestrzeni

Płaszczyzna normalna do krzywej w punkcie P

Wektor (wersor) styczny jest wektorem normalnym płaszczyzny normalnej

płaszczyzna normalna

wektor styczny

P )

(t

r

_styczna

(8)

Prosta styczna wyznacza pęk płaszczyzn (dla których jest wspólną krawędzią przecięcia).

Każdą płaszczyznę należącą do pęku nazywamy płaszczyzną styczną do krzywej w tym punkcie.

Rozważmy płaszczyznę rozpiętą na wektorach : stycznym do krzywej w punkcie

P

oraz wektorze

PQ

_{, gdzie}

Q

należy do krzywej.

Płaszczyzna taka jest płaszczyzną styczną.

Definicja

Jeżeli

Q P

, to graniczne położenie płaszczyzny stycznej nazywamy płaszczyzną ściśle styczną (oskulacyjną).

Twierdzenie

Płaszczyzna ściśle styczna jest rozpięta na wektorach oraz .

r (t ) _ _r _(t ₎

Krzywa w przestrzeni

(9)

Definicja

Wektor normalny płaszczyzny ściśle stycznej

) ( )

( t r t r  

nazywamy wektorem binormalnym.

Definicja

Wersor normalny płaszczyzny ściśle stycznej

| ) ( ) (

|

) ( ) ) (

( t t

t t t

r r

r B r



nazywamy wersorem binormalnym.

Definicja

Prostą przechodzącą przez punkt

P

, której wektorem kierunkowym jest wektor binormalny nazywamy binormalną krzywej w tym punkcie.

Krzywa w przestrzeni

(10)

Krzywa w przestrzeni

) (t r

płaszczyzna ściśle styczna (oskulacyjna)

) (t

 r

wektor binormalny

) ( )

( t r t r   

wektor styczny styczna

binormalna

Płaszczyzna ściśle styczna do krzywej w punkcie P

Wektor binormalny jest wektorem normalnym płaszczyzny ściśle stycznej

(11)

Uwaga

Jeśli wektor

0 r

r  ( t )   ( t )

to płaszczyzna ściśle styczna nie jest określona (np. dla prostej).

Natomiast, gdy ma on stały kierunek, to krzywa leży w płaszczyźnie ściśle stycznej – jest więc krzywą płaską.

Definicja

Krawędź przecięcia płaszczyzny normalnej i płaszczyzny ściśle stycznej nazywamy normalną główną.

Jej wektor kierunkowy nazywamy wektorem normalnym głównym.

Jest on równy

) ( )) ( ) (

( r  t r   t r  t

Krzywa w przestrzeni

(12)

Krzywa w przestrzeni

Normalna główna do krzywej w punkcie P

Wektor normalny główny jest wektorem kierunkowym tej prostej

normalna główna płaszczyzna ściśle

styczna

płaszczyzna normalna

wektor normalny główny

) ( )) ( ) (

( r  t  r  t r  t

) (t

 r

(13)

Definicja

Płaszczyzną prostującą (rektyfikacyjną) nazywamy płaszczyznę przechodzącą przez styczną i binormalną.

Jej wektorem normalnym jest wektor normalny główny.

Definicja

Wersor normalny płaszczyzny prostującej

| ) ( )) ( ) ( (

|

) ( )) ( ) ( ) (

( t t t

t t

r r

r

r r

N r



nazywamy wersorem normalnym głównym.

Krzywa w przestrzeni

(14)

Krzywa w przestrzeni

Płaszczyzna prostująca do krzywej w punkcie P

Wektor normalny główny jest wektorem normalnym tej płaszczyzny

płaszczyzna prostująca

binormalna

styczna

(15)

Trójścian Freneta Definicja

Płaszczyzny: normalną, ściśle styczną i prostującą wraz z krawędziami ich przecięcia tzn. prostą styczną, binormalną i normalną główną (ewentualnie z wektorami stycznym, binormalnym i normalnym głównym) nazywamy trójścianem Freneta.

Definicja

Trójkę wersorów: wersor styczny

(T),

wersor normalny

(N)

oraz wersor binormalny

(B)

nazywamy reperem Freneta.

Krzywa w przestrzeni

(16)

Krzywa w przestrzeni

Tróścian Freneta w punkcie P(t)

T(t)

B(t)

N(t)

(17)

Uwaga

Przy łukowej (regularnej) parametryzacji krzywej wektor styczny r(s)_jest wersorem, zaś r(s) jest prostopadły do r(s)

Wersory tworzące reper Freneta mają wówczas postać:

| ) ( ) (

|

) ( ) ) (

(

| ) (

|

) ) (

(

) ( )

(

s s

s s s

s s

r r

r B r

r N r

r T



Krzywa w przestrzeni

(18)

Krzywa w przestrzeni

Linia śrubowa (helisa kołowa) o równaniu

r(t) = [cost, sint, t/2] dla t [0, 10]

Przykład

(19)

Krzywa w przestrzeni

Wersor styczny

linii śrubowej o równaniu r(t) =[cost, sint, t/2]^dlat [0, 10]

Przykład (c. d.)

(20)

Krzywa w przestrzeni

Wersor normalny główny

linii śrubowej o równaniu r(t) = [cost, sint, t/2] dla t [0, 10]

Przykład (c. d.)

(21)

Krzywa w przestrzeni

Wersor binormalny

linii śrubowej o równaniu r(t) = [cost, sint, t/2] dla t [0, 10]

Przykład (c. d.)

(22)

Krzywa w przestrzeni

Wersory trójścianu Freneta (Frenet trihedron, Frenet frame) linii śrubowej o równaniu r(t) =[cost, sint, t/2]^dlat [0, 10]

Przykład (c. d.)

(23)

Krzywa w przestrzeni

(24)

Krzywa w przestrzeni

Wersory trójścianu Freneta

(25)

Krzywa w przestrzeni

(26)

Zadanie

Wyznaczyć płaszczyzny, wersory i krawędzie trójścianu Freneta krzywej

R t

t t t

t ) [ , , ] ,

(

² ³

r

Krzywa w przestrzeni

(27)

Krzywiznę krzywej w

R

³ definiuje tak samo jak w przypadku krzywej płaskiej.

Zachodzi twierdzenie

Twierdzenie

Jeżeli krzywa jest klasy

C

², to wartośc krzywizny krzywej o równaniu wektorowym,

) (t r

r

, w punkcie o współrzędnej

t

dana jest wzorem

|

3

) (

|

| ) ( ) (

|

t t t

r r r



.

Uwaga

W przypadku parametryzacji łukowej

| ) (

|  r s

Stąd

) ( )

( s N s

 r

Krzywa w przestrzeni

(28)

Przykład

Wyznaczyć krzywiznę linii śrubowej

R t

bt t a

t a

t ) [ cos , sin , ] , (

r

Kolejno obliczamy

] 0 , sin ,

cos [

) (

| ) (

| , ] , cos ,

sin [

)

(

² ²

t a

t

b a

t b

t a

t r

r r



2 2

2

] , | ( ) ( ) | ,

cos ,

sin [

) ( )

( t r t ab t ab t a r t r t a a b

r      

Krzywizna linii śrubowej

2 2

|

3

) (

|

| ) ( )

(

|

b a

a t

t t

r r r



jest stała dla wszystkich punktów krzywej.

Krzywa w przestrzeni

(29)

Zadanie

Wyznaczyć krzywiznę krzywej

R t

t t t

t ) [ , , ] ,

(

² ³

r

w punkcie

P(1, 1, 1).

Krzywa w przestrzeni

(30)

Definicja

Skręceniem (torsją, drugą krzywizną) krzywej regularnej nazywamy granicę

s

P Q

lim

gdzie

-

kąt pomiędzy binormalnymi w punktach

Q

ⁱ

P, s -

długość łuku

QP.

Twierdzenie

Jeśli

r(t)

należy do

C

³

,

to wartość skręcenia w punkcie

P

o współrzędnej

t

^{jest dana}

wzorem

|

2

) ( ) (

|

)) ( ), ( ), ( (

t t

t

r r

r



.

Interpretacja:

Torsja jest miarą odchylenia krzywej od płaszczyzny ściśle stycznej w danym punkcie.

iloczyn mieszany wektorów

Krzywa w przestrzeni

(31)

Krzywizna i skręcenie określają krzywą w przestrzeni z dokładnością do przesunięcia i obrotu.

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE